四年級(jí)奧林匹克數(shù)學(xué)基礎(chǔ)資料庫 第19講 乘法原理 試題

1、19講 乘法原理讓我們先看下面幾個(gè)問題。例1馬戲團(tuán)的小丑有紅、黃、藍(lán)三頂帽子和黑、白兩雙鞋，他每次出場演出都要戴一頂帽子、穿一雙鞋。問：小丑的帽子和鞋共有幾種不同搭配？分析與解：由下圖可以看出，帽子和鞋共有6種搭配。事實(shí)上，小丑戴帽穿鞋是分兩步進(jìn)行的。第一步戴帽子，有3種方法；第二步穿鞋，有2種方法。對(duì)第一步的每種方法，第二步都有兩種方法，所以不同的搭配共有3×26（種）。例2從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有3條路，從丙地到丁地也有2條路。問：從甲地經(jīng)乙、丙兩地到丁地，共有多少種不同的走法？分析與解：用a1，a2表示從甲地到乙地的2條路，用b1，b2，b3表示從乙地到丙地的3條路

2、，用c1，c2表示從丙地到丁地的2條路（見下頁圖）。共有下面12種走法：a1b1c1 a1b2c1 a1b3c1a1b1c2 a1b2c a1b3c2a2b1c1 a2b2c1 a2b3c1a2b1c2 a2b2c2 a2b3c2事實(shí)上，從甲到丁是分三步走的。第一步甲到乙有2種方法，第二步乙到丙有3種方法，第3步丙到丁有2種方法。對(duì)于第一步的每種方法，第二步都有3種方法，所以從甲到丙有2×3=6（種）方法；對(duì)從甲到丙的每種方法，第三步都有2種方法，所以不同的走法共有2×3×212（種）。以上兩例用到的數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)上的乘法原理。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成

3、n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，做第2步有m2種方法做第n步有mn種方法，那么按照這樣的步驟完成這件任務(wù)共有nm1×m2××mn種不同的方法。從乘法原理可以看出：將完成一件任務(wù)分成幾步做，是解決問題的關(guān)鍵，而這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可的。例3用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)三位數(shù)（各位上的數(shù)字允許重復(fù)）？分析與解：組成一個(gè)三位數(shù)要分三步進(jìn)行：第一步確定百位上的數(shù)字，除0以外有5種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，因?yàn)閿?shù)字可以重復(fù)，有6種選法；第三步確定個(gè)位上的數(shù)字，也有6種選法。根據(jù)乘法原理，可以組成三位數(shù)5×6×6180（個(gè)）。例

4、4如下圖，a，b，c，d，e五個(gè)區(qū)域分別用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色中的某一種染色，要使相鄰的區(qū)域染不同的顏色，共有多少種不同的染色方法？分析與解：將染色這一過程分為依次給a，b，c，d，e染色五步。先給a染色，因?yàn)橛?種顏色，故有5種不同的染色方法；第2步給b染色，因不能與a同色，還剩下4種顏色可選擇，故有4種不同的染色方法；第3步給c染色，因?yàn)椴荒芘ca，b同色，故有3種不同的染色方法；第4步給d染色，因?yàn)椴荒芘ca，c同色，故有3種不同的染色方法；第5步給e染色，由于不能與a，c，d同色，故只有2種不同的染色方法。根據(jù)乘法原理，共有不同的染色方法5×4×3×3&

5、#215;2360（種）。例5求360共有多少個(gè)不同的約數(shù)。分析與解：先將360分解質(zhì)因數(shù)，3602×2×2×3×3×5，所以360的約數(shù)的質(zhì)因數(shù)必然在2，3，5之中。為了確定360的所有不同的約數(shù)，我們分三步進(jìn)行：第1步確定約數(shù)中含有2的個(gè)數(shù)，可能是0，1，2，3個(gè)，即有4種可能；第2步確定約數(shù)中含有3的個(gè)數(shù)，可能是0，1，2個(gè)，即有3種可能；第3步確定約數(shù)中含有5的個(gè)數(shù)，可能沒有，也可能有1個(gè)，即有2種可能。根據(jù)乘法原理，360的不同約數(shù)共有4×3×224（個(gè)）。由例5得到：如果一個(gè)自然數(shù)n分解質(zhì)因數(shù)后的形式為其中p1，

6、p2，pl都是質(zhì)數(shù)，n1，n2，nl都是自然數(shù)，則n的所有約數(shù)的個(gè)數(shù)為：（n11）×（n2+1）××（nl1）。利用上面的公式，可以很容易地算出某個(gè)自然數(shù)的所有約數(shù)的個(gè)數(shù)。例如，1108824×32×7×11，11088共有不同的約數(shù)（41）×（2+1）×（11）×（11）60（個(gè)）。例6有10塊糖，每天至少吃一塊，吃完為止。問：共有多少種不同的吃法？分析與解：將10塊糖排成一排，糖與糖之間共有9個(gè)空。從頭開始，如果相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，那么就在其間畫一條線。下圖表示10塊糖分在五天吃：第一天吃2塊，

7、第二天吃3塊，第三天吃1塊，第四天吃2塊，第五天吃2塊。因?yàn)槊總€(gè)空都有加線與不加線兩種可能，根據(jù)乘法原理，不同的加線方法共有29512（種）。因?yàn)槊恳环N加線方法對(duì)應(yīng)一種吃糖的方法，所以不同的吃法共有512種。練習(xí)191.有五頂不同的帽子，兩件不同的上衣，三條不同的褲子。從中取出一頂帽子、一件上衣、一條褲子配成一套裝束。問：有多少種不同的裝束？2.四角號(hào)碼字典，用4個(gè)數(shù)碼表示一個(gè)漢字。小王自編一個(gè)“密碼本”，用3個(gè)數(shù)碼（可取重復(fù)數(shù)字）表示一個(gè)漢字，例如，用“011”代表漢字“車”。問：小王的“密碼本”上最多能表示多少個(gè)不同的漢字？3.“imo”是國際數(shù)學(xué)奧林匹克的縮寫，把這3個(gè)字母寫成三種不同顏色?，F(xiàn)在有五種不同顏色的筆，按上述要求能寫出多少種不同顏色搭配的“imo”？4.在右圖的方格紙中放兩枚棋子，要求兩枚棋子不在同一行也不在同一列。問：共有多少種不同的放法？5.要從四年級(jí)六個(gè)班中評(píng)選出學(xué)習(xí)和體育先進(jìn)集體各一個(gè)（不能同時(shí)評(píng)一個(gè)班），共有多少種不同的評(píng)選結(jié)果