《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題答案6997

1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題答案69927The document was prepared on January 2, 2021機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 復(fù)習(xí) 題解答一、填空題1、用最速下降法求f(X)=100(X2-xF)2+(l-X1)2的最優(yōu)解時(shí),設(shè)X*L 第一步迭代 的搜索方向?yàn)閞-47,-50To2、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是尋找搜索方向,二是計(jì)算最優(yōu)步長(zhǎng)。3、當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下,任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進(jìn)退法來確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和 終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成高-低-高 趨勢(shì)。5、包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為維優(yōu)化問題。6、函數(shù)J

2、xX + 8X+C的梯度為區(qū)7、設(shè)G為nxn對(duì)稱正定矩陣，若n維空間中有兩個(gè)非零向量d。，d1,滿足(<1。)16小=0, 則d。、口之間存在共匏關(guān)系。8、設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件 是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。9、對(duì)于無約束二元函數(shù)若在乂。(凡。,。)點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是 fYXiaX?。)= 0, 充分條件是2f以10-20)= OIF定 。10. K-T條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。11、用黃金分割法求一元函數(shù)/(x) = -10x + 36的極小點(diǎn)，初始搜索區(qū)間«,/? = -10,10,經(jīng)第一次區(qū)間消去后

3、得到的新區(qū)間為_。12、優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有亟t變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件。13、牛頓法的搜索方向dk= -g其計(jì)算量大,且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn)還位置。14、將函數(shù) f(X)=xi2+x22-xiX2-10xi-4x2+60 表示成+ 8/X +C 的形式泗 X2、 I股+T° _4；+60。15、存在矩陣H,向量di,向量山，當(dāng)滿足d。Hd2=0,向量di和向量d?是關(guān)于H共 匏。16、采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問題時(shí)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點(diǎn)。17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求最優(yōu)步長(zhǎng)。二

4、、選擇題1、下面£方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法B、共輪梯度法C、牛頓型法D、DFP 法2、對(duì)于約束問題根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷.為 X為°dA.內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)B.外點(diǎn)；外點(diǎn)C.內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)D.外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解&優(yōu)化問題。A無約束優(yōu)化問題B只含有不等式約束的優(yōu)化問題C只含有等式的優(yōu)化問題D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題4、對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為a, b,中間插入兩個(gè)點(diǎn)山、bi, 計(jì)算出 f(ai)<f(bi),則縮短后的搜索區(qū)間為D。A ai, biB bi, bC ai, bD a, bi5、2不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要

5、素。A設(shè)計(jì)變量B約束條件C目標(biāo)函數(shù)D最佳步長(zhǎng)6、變尺度法的迭代公式為xk+=xk-akHkVf(x，下列不屬于Hk必須滿足的條件的是 CoA. Hk之間有簡(jiǎn)單的迭代形式B.擬牛頓條件C.與海塞矩陣正交D.對(duì)稱正定7、函數(shù)/(X)在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四種無約束優(yōu)化方法中，2在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二 階導(dǎo)數(shù)。A梯度法B牛頓法C變尺度法D坐標(biāo)輪換法9、設(shè)/(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則/'(X)在R上為凸函數(shù)的 充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處BoA正定B半正定C負(fù)定D半

6、負(fù)定io,下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是D假設(shè)要 求在區(qū)間a, b插入兩點(diǎn)ai、az, E. ai<a2oA、其縮短率為B、ai=b-k (b-a)C、ai=a-*-Z (b-a)D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11、與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值a方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值上 方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值匚方向。A、上升B、下降C、不變D、為零12、二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點(diǎn)就是旦。A、等值線族的一個(gè)共同中心B、梯度為。的點(diǎn)C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點(diǎn)13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+i必為且向量。A相切B正交C成銳角D共輾1

7、4、下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是a。A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。B懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。D初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)三、問答題（看講義）1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)別2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么3、試述數(shù)值解法求最佳步長(zhǎng)因子的基本思路。4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。5、寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意 義，并說明迭代公式的意義。6、什么是共匏方向滿足什么關(guān)系共匏與正交是什么關(guān)系四、解答題1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f（X）=+xix

8、”2xi的最優(yōu)解,設(shè)初始點(diǎn)x°=-2, 4,選代精度£=（迭代一步）。解：首先計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù)f =3 * xl x2 2x2 - xl計(jì)算當(dāng)前迭代點(diǎn)的梯度向量值f（X（。）=-3 *2-4-24 + 2-126.梯度法的搜索方向?yàn)閟的f,因此在迭代點(diǎn)X©的搜索方向?yàn)?2, -6t在此方向上新的迭代點(diǎn)為：X (k+1) =X (k) + aS (k) =X + aS (0)-2.4 .12-6.-2 + 12a.4 - 6a .把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù),目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量。的函數(shù)F（a）f(X(k+D) = f (： = 1.5(-2 + 12a)

9、2 + 0.5(4 - 6a)2 - (-2 + 12a)(4 -6a)- 2(-2 +12a) =F(a)令孚1= -180 + 612a = 0f da可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長(zhǎng)”/ 0.2941新的迭代點(diǎn)為X+aS1.5292-2.2354.當(dāng)前梯度向量的長(zhǎng)度IIHI = 712x12 + 6x6 = 13.4164 > 因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第一迭代步完成。2、試用牛頓法求f（X）=（x2）2+（xi-2x2）2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x（o）=2,1T。解1：（注：題目出題不當(dāng)，初始點(diǎn)已經(jīng)是最優(yōu)點(diǎn)，解2是修改題目后解法。） 牛頓法的搜索方向?yàn)镾（k）= - 2（f）T（f）,因此首

10、先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x（。）的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣zfx r4 *xl - 4 * x2 - 4' 一 I 8 * x2 - 4 * xl .（f（x（。） = J2（f） = 4-41I“ 1-4 82 T = Hl 11S（k） = _2T = ；不用搜索，當(dāng)前點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)。解2 ：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點(diǎn)選擇不當(dāng)。以下修改求解 題目的初始點(diǎn)，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。以非最優(yōu)點(diǎn)x=l,2T作為初始點(diǎn)，重新采用牛頓法計(jì)算牛頓法的搜索方向?yàn)镾（k）= - 2（f）T（f）,因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)X，。）的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù)：行）_ 4

11、 *xl - 4 * x2 - 4' 一 I 8 * x2 - 4 * xl .初始點(diǎn)梯度向量：（f儀）=國(guó)海色矩陣：2二 4-4-48 .海色矩陣逆矩陣:2（尸=1F2共111.當(dāng)前步的搜索方向?yàn)椋?（尸=- 1PL JL11 -81 二-1 "1121新的迭代點(diǎn)位于當(dāng)前的搜索方向上：X（k+1） =x （k） + aS （k） =x + aS（°）1 - a.2 + a.-1.1.用+。把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量。的函數(shù)F（a）f（X（k+】）= f（；D =（a +（3a + 3乃= F（a）令竽 =20a+ 20=0,可以求出當(dāng)前

12、搜索方向上的最優(yōu)步長(zhǎng) daa 二一 1新的迭代點(diǎn)為 X（1）=X +as（。）= g - - =：當(dāng)前梯度向量的長(zhǎng)度IIHI = 712x12 + 8x8 = 14.4222 > s,因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第二迭代步：二4*xl - 4 * x2 - 4-I 8 * x2 - 4 * xl“）= ；llfll = 0 < £因此不用繼續(xù)計(jì)算，第一步迭代已經(jīng)到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)。這正是牛頓法的二次收斂性。對(duì)正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點(diǎn)。3、設(shè)有函數(shù)f（X）=x+2x22-2xiX2-4xi,試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。解：首先利用極值必要條件=2找出可能的極值點(diǎn)：令r2*x

13、l - 2*x2 - 41 rOi=1 4*x2 - 2.xl /求得問=那是可能的極值點(diǎn)。再利用充分條件2正定（或負(fù)定）確認(rèn)極值點(diǎn)。2(0 =|2| = 2> 0二2 二8-4=4> 04因此2正定,X，=； =:是極小點(diǎn)，極值為f(X*)=-84、求目標(biāo)函數(shù)f( X )=X12+X1X2+2X22 +4x1+6x2+10的極值和極值點(diǎn)。解法同上5、試證明函數(shù)£逐)=2乂/+5乂22+乂32+2乂3乂2+2乂.內(nèi)樂2+3在點(diǎn)1,1, -2T處具有極小值0解：必要條件：4 * xl + 2 * x3(f)=10 * x2 + 2 * x3 - 6.2 * xl + 2 *

14、 x2 + 2 * x3.將點(diǎn)1. 1, -2T帶入上式,可得O-二0o充分條件4 0 2'2(f) = 0 10 2.2 2 2.|4|=4> 04 0 20 10 2 =80 -40 - 16 = 24 > 02 2 22(。正定。因此函數(shù)在點(diǎn)1, 1, -2T處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問題min f(X)=(xi-3)2+(X2-2)2.gi(X)=-xr-X22 + 50g2(X)= - xi - 2x2 + 4N0g3(X)= xi NOg4(X)=X20驗(yàn)證在點(diǎn)X=Kuhn-Tucker條件成立。解：首先，找出在點(diǎn)乂=2, 17起作用約束：gi(X) =0g2

15、(X) =0g3(X) =2g4(X) = 1因此起作用約束為gi(X)s g2(X)o然后，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否可以表示 為起作用約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。叱:NT七3)=此加上g2)=E求解線性組合系數(shù) =Al? (gl) +入2? (g2)得到入1=或入2 = /均大于0因此在點(diǎn)x =2, lr Kuhn-Tucker條件成立 7、設(shè)非線性規(guī)劃問題用K-T條件驗(yàn)證X，=1,01為其約束最優(yōu)點(diǎn)。解法同上8、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=xi+X2,受約束于： gl(X)=-X12+X2>0g2(X)=Xl>0寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解：內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)的一般公

16、式為其中：r>r（2）>r >例 >。是一個(gè)遞減的正值數(shù)列r（k） = Cr,k-n, 0<C< 1因此罰函數(shù)為：（Xa）=xl+x2 + r（k）%+9、已知目標(biāo)函數(shù)為 f（X）=（ xi-1）?+（X2+2）2受約束于:gl（X）=-X2-Xl-l>0g2（X）=2-Xl-X2>0g3（X）=Xi>0g4（X）=X2>0 試寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解法同上10.如圖，有一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長(zhǎng)為X的方塊并折轉(zhuǎn)， 造一個(gè)無蓋的箱子，問如何截法（X取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu) 化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MAT

17、LAB軟件求解的程序。11、某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為8OOOcm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材 料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。12、一根長(zhǎng)/的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例 截?cái)嚆U絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以 及用MATLAB軟件求解的程序。13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。14、薄鐵板寬20cm,折成梯形槽 /,求梯形側(cè)邊多長(zhǎng)及底角多大，才會(huì)使槽的斷面 積最大。寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出 M文件和求解命令）。15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長(zhǎng)度為c,高度為h,面積A=64516mnf,斜邊 與底邊的夾角為仇見圖1。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長(zhǎng)s的倒數(shù)成比例關(guān)系