完整版微分方程穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介

1、第五節(jié)微分方程穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介這里簡(jiǎn)單介紹下面將要用到的有關(guān)內(nèi)容：一、一階方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性設(shè)有微分方程dxf（x）（1）dt右端不顯含自變量t,代數(shù)方程f（x） 0（2）的實(shí)根x X。稱為方程（1）的平衡點(diǎn)（或奇點(diǎn)），它也是方程（1）的解（奇解）如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程（1）的解x（t）都滿足lim x（t） x0（3）則稱平衡點(diǎn)x。是穩(wěn)定的（穩(wěn)定性理論中稱 漸近穩(wěn)定）；否則，稱x。是不穩(wěn)定 的（不漸近穩(wěn)定）。判斷平衡點(diǎn)x。是否穩(wěn)定通常有兩種方法，利用定義即（3）式稱間接法，不求方程（1）的解x（t）,因而不利用（3）式的方法稱直接法，下面介紹直接法。將f（x）在x。做泰勒展開，只

2、取一次項(xiàng)，則方程（1）近似為：dxdx f '（x）（x x。）（4）dt（4）稱為（1）的近似線性方程。x。也是（4）的平衡點(diǎn)。關(guān)于平衡點(diǎn)x。的 穩(wěn)定性有如下的結(jié)論：若f'（x。）。，則x。是方程（1）、（4）的穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。若f'（x。）。，則x。不是方程（1）、（4）的穩(wěn)定的平衡點(diǎn)x。對(duì)于方程（4）的穩(wěn)定性很容易由定義（3）證明，因?yàn)椋?）的一般解是x（t） cef，（x）t X0（5）其中C是由初始條件決定的常數(shù)。二階（平面）方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性方程的一般形式可用兩個(gè)一階方程表示為dxi (t)dtdx2(t)f (Xi,X2)(6)g(Xi,X2)右端不顯含t

3、 ,代數(shù)方程組f（xi,X2） 0g（x,X2） o(7)的實(shí)根（Xi0,£）稱為方程（6）的平衡點(diǎn)。記為P0（xi°,x0）如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程（6）的解Xi（t）,X2（t）都滿足pm Xi(t)0xitim X2(t) x：(8)則稱平衡點(diǎn)R（xi°,x0）是穩(wěn)定的（漸近穩(wěn)定）；否則，稱Po是不穩(wěn)定的（不漸 近穩(wěn)定）。為了用直接法討論方法方程（6）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，先看線性常系數(shù)方程dxi(t)aixbiX2(9)dtdx2(t) 'a2Xi b2X2dt系數(shù)矩陣記作Aa1ba?b2并假定A的行列式detA 0于是原點(diǎn)Po（O,O）是方

4、程（9）的唯一平衡點(diǎn)，它的穩(wěn)定性由的特征方程det(A I) O的根 （特征根）決定，上方程可以寫成更加明確的形式:(io)p q o(ai b2)detA將特征根記作i, 2 ,則1 -1, 2 -( p Jp 4q)(11)方程(9)的解一般有形式 cie1t C2e 2t ( 12)或(ci C2t)e t ( 12)Ci,a為任意實(shí)數(shù)。由定義(8),當(dāng)1, 2全為負(fù)數(shù)或有負(fù)的實(shí)部時(shí)B(0,0)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，反之，當(dāng)1, 2有一個(gè)為正數(shù)或有正的實(shí)部時(shí)Po(O,O)是不穩(wěn)定的平衡 點(diǎn)微分方程穩(wěn)定性理論將平衡點(diǎn)分為結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)、中心等類型，完全由 特征根1, 2或相應(yīng)的p,q取值決定，

5、下表簡(jiǎn)明地給出了這些結(jié)果，表中最后一 列指按照定義(8)式得下馬看花關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論。表1由特征方程決定的平衡點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性1 , 2p,q平衡點(diǎn)類型穩(wěn)定性12一-2p 0,q 0, pq穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定12一22p 0,q 0, pq不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定10q 0鞍點(diǎn)不穩(wěn)定12一22p 0,q 0, pq穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定12-2p 0,q 0, pq不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定1 , 2cc2p 0,q 0, pq穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定1 , 2-2p 0,q 0, p q不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定1 , 2p 0,q 0中心不穩(wěn)定由上表可以看出，根據(jù)特征方程的系數(shù)p,q的正負(fù)很容易判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，準(zhǔn)則如下：若p 0,q

6、 0(12)則平衡點(diǎn)穩(wěn)定，若p 0 或 q 0(13)則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定以上是對(duì)線性方程（9）的平衡點(diǎn)Po（0,0）穩(wěn)定性的結(jié)論，對(duì)于一般的非線性 方程（6）,可以用近似線性方法判斷其平衡點(diǎn) R（xi0,x0）的穩(wěn)定性，在Po（x0,x2）點(diǎn)dx (t)dtdx2(t)dt將f （x, X2）和g（x, X2）作泰勒展開，只取一次項(xiàng)，得（6）的近似線性方程(14)fx(Xi°,x0)(x Xi0)fx2(Xi0,x2)(x2 x；)gx1(Xi0,x0)(x Xi0) gx2(Xi0,x0)(x2 x；)系數(shù)矩陣記作fXi fX2gxi gx2 P0（x0，x0）特征方程系數(shù)為P（fXi

7、 gX2 ） P0（x0,x0） , q det A顯然，F(xiàn)0（xi°,x0）點(diǎn)對(duì)于方程（i4）的穩(wěn)定性由表i或準(zhǔn)則（i2）、（i3）決定, 而且已經(jīng)證明了如下結(jié)論：若方程（i4）的特征根不為零或?qū)嵅坎粸榱悖瑒t R（x0,x2）點(diǎn)對(duì)于方程（6） 的穩(wěn)定性與對(duì)于近似方程（i4）的穩(wěn)定性相同。這樣，P0（xi°,x0）點(diǎn)對(duì)于方程（6）的穩(wěn)定性也由準(zhǔn)則（i2）、（i3）決定。第六節(jié)種群的相互競(jìng)爭(zhēng)與相互依存當(dāng)某個(gè)自然環(huán)境中只有一種生物的群體（生態(tài)學(xué)上稱為種群）生存時(shí)，人們常用Logistic模型來(lái)描述這個(gè)群數(shù)量的演變過程，即dx dtrx(i )Nx （t）是種群在時(shí)刻t的數(shù)量，r

8、是固有增長(zhǎng)率，N是環(huán)境資源容許的種群最大數(shù)量，在前面我們?cè)鴳?yīng)用過這種模型，由方程（ D可以直接得到，Xo=N是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，即t 一時(shí)x（t） -N,從模型本身的意義看這是明顯的結(jié)果。如果一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)或兩個(gè)以上種群生存，那么它們之間就要存在著 或是相互競(jìng)爭(zhēng)，或是相互依存，或是弱肉強(qiáng)食（食餌與捕食者）的關(guān)系。這里將從穩(wěn)定狀態(tài)的角度分別討論這些關(guān)系、種群的相互競(jìng)爭(zhēng)當(dāng)兩個(gè)種群為了爭(zhēng)奪有限的食物來(lái)源和生活空間而進(jìn)行生存競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，最常見的結(jié)局是競(jìng)爭(zhēng)力較弱的種群滅絕，競(jìng)爭(zhēng)力較強(qiáng)的種群達(dá)到環(huán)境容許的最大數(shù)量。 人們今天可以看到自然界長(zhǎng)期演變成的這樣的結(jié)局，例如一個(gè)小島上雖然有四種 燕子棲息，但是它們的食

9、物來(lái)源各不相同，一種只在陸地上覓食，另兩種分別在 淺水的海灘上和離岸稍遠(yuǎn)的海中捕魚，第四種則飛越寬闊的海面到遠(yuǎn)方攫取海 味，每一種燕子在它各自生存環(huán)境中的競(jìng)爭(zhēng)力明顯地強(qiáng)于其它幾種，這里我們建立一個(gè)模型解釋類似的現(xiàn)象，并分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。模型建立 有甲乙兩個(gè)種群，當(dāng)它們獨(dú)自在一個(gè)自然環(huán)境中生存時(shí)， 數(shù)量的演變均遵從Logistic 規(guī)律，記x«）,x2（t）是兩個(gè)種群的數(shù)量，也是它們的固有增長(zhǎng)率，N、N是它們的最大容量， 于是對(duì)于種群甲有dxi一 rxi(1 dtx1Ni其中因子（1 9）反映由于甲方有限資源的消耗導(dǎo)致的對(duì)它本身增長(zhǎng)的阻滯 Ni作用，上可解釋為相對(duì)于N而言單位數(shù)量

10、的甲消耗的供養(yǎng)甲的食物量（設(shè)食物 Ni總量為i ） 0當(dāng)兩個(gè)種群在同一自然環(huán)境中生存時(shí)，考察由于乙消耗同一種有限資源對(duì)甲的增長(zhǎng)產(chǎn)生的影響，可以合理地在因子 （i 土）中再減去一項(xiàng)，該項(xiàng)與種群乙的Ni數(shù)量x2 （相對(duì)于N2而言）成正比，得到種群甲方增長(zhǎng)的方程dxidtx1Ni二) 1N2)這里i的意義是，單位數(shù)量乙（相對(duì) N2而言）消耗的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲（相對(duì)N）消耗的供養(yǎng)甲的食物量的 i倍。類似地，甲的存在也影響了乙的增長(zhǎng)，種群乙的方程應(yīng)該是dx2xix2、一區(qū)(12一一)dtN1N2對(duì)2可作相應(yīng)的解釋在兩種群的相互克爭(zhēng)中2是兩個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)，從上面對(duì)它們的解釋可知,1 >1表示在

11、消耗供養(yǎng)甲的資源中，乙的消耗多于甲，因而對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用乙大于甲，即乙的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)于甲，對(duì)2>1可作相應(yīng)的理解。一般地說，1與2之間沒有確定的關(guān)系，但是可以把下面這種特殊情況作為較常見的一類實(shí)際情況的典型代表，即兩個(gè)種群在消耗資源中對(duì)甲增長(zhǎng)的阻作 用對(duì)乙增長(zhǎng)的阻滯作用相同，具體地說就是，因?yàn)閱挝粩?shù)量的甲和乙消耗的供養(yǎng)甲方食物量之比是1：一消耗的供養(yǎng)甲方食物量之比是 2： 1,所謂阻滯作用相同即1 ：尸2： 1,所以這種特殊情形可以定量地表示為1 2=1（4）即1、2互為倒數(shù)，可以簡(jiǎn)單地理解為，如果一個(gè)乙消耗的食物是一個(gè)甲的 產(chǎn)k倍，則一個(gè)甲消耗的食物是一個(gè)乙的2二1/k。卜面我們?nèi)匀挥懻?/p>

12、1、2相互獨(dú)立的一般情況，而將條件（4）下對(duì)問題的分析留給大家討論。穩(wěn)定性分析為了研究?jī)蓚€(gè)種群相互競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)局，即t 8時(shí)x1（t）,X2（t）的趨向，不必要解方程（2）、（3）,只需對(duì)它的平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。首先根據(jù)微分方程（2）、（3）解代數(shù)方程組f（X1,X2）r1X1（1 上N1X1g（X1, X2） r2X2（12 N1(5)X2N2得到4個(gè)平衡點(diǎn):N1(11) N2(12)耳(N1,0), P2(0,4)尸3( 111), 2122),P4(0,0)11 211 2因?yàn)閮H當(dāng)平衡點(diǎn)們于平面坐標(biāo)系的第一象限時(shí)（X1,X2 0）才有實(shí)際意義,所以對(duì)P3而言要求1、2同時(shí)小于1,或同時(shí)大于

13、1。按照判斷平衡點(diǎn)性的方法（見前面）計(jì)算fxi fxgxigx2r1(12x1Ni1X2) NTri 1X1N2p(fxigGp,i 1,2,3,4 q detAP,i 1,2,3,4將4個(gè)平衡點(diǎn)p、q的結(jié)果及穩(wěn)定條件列入下表表1種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性平衡點(diǎn)pq穩(wěn)定條件P(Ni,0)ri2。2)42。2)i i, 2iB(0,電)ri(i i)22。i)i i, 2iC/Ni(i i) N2(i 2)、P3(1)i i 2ii 2ri(ii)Ri2)rir2(ii)(i2)i i, 2iii 2ii 2E(0,0)(ri r2)不穩(wěn)定注：表中最后一列“穩(wěn)定條件”除了要求p>0,q&

14、gt;0以外，還有其他原因，見下面的具體分析 為了便于對(duì)平衡點(diǎn)Pi、P2、P3的穩(wěn)定條件進(jìn)行分析，在相平面上討論它們。 在代數(shù)方程組(5)中記(Xi,X2)1 碧事 0N i N 2(X,x2)IxiNiN2對(duì)于i、2的不同取值范圍，直線=0和 =0在相平面上的相對(duì)位置不同，下面給出它們的4種情況;并對(duì)這4種情況進(jìn)行分析I、 i I, 2 I。由表I知對(duì)于P(Ni,0)有p >0, q <0, P穩(wěn)定；P的穩(wěn)定性還可以從t-oo時(shí)相軌線的趨向來(lái)分析，圖 i中 =0和=0兩條直線將相平面(xi 0,x2 0)劃分為3個(gè)區(qū)域:X2 +(1)11, 21圖11 1, 2 1P1穩(wěn)定S:

15、dx1 / dt0,dx2/dt0(6)S2:dx1/dt0,dx2/dt0(7)S3:dx1/dt0,dx2/dt0(8)可以證明，不論軌線從哪個(gè)區(qū)域出發(fā)，t-8時(shí)都將趨向R (N, 0)。若軌線從S出發(fā)，由(6)可知隨著t的增加軌線向右上方運(yùn)動(dòng)，必然進(jìn)入若軌線從&出發(fā)，由(7)可知軌線向右下方運(yùn)動(dòng)，那么它或者趨向P1點(diǎn)，或者進(jìn)入但是進(jìn)入與是不可能的，因?yàn)?，如果設(shè)軌線在某時(shí)刻t1經(jīng)直線 =0進(jìn)入S3,則d x1(t 1)/ dt =0,由方程(2)不難算出,2d kr1 1 dx2dt2N2dt由(7)、(8)知dx2/dt<0,故d2x1/dt2 0,表明x1 (t)在匕達(dá)到

16、極小值,而這是不可能的，因?yàn)樵?&中dx1/dt >0,即x1(t) 一直是增加的；若軌線從S出發(fā)，由(8)可知軌線向左下方運(yùn)動(dòng)，那么它或者趨向P1點(diǎn),或者進(jìn)入S2,而進(jìn)入$后，根據(jù)上面的分析最終也將趨向綜上分析可以畫出軌線示意圖（圖1）,因?yàn)橹本€ =0上dx=0,所以在 =0上軌線方向垂直于xi軸；在 =0上dx2=0，軌線方向平行于xi軸。2、11,2 1,類似的分析可知P2（0,N2）穩(wěn)定。圖211, 2 1P2穩(wěn)定3、11,2 1 ,由表1知對(duì)于P3點(diǎn)p >0, q >0,故P3穩(wěn)定，對(duì)軌線趨勢(shì)的分析見圖3。圖31 1, 2 1 艮穩(wěn)定4、 1 1, 2 1

17、,由表1知對(duì)于P3點(diǎn)q<0,故P3不穩(wěn)定（鞍點(diǎn)），軌線或者 趨向R,或者趨向P2,由軌線的初始位置決定，示意圖見圖 4,在這種情況下P 和P2都不能說是穩(wěn)定的，正因?yàn)檫@樣，所以P,穩(wěn)定（與初始條件無(wú)關(guān)）的條件需 要加上1 1 , P2穩(wěn)定的條件加上2 1 o圖41 1, 2 12不穩(wěn)定結(jié)果解釋 根據(jù)建模過程中1, 2的含義，說明Pl、F2、P3點(diǎn)穩(wěn)定在生態(tài)上 的意義。1、 1 1, 2 1, 1 1意味著在對(duì)供養(yǎng)甲的資源的競(jìng)爭(zhēng)中乙弱于甲，2 1意味著在對(duì)供養(yǎng)乙的資源的競(jìng)爭(zhēng)中甲強(qiáng)于乙， 于是種群乙終滅絕，種群甲趨向最 大容量，即X1（t）,X2（t）趨向平衡點(diǎn)耳（N1,0）2、 1 1,

18、2 1 ,情況與1正好的相反。3、 1 1, 2 1,因?yàn)樵诟?jìng)爭(zhēng)甲的資源中乙較弱，而在競(jìng)爭(zhēng)乙的資源中甲較弱，于是可以達(dá)到一個(gè)雙方共存的穩(wěn)定的平衡狀態(tài)P3 ,這是種群競(jìng)爭(zhēng)中很少出現(xiàn)的情況。4、1,1,請(qǐng)大家作出解釋生態(tài)學(xué)中有一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)排斥原理；若兩個(gè)種群的單個(gè)成員消耗的資源差不多相 同，而環(huán)境能承受的種群甲的最大容量比種群乙大，那么種群乙終將滅亡，用本節(jié)的模型很容解釋這個(gè)原理。將方程（2）、（3）改寫為dx1dtriXi(1dx2dt叱2（1xiN22 一 KN2X2一)原理的兩個(gè)條件相當(dāng)于N11,N1N2從這3個(gè)式子顯然可得1 ,這正是R穩(wěn)定，即種群乙滅絕的條件。、種群的相互依存自然界中處于同一

19、環(huán)境下兩個(gè)種群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的，植物可以獨(dú)立生存。昆蟲的的授粉作用又可以提高植物的增長(zhǎng)率，而以花粉為食物的昆蟲卻不能離開植物單獨(dú)存活，人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也有類似的關(guān)系，這種共生現(xiàn)象可以描述如下。設(shè)種群甲可以獨(dú)立存在，按 Logistic 規(guī)律增長(zhǎng)，種群乙為甲提供食物，有 助于甲的增長(zhǎng)，類似于前面的方程（2）,種群甲的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作（一、 N、N的意義同前）X1N1戊）dx1r* (1 dt1前面的 號(hào)這里變成十號(hào)，表示乙不是消耗甲的資源而是為甲提供食物，1的含義是：?jiǎn)挝粩?shù)量乙（相對(duì)于NO提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲（相對(duì)于N）消耗的供養(yǎng)甲食物量的1倍。種群乙沒有甲

20、的存在會(huì)滅亡，設(shè)其死亡率為 2,則乙單獨(dú)存在時(shí)有dx2 / dtr2x2（10）甲為乙提供食物，于是（2）式右端應(yīng)加上甲對(duì)乙增長(zhǎng)的促進(jìn)作用，有dx2 /dtr2x2（1 2 2）（11）N1顯然僅當(dāng)2 %時(shí)種群乙的數(shù)量才會(huì)增長(zhǎng)，與此相同乙的增長(zhǎng)又會(huì)受到自Ni身的阻滯作用，所以93）式右端還要添加Logistic項(xiàng)，方程變?yōu)閐x2/dtr2x2（12% &）（12）N1 N2方程（9）、（12）構(gòu)成相互依存現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，下面利用平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 分析，討論時(shí)間足夠長(zhǎng)以后兩個(gè)種群的變化趨向。類似于前面的作法將方程（9）、（12）的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析的結(jié)果列入表2表2種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性平衡點(diǎn)Pq穩(wěn)定條件耳(N1,0)r L( 2 1)1r2( 2 1)21,121C/NN11)心(2 1)、P2( d, d)11 211 2h(11) 2( 2 1)12(11)( 2 1)11, 21,11 211 21 21P3(0,0)12r1r2不穩(wěn)定顯然，B點(diǎn)穩(wěn)定才表明兩個(gè)種群在同一環(huán)境里相互依存而共生，我們著重分析F2穩(wěn)定的條件。由P2的表達(dá)式容易看出，要使平衡點(diǎn) P2有實(shí)際意義，即位于相平面