ch9-4-3二階常系數(shù)非齊次方程新ppt課件

1、三、二階線性常系數(shù)微分方程的解法三、二階線性常系數(shù)微分方程的解法0 qyypy二階線性常系數(shù)齊次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階線性常系數(shù)齊次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(xfqyypy 二階線性常系數(shù)非齊次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階線性常系數(shù)非齊次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式1.1.二階常系數(shù)齊次線性方程的通解二階常系數(shù)齊次線性方程的通解0 yqypy)1(分析：分析：，不妨設(shè)不妨設(shè)xey 式式，代代入入)1(，02 xxxqeepe ，由于由于0 xe 則有則有02 qp )2(定定義義的的稱稱為為方方程程特特征征方方程程00 2 yqypyqp 的的根根稱稱為為特特征征方方程程特特征征根根02 qp 情形情形1，042 qp的實(shí)根：的

2、實(shí)根：特征方程有兩個(gè)不相等特征方程有兩個(gè)不相等21 于是，于是，有兩個(gè)特解：有兩個(gè)特解：方程方程0 yqypy，xxeyey 211并并且且)x(xxeee2121 不不是是常常數(shù)數(shù)，的的通通解解為為因因此此方方程程0 qypyyxxeCeCy2121 的兩個(gè)根為的兩個(gè)根為易知易知02 qp 2422 , 1qpp 情情形形 2，042 qp實(shí)根：實(shí)根：特征方程有兩個(gè)相等的特征方程有兩個(gè)相等的 21于于是是，有一個(gè)特解：有一個(gè)特解：方程方程0 yqypyxey 1，下下面面尋尋找找另另一一個(gè)個(gè)特特解解2y不為常數(shù)不為常數(shù)且要求且要求12yy，設(shè)設(shè))(12xuyy ，即即)(2xueyx 則則，

3、)(2uueyx ，)2(22 uuueyx ，得得代代入入方方程程0 qypyy，0)()2( 2 uqeuupeuuuexxx 即即，0)()2(2 uqpupuex 由于由于，02 qp ，02 p 則有則有0 u，不妨取不妨取xu 則則另另一一個(gè)個(gè)特特解解為為xxey 2的的通通解解為為從從而而方方程程0 qypyyxxxexCCxeCeCy )(2121 情情形形 3，042 qp根根：特特征征方方程程有有一一對(duì)對(duì)共共軛軛復(fù)復(fù))0(2 , 1 i于于是是，有兩個(gè)特解：有兩個(gè)特解：方程方程0 yqypy，xiey)(1 xiey)(2 利用歐拉公式：利用歐拉公式： sincosiei

4、于于是是，xixeey 1，)sin(cosxixex xixeey 2，)sin(cosxixex 而而)(2121yy ，xex cos )(2121yyi ，xex sin 且且xxexexx cotsincos 不不是是常常數(shù)數(shù)的的通通解解為為因因此此0 qypyy)sincos(sincos2121xCxCexeCxeCyxxx 求求解解步步驟驟：二二階階常常系系數(shù)數(shù)齊齊次次方方程程的的；寫出方程的特征方程寫出方程的特征方程0)1(2 qp 求求出出特特征征方方程程的的根根；)2(同同情情況況寫寫出出方方程程的的通通解解）根根據(jù)據(jù)特特征征方方程程根根的的不不（3特特征征方方程程的的根

5、根微分方程的解微分方程的解21 xxeCeCy2121 21 xexCCy )(21 i 2, 1)sincos(21xCxCeyx 解解求下列方程的通解或特求下列方程的通解或特例例1；032)1( yyy；，2402)2(00 xxyyyyy054)3( yyy解解)1(，特征方程特征方程0322 特特征征根根：，3121 所所以以通通解解為為xxeCeCy321 )2(，特征方程特征方程0122 特特征征根根：121 所所以以通通解解為為xexCCy)(21 代入通解中，得代入通解中，得將將40 xy；41 C從從而而xexCy)4(2 即有即有，)4(22CxCeyx 得得代代入入20

6、xy62 C于于是是所所求求特特解解為為xexy)64( ，特征方程特征方程0542 特特征征根根：i 22, 1 所所以以通通解解為為)sincos(212xCxCeyx )3(系系數(shù)數(shù)齊齊次次可可推推廣廣到到一一階階或或高高階階常常注注,法法利利用用特特征征根根求求通通解解的的方方線線性性方方程程的的求求解解中中求解一階方程求解一階方程例如例如03 yy，特征方程特征方程03 特征根特征根3 因因此此通通解解為為xCey3 ，的的釘釘子子上上一一鏈鏈條條掛掛在在一一個(gè)個(gè)無無摩摩擦擦一一邊邊假假定定運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)開開始始時(shí)時(shí)鏈鏈條條自自米，米，垂下垂下 8米米，另另一一邊邊垂垂下下 10需多少時(shí)間

7、？需多少時(shí)間？試問整個(gè)鏈條劃過釘子試問整個(gè)鏈條劃過釘子解解度度為為鏈鏈條條垂垂下下較較長(zhǎng)長(zhǎng)一一邊邊的的長(zhǎng)長(zhǎng)設(shè)設(shè)在在時(shí)時(shí)刻刻 t米，米，s，鏈條的線密度為鏈條的線密度為 則有則有g(shù)sgs )18( 18 22ddts即即)9(9dd22 sgts初始條件：，10)0( s，0)0( s例例2ss 18，令令9 sx，且有且有22tstxdddd22 則則方方程程化化為為xgtx9dd22 二階常系數(shù)齊次微分方程二階常系數(shù)齊次微分方程其其通通解解為為ttggeCeCx3321 即即ttggeCeCs33219 由由初初始始條條件件：，10)0( s，0)0( s可得可得，2121 CC ttgge

8、es33219于于是是從從而而有有01)182(332 tgtgese)1)9(932 ssgtln(時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)18 s)549ln(3 gt2. 2. 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程)( xfyqypy )3(求求通通解解的的步步驟驟：；的通解的通解求對(duì)應(yīng)齊次方程求對(duì)應(yīng)齊次方程)(0)1( xyyqypyc ；的的一一個(gè)個(gè)特特解解求求方方程程)()()2( xyxfyqypyp 寫寫出出通通解解)()()3(xyxyypc 解解為為幾幾種種函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)的的方方程程特特?cái)?shù)數(shù)法法”，求求下下面面介介紹紹利利用用“待待定定系系)(xf)()(1xPexfmx 類類型型)(次次多多

9、項(xiàng)項(xiàng)式式是是為為常常數(shù)數(shù)，mxPm 分析：分析：的一個(gè)特解形式為的一個(gè)特解形式為假設(shè)方程假設(shè)方程)3(，xpexQy )(是待定多項(xiàng)式）是待定多項(xiàng)式）（其中（其中)(xQ有有，)()(xQxQeyxp ，)()(2)( 2xQxQxQeyxp ，得得代代入入方方程程，將將)3( pppyyy)()()()()(2)( 2xQqexQxQpexQxQxQexxx 化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)，得得)(xPemx 的的根根，不不是是特特征征方方程程若若0) i (2 qp 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式為為則則)()(xQmxQm的的單單根根，是是特特征征方方程程若若0)ii(2 qp 化為化為則方程則方程)4()()()2()(

10、 xPxQpxQm 0111.)(bxbxbxbxQmmmmm 011,.,bbbbmm 代代入入方方程程，確確定定系系數(shù)數(shù)從從而而求求得得方方程程的的特特解解xmpexQy )( 可可令令次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式必必是是mxQ)( )()()()()2()(2 xPxQqpxQpxQm )4()( xPeyqypymx 特特征征方方程程02 qp ，其中其中xmkpexQxy )( 的的一一個(gè)個(gè)特特解解形形式式為為，則則方方程程若若)3()()(xPexfmx 結(jié)結(jié)論論)()(2xQxxQm 則則可可令令)()( xPxQm 的重根，的重根，是特征方程是特征方程若若0)iii(2 qp 化為化為則方

11、程則方程)4(則則可可令令)()(xQxxQm xmpexQxy )( xmpexQxy )(2 是是特特征征重重根根是是特特征征單單根根不不是是特特征征根根 2,10k求方程通解求方程通解例例 3；12)1( xyy解解，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程0 yy，特征方程特征方程02 ，特征根特征根10 則齊次方程的通解為則齊次方程的通解為xceCCy21 設(shè)設(shè)特特解解形形式式為為，則則baxyp 2，ayp2 代入原微分方程，代入原微分方程，將將 pppyyy得得12)2(2 xbaxa比較系數(shù)，得比較系數(shù)，得22 a12 ba，解解得得1 a，3 b所所得得特特解解為為xxyp32 因因此此所所

12、求求通通解解為為xxeCCyx3221 ，)(baxxyp ，對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程032 yyy，特征方程特征方程0322 ，特征根特征根13 則則齊齊次次方方程程的的通通解解為為xxceCeCy231 ，設(shè)特解形式為設(shè)特解形式為xxpaeexay220 ，則則xpeay22 ，xpeay24 代入原微分方程，得代入原微分方程，得，xxxxeeaeaea2222344 由此可知：由此可知：51 a所以特解為所以特解為xpey251 因而所求通解為因而所求通解為xxxeeCeCy223151 ；xeyyy232)2( ，對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程02 yyy，特征方程特征方程0122 兩重兩重

13、特征根特征根)(1 則齊次方程的通解為則齊次方程的通解為xcexCCy)(21 ，設(shè)特解形式為設(shè)特解形式為xpebaxxy)(2 23223bxaxbxaxeyxp ，2)46()6(23 bxbaxbaaxeyxp 則則代入原微分方程，得代入原微分方程，得26baxex xxe2 比較系數(shù)，得比較系數(shù)，得26 a02 b，解得解得31 a0 b求求得得特特解解為為xpexy331 因因此此所所求求通通解解為為xxexexCCy32131)( ，2)3(23bxxbaaxex xexyyy22)3( 的的一一個(gè)個(gè)特特解解求求方方程程例例xexyyy264 解解 py設(shè)設(shè)bax ，xexc2 則

14、則，xxpexcecay222 ，xxpexcecy2244 代入方程，得代入方程，得，xxxxxxexcxebaxexcecaexcec222222 6244 即即xxexaxbaec22665 比較系數(shù)，得比較系數(shù)，得15 c16 a06 ba解得解得，61 a，361 b，51 c所所以以特特解解為為xpexxy25136161 ，特特征征方方程程062 ，特特征征根根32 疊加原理疊加原理滿滿足足初初始始條條件件求求方方程程例例xxeeyyy 250)0(0)0( yy，的的特特解解解解對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程，02 yyy，特征方程特征方程0122 ，兩兩重重特特征征根根：)(1 齊

15、次方程的通解為齊次方程的通解為xcexCCy )(21 py設(shè)設(shè)xea，xexb 2則則，xxxpebxebxeay 22，)24(2 bbxbxeeayxxp 代入所給方程，得代入所給方程，得，xxxxeeebea 24，得得比比較較兩兩端端同同類類項(xiàng)項(xiàng)的的系系數(shù)數(shù)14 a12 b，解得解得41 a21 b得到一個(gè)特解為得到一個(gè)特解為xxpexey 22141于是所給方程的通解為于是所給方程的通解為xxxexexCCey 2212141)(，得得由由0)0( y；411 C而而xxxxxxeexeeCxCCey 22212141)(，得得代代入入0)0( y212 C因因此此所所求求特特解解

16、為為xxxexexey 22141)21(21sin)(cos)()(2xxPxxPexfmlx 類類型型次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式次次及及分分別別為為、其其中中mlxPxPml)()(其特解形式可設(shè)為其特解形式可設(shè)為sin)(cos)(xxRxxQexynnxkp 次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，分別為分別為、其中其中nxRxQnn)()(即即，是特征根的重?cái)?shù)而取是特征根的重?cái)?shù)而取按按. 10 ik ,10 是單根是單根不是根不是根 iik；,maxmln 求方程通解求方程通解例例6；xxyy2cos)1( xeyyyxsin54)2(2 解解)1(對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程，0 yy，特征方程特征方程012 ，特

17、特征征根根：i 齊齊次次方方程程的的通通解解為為xCxCycsincos21 ，設(shè)設(shè)xdcxxbaxyp2sin)(2cos)( 則則，xdcxxcxbaxxayp2cos)(22sin2sin)(22cos ，xdcxxcxbaxxayp2sin)(42cos42cos)(42sin4 代入所給方程，得代入所給方程，得，xxxadcxxcbax2cos2sin)433(2cos)433( ，得得比比較較兩兩端端同同類類項(xiàng)項(xiàng)的的系系數(shù)數(shù)13 a043 cb03 c043 ad解得解得，31 a，0 b，0 c94 d得得到到一一個(gè)個(gè)特特解解為為xxxyp2sin942cos31 于于是是，所所

18、求求通通解解為為xxxxCxCy2sin942cos31sincos21 對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程，特特征征根根：i 2 齊次方程的通解為齊次方程的通解為)sincos(212xCxCeyxc ，054 yyy，特征方程特征方程0542 設(shè)特解為設(shè)特解為則則，sin)2(cos)2(2xaxbxbxbxaxaeyxp ，sin)4324(cos)4324(2 xaxbxabxbxaxbaeyxp xeyyyxsin54)2(2 ，)sincos(2xbxaexyxp 代入所給方程，化簡(jiǎn)得代入所給方程，化簡(jiǎn)得，xexaxbexxsinsin2cos222 ，得得比比較較兩兩端端同同類類項(xiàng)項(xiàng)的的系

19、系數(shù)數(shù)02 b12 a，解得解得021 ba得到一個(gè)特解為得到一個(gè)特解為xexyxpcos212 于于是是，所所求求通通解解為為xxexCxCeyxxcos21)sincos(2212 例例7的的通通解解。求求方方程程xexyyyx4cos)1(8622 解：解：對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程為為086 yyy特特征征方方程程0862 42，特征根為特征根為 齊齊次次方方程程的的通通解解為為xxceCeCy4221 的的特特解解。先先求求方方程程xexyyy22)1(86 xecxbxaxy211211)( 設(shè)設(shè)代入方程并整理得代入方程并整理得122)46(62111121 xcbxbaxa比較

20、系數(shù)得：比較系數(shù)得： 1220461611111cbbaa43,41,61111 cba解解得得：方方程程的的特特解解為為xexxxy221)434161( 的的特特解解。以以下下求求方方程程xyyy4cos86 xbxay4sin4cos222 設(shè)其特解為設(shè)其特解為代入方程并整理得：代入方程并整理得：比較系數(shù)得：比較系數(shù)得： 082412482222babaxxabxba4cos4sin)248(4cos)248(2222 )4sin34(cos8012xxy 解解得得：解解為為所所以以，原原方方程程的的一一個(gè)個(gè)特特 21yyypxexxx22)434161( )4sin34(cos801x

21、x 所所以以方方程程的的通通解解為為xexxxy22)434161( )4sin34(cos801xx xxeCeC4221 注注意意：，或或中中含含有有若若xxxf cossin)()1(xyp sin中一定包含中一定包含則特解則特解和和x cos檢驗(yàn)：檢驗(yàn)：)2(代代入入所所給給方方程程中中，將將所所設(shè)設(shè)特特解解形形式式py若不可能成為若不可能成為恒恒等等式式，的的形形式式錯(cuò)錯(cuò)則則py步驟：步驟：的帶有初始條件的特解的帶有初始條件的特解求方程求方程)( xfyqypy ；求求對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的通通解解cy)1(利用特征值方法利用特征值方法；解解求所給非齊次方程的特求所給非齊次方程

22、的特py)2(利用待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法；寫出所給方程的通解寫出所給方程的通解pcyyy )3(利用解的結(jié)構(gòu)定理利用解的結(jié)構(gòu)定理代入初始條件代入初始條件)4(8例例,)()(sin)(0 xdttftxxxf設(shè)設(shè))()(xfxf為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，求求解：解：原式可改寫為原式可改寫為 xxdtttfdttfxxxf00)()(sin)(0)0(0 fx時(shí)時(shí)，得得初初始始條條件件當(dāng)當(dāng)兩兩端端求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)()()(cos)(0 xxfxxfdttfxxfx 1)0(, 0 fx得得另另一一初初始始條條件件，上上式式中中，令令兩端求導(dǎo)數(shù)，得兩端求導(dǎo)數(shù)，得)(sin)(xfxxf 即即xxfx

23、fsin)()( xdttfx0)(cos對(duì)應(yīng)的齊次方程對(duì)應(yīng)的齊次方程特征方程為特征方程為012 有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根i 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xCxCycsincos21 ,是是特特征征方方程程的的根根由由于于ii 可可設(shè)設(shè)方方程程的的特特解解為為)sincos(xBxAxyp 代入方程，得代入方程，得xxAxBsinsin2cos2 比較同類項(xiàng)系數(shù)：比較同類項(xiàng)系數(shù)： 1202AB滿足初值問題滿足初值問題所以，所以，)(xf 1)0(, 0)0(sinyyxyy0 yy解得：解得：0,21 BA于是方程的一個(gè)特解為于是方程的一個(gè)特解為xxypcos21 其通解為其通

24、解為xCxCxxysincoscos2121 代入初始條件，得代入初始條件，得 121)0(0)0(21CyCy21, 021 CC于是，所求函數(shù)為于是，所求函數(shù)為xxxxfcos21sin21)( 例例10的的反反函函數(shù)數(shù)是是且且）上上有有二二階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，在在（設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))()(, 0)(xyyyxxyxyy 所滿足的微分方程所滿足的微分方程試將試將)()1(yxx 0)(sin(322 dydxxydyxd滿足的微分方程；滿足的微分方程；變換為變換為)(xyy 件件）求求變變換換后后滿滿足足初初始始條條（2的特解。的特解。23)0(, 0)0( yy解：解：）（ 1ydydx

25、1由于由于)1(22ydyddyxd dydxydxd )1(yyy 1)(23)(yy 代入原方程整理得：代入原方程整理得：xyysin (2)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xxceCeCy21 xypsin21 非非齊齊次次方方程程的的特特解解為為通解為通解為xxeCeCxy21sin21 由由初初始始條條件件，有有 2321)0(0)0(2121CCyCCy1, 121 CC所求特解為所求特解為xxeexy sin21內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)xmexPyqypy )(. 1 為特征方程的為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根重根,xmkpexQxy )( 則設(shè)特解為則設(shè)特解為sin

26、)(cos)(. 2xxPxxPeyqypymlx 為特征方程的為特征方程的 k (0, 1 )重根重根, i xkpexy 則設(shè)特解為則設(shè)特解為sin)(cos)(xxRxxQnn mln,max 3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.思考與練習(xí)思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為時(shí)可設(shè)特解為 xxxfcos)()1 當(dāng)當(dāng)xexxxf22cos)()2 當(dāng)當(dāng) xyp xbxacos)( pyxdxcxbxa2sin)(2cos)( xek2 )(xfyy 時(shí)可設(shè)特解為時(shí)可設(shè)特解為 xdcxsin)( 1 . (填空填空) 設(shè)設(shè)四、高階線性常系數(shù)微分方程n階線性常系數(shù)方程的

27、一般形式是階線性常系數(shù)方程的一般形式是)1()(.01)1(1)(xfyayayaynnn 是是一一連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)是是常常數(shù)數(shù)，自自由由項(xiàng)項(xiàng)其其中中，系系數(shù)數(shù))(,.,120 xfaaan 齊齊次次方方程程為為)2(0.01)1(1)( yayayaynnn方程，設(shè)方程，設(shè)類似于二階常系數(shù)齊次類似于二階常系數(shù)齊次xey 方方程程的的解解為為 那那么么xnnxxeyeyey )(2,.,代入方程得代入方程得0).(0111 xnnneaaa 滿滿足足代代數(shù)數(shù)方方程程于于是是，當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) )3(0.0111 aaannn 是該齊次方程的解是該齊次方程的解時(shí)，時(shí)，xey ）的的特特征征方方程

28、程。）為為齊齊次次方方程程（稱稱方方程程（23的的通通解解情情況況表表：階階常常系系數(shù)數(shù)齊齊次次線線性性方方程程n階階常常系系數(shù)數(shù)齊齊次次線線性性方方程程n001)1(1)( ypypypynnn特特征征方方程程00111 pppnnn 單實(shí)根單實(shí)根) i (xe 一一個(gè)個(gè)解解： i 一對(duì)單復(fù)根一對(duì)單復(fù)根ii)(xexexx sincos兩兩個(gè)個(gè)無無關(guān)關(guān)解解： 重重實(shí)實(shí)根根kiii)(個(gè)無關(guān)解：個(gè)無關(guān)解：kxkxxxexexxee 12., ik 重復(fù)根重復(fù)根)iv(個(gè)個(gè)無無關(guān)關(guān)解解：k2xexxxexexkxx cos,cos,cos1 xexxxexexkxx sin,sin,sin1 求

29、求下下列列方方程程通通解解例例1；054)1()3()4()5( yyy0)2()4( yy解解)1(，特特征征方方程程054345 特征根：特征根：0 ，重重)3(i 2 所所求求通通解解為為 y)(23210 xCxCCex )sincos(542xCxCex )sincos(5422321xCxCexCxCCx n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個(gè)根個(gè)根, 而特征方程的每一個(gè)根都而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng)對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù)且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).nnyCyCyCy 2211通通解解為為注意注意，特征方程特征方程014 特征根：特征根：22442121 而而2222)1( 0)21)(21(22 ，)1(222 , 1i ，)1(224 , 3i 故故通通解解為為 y)22sin22cos(2122xCxCex )22sin22cos(4322xCxCex 0)2()4( yy特征根為特征根為,1（二重復(fù)根）（二重復(fù)根）（單根）（單根）irr 故所求通解為故所求通解為.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方