高等數(shù)學(xué)課件：本章習(xí)題課

1、2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1第五章 習(xí)題課2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集和區(qū)域和區(qū)域多元函數(shù)多元函數(shù)的極限的極限多元函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)的概念連續(xù)的概念極極 限限 運(yùn)運(yùn) 算算多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3全微分全微分的應(yīng)用的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則全微分形式全微分形式的不變性的不變性微分法在微分法在幾何上的應(yīng)用幾何上的應(yīng)用方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值全微分全微分概念概念

2、偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念概念2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系41 1、區(qū)域、區(qū)域 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平面上的一個點(diǎn)，平面上的一個點(diǎn)， 是某是某一正數(shù)，與點(diǎn)一正數(shù)，與點(diǎn)),(000yxP距離小于距離小于 的點(diǎn)的點(diǎn)),(yxP的全體，稱為點(diǎn)的全體，稱為點(diǎn)0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU，（1）鄰域）鄰域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域（2）區(qū)域）區(qū)域2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5（3）聚點(diǎn)）聚點(diǎn) 設(shè)設(shè) E 是是平平面面上上的的一一個個點(diǎn)點(diǎn)集集，P 是是

3、平平面面上上的的一一個個點(diǎn)點(diǎn)，如如果果點(diǎn)點(diǎn) P 的的任任何何一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無無限限多多個個點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于點(diǎn)點(diǎn)集集 E，則則稱稱 P 為為 E 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn).（4）n維空間維空間 設(shè)設(shè)n為為取取定定的的一一個個自自然然數(shù)數(shù)，我我們們稱稱n元元數(shù)數(shù)組組),(21nxxx的的全全體體為為n維維空空間間，而而每每個個n元元數(shù)數(shù)組組),(21nxxx稱稱為為n維維空空間間中中的的一一個個點(diǎn)點(diǎn)，數(shù)數(shù)ix稱稱為為該該點(diǎn)點(diǎn)的的第第i個個坐坐標(biāo)標(biāo).2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6 設(shè)設(shè)D是是平平面面上上的的一一個個點(diǎn)點(diǎn)集集，如如果果對對于于每每個個點(diǎn)點(diǎn)DyxP ).(，變變量量z按按

4、照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對對應(yīng)應(yīng)，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. .2 2、多元函數(shù)概念、多元函數(shù)概念定義定義當(dāng)當(dāng)2 n時，時，n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域為的定義域為,D),(000yxP是其聚點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù)是其聚點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù) ，總存在，總存在正 數(shù)正 數(shù) ， 使 得 對 于 適 合 不 等 式

5、， 使 得 對 于 適 合 不 等 式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切點(diǎn)，都有點(diǎn)，都有 |),(|Ayxf成立，則稱成立，則稱A為函數(shù)為函數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)0 xx ，0yy 時的極限，時的極限，記為記為 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）. .3 3、多元函數(shù)的極限、多元函數(shù)的極限2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系8說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)

6、算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似4 4、極限的運(yùn)算、極限的運(yùn)算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP則則時，時，設(shè)設(shè)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系95 5、多元函數(shù)的連續(xù)性、多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域為點(diǎn)集的定義域為點(diǎn)集0, PD是是其聚點(diǎn)且其聚點(diǎn)且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù))(Pf在點(diǎn)在點(diǎn)0P處連續(xù)處連續(xù). . 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)，如如果果)

7、(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn).2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介上取得介于這兩值之間的任何值至少一次于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理6 6、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

8、2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某一鄰的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在固定在0y而而x在在0 x處有增量處有增量x 時，相應(yīng)地函數(shù)有增量時，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則稱存在，則稱此極限為函數(shù)此極限為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處對處對x的的偏導(dǎo)數(shù)，記為偏導(dǎo)數(shù)，記為7 7、偏導(dǎo)數(shù)概念、偏導(dǎo)數(shù)概念2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系12同理可定義函數(shù)同理可定義函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),

9、(00yx處對處對y的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系13如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)),(yx處對處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)的函數(shù)，它就稱為函數(shù)),(yxfz 對對自變量自變量x的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 記作記作xz ，xf ，xz或

10、或),(yxfx.同理可以定義函數(shù)同理可以定義函數(shù)),(yxfz 對自變量對自變量y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)，記作數(shù)，記作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義定義 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15 如果函數(shù)如果函數(shù)),(y

11、xfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz ，其中，其中 A,B 不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關(guān)，有關(guān)，22)()(yx ，則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的的全微分，記為全微分，記為dz，即，即 dz=yBxA .、全微分概念、全微分概念2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)2

12、007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系171010、全微分的應(yīng)用、全微分的應(yīng)用,),(),(yyxfxyxfdzZyx .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小時時當(dāng)當(dāng),yx 主要方面主要方面:近似計算與誤差估計近似計算與誤差估計.2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系181111、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理如果函數(shù)定理如果函數(shù))(tu 及及)(tv 都在點(diǎn)都在點(diǎn)t可可導(dǎo)，函數(shù)導(dǎo)，函數(shù)),(vufz 在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn)),(vu具有連續(xù)偏導(dǎo)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)數(shù)，則復(fù)合函數(shù))(),(ttfz 在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn)t可可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可

13、用下列公式計算：導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算： dtdvvzdtduuzdtdz 以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系19 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在對對應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(vu具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz 在在對對應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的兩兩個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院

14、 數(shù)學(xué)系201212、全微分形式不變性、全微分形式不變性 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、dvvzduuzdz .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系210),()1( yxF隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內(nèi)

15、恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1313、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系22隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxF在點(diǎn)在點(diǎn),(0 xP),00zy的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，則方程，則方程,(yxF0) z在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連

16、續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),()2( zyxF2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系23 0),(0),()3(vuyxGvuyxF隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 3 3 設(shè)設(shè)),(vuyxF、),(vuyxG在在點(diǎn)點(diǎn)),(0000vuyxP的某一鄰域內(nèi)有對各個變量的連續(xù)的某一鄰域內(nèi)有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且偏導(dǎo)數(shù)，且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG0 ，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或

17、稱雅可比（或稱雅可比式）式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),(2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系24在點(diǎn)在點(diǎn)),(0000vuyxP不等于零，則方程組不等于零，則方程組 0),( vuyxF、 0),( vuyxG在點(diǎn)在點(diǎn)),(0000vuyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxuu ，),(yxvv ，它們滿足條件，它們滿足條件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并有，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu 2007年8月南京航空航天大學(xué)

18、 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系25vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系261414、微分法在幾何上的應(yīng)用、微分法在幾何上的應(yīng)用切線方程為切線方程為.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(000000 zztyytxxt (1)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面).(),(),(:tztytx 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系27()曲面的切

19、平面與法線曲面的切平面與法線. 0),(: zyxF 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為法線方程為.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系281515、方向?qū)?shù)、方向?qū)?shù).),(),(lim0 yxfyyxxflf 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)沿方向沿方向則稱這極限為函數(shù)在點(diǎn)則稱這極限為函數(shù)在點(diǎn)在，在，時，如果此比的極限存時，如果此比的極限存趨于趨于沿著沿著當(dāng)當(dāng)之比值，之比值，兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離與與函數(shù)的增量函

20、數(shù)的增量定義定義lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系29定理如果函數(shù)定理如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP是可微分是可微分的，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向的，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向 L L 的方向?qū)?shù)都的方向?qū)?shù)都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 為為x軸到方向軸到方向 L L 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角.),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ）2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系30定義定

21、義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 D 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn)DyxP ),(，都可定出一個向量都可定出一個向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .梯度的概念梯度的概念2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系31 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個向量，它的方函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為向?qū)?shù)的最大值梯度的模

22、為 22| ),(| yfxfyxgradf.梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系321616、多元函數(shù)的極值、多元函數(shù)的極值 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，對對于于該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)異異于于),(00yx的的點(diǎn)點(diǎn)),(yx：若若滿滿足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有 極極 大大 值值 ； 若若 滿滿 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極小小值值；定義定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大

23、值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系33定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函數(shù)取得極值的條件多元函數(shù)取得極值的條件 定義定義一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點(diǎn)，均稱為多元一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點(diǎn)，均稱為多元函數(shù)的函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn).極值點(diǎn)極值點(diǎn)注意注意駐點(diǎn)駐點(diǎn)2007年8月南京航空航天

24、大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系34定理定理 2 2（充分條件）（充分條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令A(yù)yxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時有極值，時有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時有極大值，時有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時有極小值；時有極小值；（2 2）02 BAC時沒有極值；時沒有極值；（3 3）0

25、2 BAC時可能有極值時可能有極值. .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系35求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實數(shù)解，得駐點(diǎn)求出實數(shù)解，得駐點(diǎn).第第二二步步 對對于于每每一一個個駐駐點(diǎn)點(diǎn)),(00yx，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值.2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系36拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法 要要找找函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可可能能

26、極極值值點(diǎn)點(diǎn)，先先構(gòu)構(gòu)造造函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 為為某某一一常常數(shù)數(shù)，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo).條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系37二、典型例題二、典型例題例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求極限求極限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等價于等價于則則yx cos)cos(sin)(0222 y

27、xxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系38例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè))1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系39xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfx

28、fx 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系40例例3 3解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè) ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 顯然顯然,dxdz求求得得的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩兩邊邊求求對對,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系41于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例4 4解解., 0, 0,. 0),(

29、, 0),(),()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu試求試求且且所確定所確定由方程組由方程組設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 的的函函數(shù)數(shù)都都看看成成是是以以及及將將方方程程組組的的變變元元xzyu,2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系42得得求導(dǎo)求導(dǎo)方程組各方程兩邊對方程組各方程兩邊對,x )3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代入代入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代入代入2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系43

30、解解?,),(0000222222模模此方向?qū)?shù)等于梯度的此方向?qū)?shù)等于梯度的具有什么關(guān)系時具有什么關(guān)系時的方向?qū)?shù)，問的方向?qū)?shù)，問的向徑的向徑處沿點(diǎn)處沿點(diǎn)在點(diǎn)在點(diǎn)求求cbarzyxMczbyaxu 例例5 5 ,20202000000zyxrzyxr .cos,cos,cos000000rzryrx 處的方向?qū)?shù)為處的方向?qū)?shù)為在點(diǎn)在點(diǎn) M coscoscos0MMMMzuyuxuru 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系44002000200020222rzczrybyrxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu 處的梯度為處的

31、梯度為在點(diǎn)在點(diǎn) MkzujyuixugraduMMMM ,222202020kczjbyiax 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系45,2424242000czbyaxgraduM ,時時當(dāng)當(dāng)cba ,22222000zyxagraduM ,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxaruM ,0MMgraduru .,模模此此方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)等等于于梯梯度度的的相相等等時時故故當(dāng)當(dāng)cba2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系46之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222 zyxyxz例例6 6解解.2261,022

32、,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)為拋物面為拋物面設(shè)設(shè)分析分析:最小最小即即且使且使?jié)M足滿足，使得，使得本題變?yōu)榍笠稽c(diǎn)本題變?yōu)榍笠稽c(diǎn))22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系47),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程組得解此方程組得得得2007年8月南京航空航天大學(xué)

33、 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系48.647241414161min d),81,41,41(即得唯一駐點(diǎn)即得唯一駐點(diǎn)處取得最小值處取得最小值駐點(diǎn)，故必在駐點(diǎn)，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根據(jù)題意距離的最小值根據(jù)題意距離的最小值)81,41,41(2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系49一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 二元函數(shù)二元函數(shù)22221arcsin4lnyxyxz 的定義的定義 域是域是( ).( ). （A A）4122 yx； （B B）4122 yx； （C C）4122 yx； （D D）4122 yx. . 2 2、設(shè)、設(shè)2)(),(yxyxxyf , ,則則

34、),(yxf( ).( ). （A A）22)1(yyx ； （B B） 2)1(yyx ； （C C） 22)1(xxy ； （D D） 2)1(yxy . .測測 驗驗 題題 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系50 3 3、 22)(lim2200yxyxyx( ).( ). (A) 0 (A) 0 ； (B) 1 (B) 1 ； (C) 2 (C) 2 ； (D) (D) e . . 4 4、函數(shù)、函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處連續(xù)處連續(xù), ,且兩個偏導(dǎo)數(shù)且兩個偏導(dǎo)數(shù) ),(),(0000yxfyxfyx存在是存在是),(yxf在該點(diǎn)可微在該點(diǎn)可微 的的( ).(

35、). （A A）充分條件）充分條件, ,但不是必要條件；但不是必要條件； （B B）必要條件）必要條件, ,但不是充分條件；但不是充分條件； （C C）充分必要條件；）充分必要條件； （D D）既不是充分條件）既不是充分條件, ,也不是必要條件也不是必要條件. .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系51 5 5、設(shè)、設(shè)),(yxf 0, 00,1sin)(22222222yxyxyxyx 則在原點(diǎn)則在原點(diǎn))0 , 0(處處),(yxf( ).( ). (A) (A)偏導(dǎo)數(shù)不存在；偏導(dǎo)數(shù)不存在； (B) (B)不可微；不可微； (C) (C)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)； (D)

36、 (D)可微可微 . . 6 6、設(shè)、設(shè)),(),(yxvvvxfz 其中其中vf ,具有二階連續(xù)偏具有二階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). .則則 22yz( ).( ). (A) (A)222yvvfyvyvf ； (B) (B)22yvvf ； (C) (C)22222)(yvvfyvvf ； (D) (D)2222yvvfyvvf . .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系52 7 7、曲面、曲面)0(3 aaxyz的切平面與三個坐標(biāo)面所圍的切平面與三個坐標(biāo)面所圍 成的四面體的體積成的四面體的體積 V=( ).V=( ). (A) (A) 323a； (B) (B) 33a； (C) (C

37、) 329a； (D) (D) 36a. . 8 8、二元函數(shù)、二元函數(shù)33)(3yxyxz 的極值點(diǎn)是的極值點(diǎn)是( ).( ). (A) (1,2) (A) (1,2)； (B) (1.-2 (B) (1.-2 ) )； (C) (-1,2) (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). (D) (-1,-1). 9 9、函數(shù)、函數(shù)zyxusinsinsin 滿足滿足 )0, 0, 0(2 zyxzyx 的條件極值是的條件極值是 ( ).( ). (A) 1 (A) 1 ； (B) 0 (B) 0 ； (C) (C) 61 ； (D) (D) 81 . .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系53 10 10、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù)),(),(yxvvyxuu 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的某鄰的某鄰 域內(nèi)可微分域內(nèi)可微分, ,則則 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處有處有 )(uvgrad( ).( ). .)(;)(;)(;)(graduvDgradvuCgraduvgradvuBgradvgraduA 二、討論函數(shù)二、討論函數(shù)33yxyxz 的連續(xù)性，并指出間斷點(diǎn)類型的連續(xù)性，并指出間斷點(diǎn)類型. .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系54三、求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)三、求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù): : 1 1、yxzln ； 2 2、),()