高數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件

1、6 6. .4 4. .1 1 三三角角函函數(shù)數(shù)系系的的正正交交性性 sin cos 2sin 2cos sin cos 1，nxnxxxxx 二、三角函數(shù)系的正交性：二、三角函數(shù)系的正交性： 三三角角函函數(shù)數(shù)系系中中任任何何兩兩個(gè)個(gè)不不同同函函數(shù)數(shù)的的乘乘積積 , 在 上上的的積積分分等等于于零零，即即 6.4 6.4 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)一、三角函數(shù)系：一、三角函數(shù)系： 0cosnxdx ) 3, 2, , 1( n； 0sinnxdx ) 3, 2, , 1( n； 0sincosnxdxmx ) 3, 2, , 1 ,( nm； 0coscosnxdxmx ), 3, 2, , 1 ,

2、(nmnm ； 0sinsinnxdxmx ), 3, 2, , 1 ,(nmnm 。 三三 角角 函函 數(shù)數(shù) 系系 ： sin cos 2sin 2cos sin cos 1，nxnxxxxx 在在三三角角函函數(shù)數(shù)系系中中，任任意意一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的自自乘乘在在 , 上上的的 積積分分為為 21 2dx； nxdx2cos ) 3, 2, , 1( n； 三三 角角 函函 數(shù)數(shù) 系系 ： sin cos 2sin 2cos sin cos 1，nxnxxxxx nxdx2sin ) 3, 2, , 1( n； 6 6. .4 4. .2 2 函函數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)為為傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 一一、

3、歐歐拉拉傅傅里里葉葉公公式式 設(shè)設(shè)以以 2為為周周期期的的函函數(shù)數(shù))(xf可可展展開(kāi)開(kāi)成成三三角角級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) ) 1 ).(sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn 并設(shè)級(jí)數(shù)并設(shè)級(jí)數(shù)(1)在在 ，上可逐項(xiàng)積分，那么系數(shù)上可逐項(xiàng)積分，那么系數(shù) , , , , ,22110babaa與與)(xf存在什么關(guān)系？如何求出？存在什么關(guān)系？如何求出？ 利利用用三三角角函函數(shù)數(shù)系系的的正正交交性性，對(duì)對(duì)(1)式式兩兩邊邊在在 ，上上積積分分： ) 1 ).(sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn anxdxbnxdxadxadxxfnnn)sincos(2)(10故故 dxxfa)(10。

4、用用nxcos乘乘以以( (1 1) )式式兩兩邊邊后后積積分分： nxdxxfcos)() cossincoscos(cos210 nxdxkxbnxdxkxanxdxakkk, cos2 nnanxdxa ) , 2 , 1( cos)(1 nnxdxxfan。 同理用同理用nxsin乘以（乘以（1 1）式兩邊后積分，得）式兩邊后積分，得 ) , 2 , 1( sin)(1 nnxdxxfbn。 a可可由由na統(tǒng)統(tǒng)一一給給出出： ) 2 ( ) , 2 , 1 ( sin)(1) , 2 , 1 , 0( cos)(1 nnxdxxfbnnxdxxfann （2）式式稱稱為為歐歐拉拉傅傅里

5、里葉葉公公式式。 設(shè)設(shè))(xf在在 ，上可積，則以（上可積，則以（2）式中的）式中的na和和nb 作為系數(shù)而得到的三角級(jí)數(shù)作為系數(shù)而得到的三角級(jí)數(shù))sincos(21nxbnxaannn 稱為函數(shù)稱為函數(shù))(xf的的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)，記為，記為 )(xf)sincos(2 1nxbnxaannn 。 （3） )( ) , 2 , 1( ) , 2 , 1 , 0( xfnbnann稱為函數(shù)稱為函數(shù)和和 的的傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)。 2傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例 1)(xf以以 2為周期，且為周期，且 ,( x時(shí)時(shí)xxf )(， 求求)(xf的傅里葉級(jí)數(shù)。的傅里葉級(jí)數(shù)。 解解：010 dxxa，

6、0cos1 nxdxxan， cos1cos1sin1nxdxnnxxnnxdxxbnnn2)1(1 ， nxnxfnnsin2)1()(11 。 三三、傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性 則則)(xf的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))sincos(210nxbnxaannn 在在 , 上上收收斂斂，且且其其和和函函數(shù)數(shù)為為 . , 2)0()0()( , 2)0()0( 點(diǎn)的)( , )( )(xffxfxxfxfxfxxfxS點(diǎn),的,間間斷斷為為連連續(xù)續(xù)為為 定定理理 1（狄狄利利克克雷雷（Dirichlet）充充分分條條件件） 設(shè)設(shè))(xf以以 2為為周周期期，在在 , 上上滿滿足足： （1）

7、連連續(xù)續(xù)或或只只有有有有限限個(gè)個(gè)第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)； （2）只只有有有有限限個(gè)個(gè)極極值值點(diǎn)點(diǎn)； xyo 2 2 3 3.)(的的圖圖象象xS如如例例 1：),( x時(shí)時(shí)， 11)(sin2)1(nnxxfnxn， x時(shí)時(shí)，022)0()0(sin2)1(11 nnffnxn。 即即 . , 0),( , )(xxxxS xyo 2 2 3 3.)(的圖象的圖象xf 把把)(xf在在 , 上上展展開(kāi)開(kāi)為為傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的步步驟驟為為 （1）用用狄狄氏氏條條件件判判斷斷)(xf能能否否展展開(kāi)開(kāi)為為傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)； （2）求求出出傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)； （3）寫寫出出傅傅里里葉葉

8、級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)并并注注明明在在何何處處收收斂斂于于)(xf； （4）畫畫出出)(xf和和)(xS的的圖圖形形（至至少少畫畫出出三三個(gè)個(gè)周周期期） ， 并并寫寫出出的表達(dá)式的表達(dá)式 )(xS。 例例 2設(shè)設(shè))(xf以以 2為為周周期期，且且 xxxf0 , 1 0 1,)(， 將將)(xf展展開(kāi)開(kāi)為為傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，)(xS并并求求其其和和函函數(shù)數(shù)。 解解：)(xf滿滿足足狄狄氏氏條條件件。求求傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)： 0 1 1)( 1000 dxdxdxxfa， nxdxxfancos)( 1 dxnxdxnx 00cos1cos1)(1 ) , 2 , 1( 0 n， nxdxxfbnsin

9、)(1 00sin1sin1)(1nxdxnxdx 0cos1cos10nnxnnx)1(1 2)1coscos1( 1nnnnn ) , 2 , 1( .2 , 0 , 12 ,1)(2 4 kknknk)(xf的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)式式為為 )12sin(1213sin31sin4)( xkkxxxf， ), 0()0 ,( x 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂于于02)00()00( ff； 當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂于于02)0()0( ff。 oxy 2 2 3 3.)(的圖象的圖象xf11 yox 2 2 3 3.)(的圖象的圖象xS11 . , 0 , 0,0 ,

10、1, 0 1,)(xxxxS解解：21 1 1)( 1000 dxdxxdxxfa， nxdxxfancos)( 1 dxnxdxnxx 00cos1cos1 0sin1cossin102nxnnnxnnxx)1(1 1)cos1( 122nnnxn .2 , 0 , 12 ,)12( 22knknk例例 3設(shè)設(shè))(xf以以 2為為周周期期，且且 xxxxf0 10 )(， 將將)(xf展展開(kāi)開(kāi)為為傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，)(xS并并求求其其和和函函數(shù)數(shù)。 nxdxxfbnsin)(1 00sin1sin1nxdxnxdxx 0cos1sincos102nxnnnxnnxx)1(cos1cos

11、nnnnx.5cos513cos31cos2421)(22 xxxxf.3sin)21(312sin21sin)21( xxx), 0()0 ,( x)(xf的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 )., 3 , 2 , 1( n nnnn1)1()1(11 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂于于級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)212)00()00( ff； 當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂于于212)0()0( ff。 yxo 2 2 3 3.)(的圖象的圖象xf 1yxo 2 2 3 3.)(的圖象的圖象xS 1 上有定義上有定義只在只在若若 , )( xf，且滿足收斂定理的，且滿足收斂定理的 條件，則將條件，則將

12、)(2 )(xFxf為周期的函數(shù)為周期的函數(shù)延拓為以延拓為以 ，即，即 )( xF定義一個(gè)函數(shù)定義一個(gè)函數(shù)，使它在，使它在為周期為周期上以上以 2 ),( ， 在在)()( ,(xfxF 上上， )( xF然后將然后將展開(kāi)為傅里葉展開(kāi)為傅里葉 級(jí)數(shù)，再把級(jí)數(shù)，再把),( 限制在限制在x上，上，的的便得便得 )( xf傅里葉傅里葉 級(jí)數(shù)展開(kāi)式。根據(jù)收斂定理，這級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)展開(kāi)式。根據(jù)收斂定理，這級(jí)數(shù)在處處收收斂斂于于 x 2)0()0( ff。)( )(xfxF稱為稱為的的周期延拓周期延拓。 例例 4將將函函數(shù)數(shù))()(2 xxxf展展開(kāi)開(kāi)成成傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。 32 1)( 1220 dxxdxxfa， nxdxxnxdxxfancos1cos)(12 0sin12 nxdxxbn， 解解：把把)(xf在在,( 上上作作周周期期延延拓拓， ) , 2 , 1(4)1(2 nnn， )(xf在在),( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)， 當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí)，)(2)0()0(2 fff， 故故由由收收斂斂定定理理得得 )( cos)1(43)(122