函數(shù)的定義域教學(xué)設(shè)計

1、函數(shù)的定義域教學(xué)設(shè)計一. 教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的定義域與值域、單調(diào)性與奇偶性二. 教學(xué)目標(biāo)：理解函數(shù)的性質(zhì)，能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題。三. 教學(xué)重點：函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用四. 教學(xué)難點：函數(shù)性質(zhì)的理解。學(xué)習(xí)過程一、知識歸納：1. 求函數(shù)的解析式（1）求函數(shù)解析式的常用方法：換元法（ 注意新元的取值范圍）待定系數(shù)法（已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）整體代換（配湊法）構(gòu)造方程組（如自變量互為倒數(shù)、已知f（x）為奇函數(shù)且g（x）為偶函數(shù)等）（2）求函數(shù)的解析式應(yīng)指明函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域是使式子有意義的自變量的取值范圍，同時也要注意變量的實際意義。（3）理解軌跡思想在求對稱曲線中的應(yīng)用。2.

2、 求函數(shù)的定義域求用解析式y(tǒng)f（x）表示的函數(shù)的定義域時，常有以下幾種情況：若f（x）是整式，則函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；若f（x）是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實數(shù)集；若f（x）是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)集合；若f（x）是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合；若f（x）是由實際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應(yīng)符合實際問題.3. 求函數(shù)值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函數(shù)的值域；（2）配方法（二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如 型的函數(shù)）（4）函數(shù)的單調(diào)性

3、：特別關(guān)注 的圖象及性質(zhì)（5）部分分式法、判別式法（分式函數(shù)）（6）換元法（無理函數(shù)）（7）導(dǎo)數(shù)法（高次函數(shù)）（8）反函數(shù)法（9）數(shù)形結(jié)合法4. 求函數(shù)的單調(diào)性（1）定義法：（2）導(dǎo)數(shù)法：（3）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：（4）關(guān)于函數(shù)單調(diào)性還有以下一些常見結(jié)論：兩個增（減）函數(shù)的和為_；一個增（減）函數(shù)與一個減（增）函數(shù)的差是_；奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有_的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有_的單調(diào)性；互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在各自定義域上有_的單調(diào)性；（5）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：定義法、圖象法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等（6）應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。5. 函數(shù)的奇偶性奇偶性：定義：注意

4、區(qū)間是否關(guān)于原點對稱，比較f（x） 與f（x）的關(guān)系。f（x） f（x）0 f（x） f（x） f（x）為偶函數(shù)；f（x）+f（x）0 f（x） f（x） f（x）為奇函數(shù)。判別方法：定義法，圖象法，復(fù)合函數(shù)法應(yīng)用：把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。6. 周期性：定義：若函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)的任意x滿足：f（x+T）f（x），則T為函數(shù)f（x）的周期。其他：若函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)的任意x滿足：f（x+a）f（xa），則2a為函數(shù)f（x）的周期.應(yīng)用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。二、典型例題分析例1. 若集合Aa1，a2，a3，Bb1，b2 求從集合A到集合B的映射的個數(shù)。分析：解決這類問題，關(guān)鍵

5、是要掌握映射的概念：設(shè)A、B是兩個集合，對于集合A中的任何一個元素，按照某種對應(yīng)法則f，若集合B中都有唯一確定的元素和它對應(yīng)，這時對應(yīng)法則f叫做從集合A到集合B的映射。這里要掌握關(guān)鍵的兩個詞“任何”、“唯一”。對于本例，集合Aa1，a2，a3中的每一個元素的象都有b1或b2這兩種情形，由乘法原理可知，A到B的映射的個數(shù)共有N2228個。例2. 線段|BC|4，BC的中點為M，點A與B、C兩點的距離之和為6，設(shè)|AM|y，|AB|x，求yf（x）的函數(shù)表達(dá)式及這函數(shù)的定義域。解：1若A、B、C三點不共線，如圖所示，由余弦定理可知，x222+y24ycosAMB （6x）222+y24ycos（1

6、80AMB） + x2+（6x）22y2+8 y2x26x+14又 x26x+14（x3）2+5恒正，又三點A、B、C能構(gòu)成三角形1x52若三點A、B、C共線，由題意可知，x+46x，x1 或4+6xx x5綜上所述：說明：第一，首先要分析三點A、B、C是否在同一條直線上，因為由題意，A、B、C不一定能構(gòu)成三角形，它們也可在同一條直線上，所以要分兩種情形來討論。第二，實際問題在求解析式時要特別注意函數(shù)的定義域。例3. 設(shè)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x1時，yf（x）的圖象是經(jīng)過點（2，0），斜率為1的射線，又在yf（x）的圖象中有一部分是頂點在（0，2），且過點（1，1）的一段拋物線，試寫

7、出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并在圖中作出其圖象。解：（1）當(dāng)x1時，設(shè)f（x）x+b射線過點（2，0） 02+b即b2，f（x）x+2（2）當(dāng)11時，設(shè)f（x）ax2+2拋物線過點（1，1），1a（1）2+2，即a1f（x）x2+2（3）當(dāng)x1時，f（x）x+2綜上可知：f（x） 作圖由讀者來完成。例4. 求下列函數(shù)的定義域（1） （2）解：（1）x4或x1且x3，即函數(shù)的定義域為（，3）（3，1）4，+（2） ，則0x23x108，即3x2或5x6即定義域為3，2（5，6）說明：求函數(shù)的定義域，我們常常可以從以下三個方面來考慮：若有分母則分母不為零、若有偶次根式則被開方數(shù)大于或等于零、若有對數(shù)式

8、，則真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1。求函數(shù)的定義域，實質(zhì)上就是求由以上不等式組成的不等式組的解集。變、已知函數(shù)f（x）的定義域為1，4，求 的定義域。解： ，則又 ， 或則 或 即為所求函數(shù)的定義域。說明：此題實質(zhì)上是求復(fù)合函數(shù)的定義域，我們把 看成是由yf（u）、 兩個函數(shù)復(fù)合而成的，因為1u4，則 ，從而求出x的范圍，另外，對不等式進(jìn)行倒數(shù)運(yùn)算時，應(yīng)注意不等式兩邊必須同號，取倒數(shù)后不等號的方向改變，這里也是學(xué)習(xí)時常常容易發(fā)生錯誤的地方，應(yīng)加以重視。例5. 若對于任何實數(shù)x，不等式： 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。解：令f（x）|x1|+2|x2|，去絕對值把f（x）表示成分段函數(shù)后為53x

9、 x1f（x） 3xx23x5 x2作出yf（x）的圖象如圖，由此可知f（x）的最小值為1，f（x）a對一切實數(shù)x恒成立，則a1。說明：該題看上去是一個不等式的問題，若用去絕對值分類討論的方法來求解則比較繁鎖，而如果注意到不等式左邊是一個關(guān)于x的函數(shù)，只要利用數(shù)形結(jié)合的思想求出此函數(shù)的最小值就很快解決了問題，這種解題思想應(yīng)引起我們的注意。另外，對于函數(shù)f（x）|x1|+2|x2|只要把它寫成分段函數(shù)的形式，作出函數(shù)的圖象，則該函數(shù)的所有性質(zhì)，包括函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，值域等一切問題都可以迎刃而解了。例6. 求函數(shù) 的值域。解：令 ，則134xt2該二次函數(shù)的對稱軸為t1，又t0由二次函數(shù)的性質(zhì)可知y

10、4，當(dāng)且僅當(dāng)t1即x3時等式成立，原函數(shù)的值域為（，4）。說明：對于所有形如 的函數(shù)，求值域時我們可以用換元法令轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)在區(qū)間0，+）上的最值來處理。這里要注意t0的范圍不能少。如：已知f（x）的值域為 ，試求函數(shù) 的值域。該題我們只需要把f（x）看成是一個變量，則求值域時仍可用上述換元法，但是如果被開方數(shù)不是關(guān)于x的一次式，而含x的平方項，則就不能用上述換元法了。如求函數(shù) 的值域，若令 ，則x無法用t來表示。這里我們?nèi)绻⒁獾絰的取值范圍：22，則11的話，我們就可以用三角換元：令 0，問題也就轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值了。同樣我們作三角換元時，要注意的限制條件，因為當(dāng)取遍0到之間的

11、每一個值時， 恰好可以取遍1到1之間的每一個值，若不限制的范圍，則根號無法直接去掉，就會給我們解題增添麻煩。例7. 求下列函數(shù)的最值。（1） （2）解：（1）先求出函數(shù)的定義域：27，又在區(qū)間2，7上函數(shù) 單調(diào)遞增， 單調(diào)遞增，所以 在定義域內(nèi)也單調(diào)遞增。當(dāng)x2時， ；當(dāng)x7時，（2） 0 y2x2（1x2）由基本不等式可知：y2x2（1x2） ，又y， 。說明：對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)，求值域或最值時，如果我們能利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性或運(yùn)用基本不等式，問題往往會很快得到解決。在運(yùn)用基本不等式求最值時，要注意“一正二定三相等”的條件，特別是要注意等號能否成立。例8. 設(shè)a0，x1，1時函數(shù)yx

12、2ax+b有最小值1，最大值1，求使函數(shù)取得最小值和最大值時相應(yīng)的x的值。解：a0， 0，又定義域為1，1x1時 ，即1a+b1 ab0下面分a的情形來討論：1當(dāng)0 1即0a2時，當(dāng) 時， 即 ，則a2+4a40，又a（0，2），則2當(dāng) 1，即a2時，當(dāng)x1時1+a+b1，a+b2 又ab a1 與a2矛盾，舍去綜上所述：x1時， ， 時 。例9. 已知函數(shù)yf（x） （a，b，cR，a0，b0）是奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f（x）有最小值2，其中bN且f（1）（1）試求函數(shù)f（x）的解析式；（2）問函數(shù)f（x）的圖象上是否存在關(guān)于點（1，0）對稱的兩點，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（

13、1）f（x）是奇函數(shù)，f（x）f（x），即c0，a0，b0，x0，f（x） 2 ，當(dāng)且僅當(dāng)x 時等號成立，于是2 2，ab2，由f（1） 得 即 ，2b25b+20，解得 b2，又bN，b1，a1，f（x）x+（2）設(shè)存在一點（x0，y0）在yf（x）的圖象上，并且關(guān)于（1，0）的對稱點（2x0，y0）也在yf（x）的圖象上，則消去y0得x022x010，x01yf（x）的圖象上存在兩點（1+ ，2 ），（1 ，2 ）關(guān)于（1，0）對稱例10. 已知奇函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x）在0，+）上是增函數(shù)，是否存在實數(shù)m，使f（cos23）+f（4m2mcos）f（0）對所有0， 都成立？若

14、存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由解：f（x）是R上的奇函數(shù)，且在0，+）上是增函數(shù)，f（x）是R上的增函數(shù) 于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f（cos23）f（2mcos4m），即cos232mcos4m，即cos2mcos+2m2設(shè)tcos，則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（t）?t2mt+2m2（t ）2 +2m2在0，1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（t）在0，1上的最小值為正當(dāng) 0，即m0時，g（0）2m21與m0不符；當(dāng)01時，即02時，g（m） +2m2042 4+2 ，?42 2當(dāng) 1，即m2時，g（1）m11 m2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m42另法（僅

15、限當(dāng)m能夠解出的情況）cos2mcos+2m20對于0， 恒成立，等價于m（2cos2）/（2cos） 對于0， 恒成立當(dāng)0， 時，（2cos2）/（2cos） 42 ，m42例11. 設(shè)a為實數(shù)，記函數(shù)f（x）a 的最大值為g（a）。（1）設(shè)t ，求t的取值范圍并把f（x）表示為t的函數(shù)m（t）；（2）求g（a）；（3）求滿足g（a）g（ ）的所有實數(shù)a.解：（1）t要使t有意義，必須有1+x0且1x0，即11.t22+2 2，4，t t的取值范圍是 ，2由得 x21m（t）a（ t2）t at2+ta， t ，2（2）由題意知g（a）即為函數(shù)m（t） at2+ta， t ，2的最大值.注意到直線t 是拋物線m（t） at2+ta的對稱軸，分下列情況討論.當(dāng)a0時，函數(shù)ym（t）， t ，2的圖像是開口向上的拋物線的一段，由t 0知m（t）在 ，2上單調(diào)遞增，g（a）m（2）a+2.當(dāng)a0時，m（t）t， t ，2， g（a）2.當(dāng)a0時，函數(shù)ym（t）， t ，2的圖像是開口向下的拋物線的一段，若有t 0， ，即a ，則g（a