等腰三角形三線合一

1、等腰三角形三線合一.選擇題（共11小題）1. （2017黨帛陽）下列圖案中，屬于軸對稱圖形的是（）A.B.D.第13頁（共16頁）【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義求解可得.【解答】解：A,此圖案是軸又t稱圖形，有 5條對稱軸，此選項符合題意；B、此圖案不是軸對稱圖形，此選項不符合題意；C、此圖案不是軸對稱圖形，而是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，不符合題意；DK此圖案不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：A.【點評】本題主要考查軸對稱圖形，掌握其定義是解題的關(guān)鍵：如果一個圖形 沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.2. （20177®慶）下列圖形中是軸對稱圖形的是（）【分析】根據(jù)

2、軸對稱圖形的概念求解.【解答】解：A、不是軸對稱圖形，不合題意;B、不是軸對稱圖形，不合題意;C、是軸對稱圖形，符合題意；D不是軸對稱圖形，不合題意.故選：C.【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸, 圖形兩部分折疊后可重合.3. （2017?呼和浩特）圖中序號（1） （2） （3） （4）對應的四個三角形，都是ABC這個圖形進行了一次變換之后得到的，其中是通過軸對稱得到的是（【分析】軸對稱是沿著某條直線翻轉(zhuǎn)得到新圖形，據(jù)此判斷出通過軸對稱得到 的是哪個圖形即可.【解答】解：軸對稱是沿著某條直線翻轉(zhuǎn)得到新圖形，通過軸對稱得到的是（1）.故選：A.【點評】此題主要考

3、查了軸對稱圖形的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的 關(guān)鍵是要明確：軸對稱是沿著某條直線翻轉(zhuǎn)得到新圖形，觀察時要緊扣圖形變 換特點，進行分析判斷.4.如圖，已知點P至I AE, AD BC的距離相等，有下列說法: 點P在/ BAC的平分線上；點P在/ CBE的平分線上;點P在/ BCD勺平分線上;點P在/ BAC /CBE / BCD勺平分線的交點上.其中正確的是（）D.【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理進行判斷即可.【解答】解：:點P到AE, AD的距離相等, 點P在/BAC的平分線上，正確； 點P到AE, BC的距離相等, 點P在/CBE的平分線上，正確; 點P到AD, BC的距離相等, 點P在

4、/ BCD勺平分線上，正確； 點P在/BAG /CBE / BCD勺平分線的交點上，正確，故選：A.【點評】本題考查的是角平分線的判定，掌握到角的兩邊的距離相等的點在的 平分線上相等是解題的關(guān)鍵是解題的關(guān)鍵.5 .如圖，ABC, /B=90° ,兩直角邊 AB=3 BC=4 AC=5三角形內(nèi)有一點P到各邊的距離相等，則這個距離為（）A. 1B. 3C. 4 D. 5【分析】連接AP, BP, CP，設(shè)PE=PF=PD=x根據(jù)直角三角形的面積列出方程,即可求得該距離的長.(AB+BC+AC?x卷 X12X【解答】解：連接AP, BP, CP.設(shè) PE=PF=PD=xWJ &ab

5、c=Labx x+AO x+BO222x=6x,> &abcFXABX CB=66x=6, 解得x=1.故選（A）【點評】本題主要考查了三角形的面積以及角平分線，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，且直角三角形的面積有兩種表示方法：一是整體計算；二是等于三個小三 角形的面積和，這也是列方程的依據(jù).6 .如圖，在 ABC中，/C=90 , AD是/CAB的平分線，DE是AB的垂直平分線，則/ BDE勺度數(shù)是（A. 15°B. 30C. 45D. 60【分析】由在 ABC中，/C=90 , AD是/CAB的平分線，DE是AB的垂直平分 線，易得/ B=/ DABW CAD繼而求得/ B

6、的度數(shù)，則可求得/ BDE的度數(shù).【解答】解：: DE是AB的垂直平分線， . AD=BD丁 / DABW B,: AD / CAB的平分線，丁 / CADW DAB.在 ABC中，/C=90 , .3/B=90° , ./B=30° ,丁. / BDE=90 - / B=60° .故選D.【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì).此題難度 不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.7.如圖，線段AC, AB的中垂線交于點 0,已知OC=2cm則OB等于（）A. 1cm B. 2cm C 4cm D.不能確定【分析】首先連接OA由線段AG AB的中垂線交

7、于點0,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得0A=0C=0B【解答】解：連接0A.線段AG AB的中垂線交于點0, .0A=0 C 0A=0 B0B=0C=2c m故選B.【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握輔助線 的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.8.如圖，4ABC中，DE/ BG FB, FC分別平分/ B和/C,已知 BC=20 AB=18,AC=16則 ADE的周長是（A. 30 B. 32 C. 34 D. 36【分析】根據(jù)DE/ BC FB, FC分別平分/ B和/C,可彳#: / DBF之FBC之DF0 進而得出DF=DB同理得出EF=EC所以 ADE勺周長

8、為AB+AC然后根據(jù)AB和 AC的長度即可求出結(jié)果.【解答】解：= DE/ BG /BFD力 FBC /EFC4 BCF.FC分別平分/ B和/C, /DBF力 FBC /ECF4 BCF /BFD力 DBF /EFC4 ECFDF=DB EF=ECADE勺周長=AD+AE+D,EDE=DF+EF ADE勺周長=AD+BD+AE+EC=AB+AC. AB=18 AC=16.ADE勺周長=34.故選C.【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定及 性質(zhì)，三角形的周長，關(guān)鍵在于根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)定理推出DF=DB EF=EC然后進行正確的等量代換求出 ADE的周長=AD+BD+

9、AE+EC=AB+AC9.同學們都玩過蹺蹺板的游戲，如圖，是一個蹺蹺板的示意圖，立柱 OC與地 面垂直，OA=OB當蹺蹺板的一頭著地時，/ OAC=25 ,則當蹺蹺板的另一頭 B著地時/ AOA等于（）A C 3A. 25B. 500C. 600D. 130°【分析】欲求/A' OA的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角 和，可知/ A OAW OAC廿OB C,又 OA=OB,根據(jù)等邊對等角，可知/ OAC= /OB C=20 .【解答】解：.OA=OB, ./OAC=OB C=25 ,丁 / A OAN OAC+ OB C=2Z OAC=50 .故選B.【點評】

10、主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì).三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和.10.如圖，等腰三角形 ABC中，/BAC=90 ,在底邊BC上截取BD=AB過D作Dn BC交AC于E,連接AD,則圖中等腰三角形的個數(shù)是（）【分析】三角形ABC是等腰三角形，且/ BAC=90 ,所以/ B=Z C=45 ,又DE ，BG所以/ DECWC=45 ,所以 EDC是等腰三角形，BD=AB所以 ABD是 等腰三角形，/ BADW BDA 而/ EAD=90 - Z BAD / EDA：90° - / BDA 所以 / EADW EDA所以 EAC®等腰三角形，

11、因此圖中等腰三角形共 4個.【解答】解：.三角形ABC是等腰三角形，且/ BAC=90 , / B=/ C=45 ,v DEL BC, ./ EDBW EDC=90 ./DECW C=45 , .EDO等腰三角形，v BD=AB . ABC®等腰三角形，丁 / BADW BDA而/EAD=90 - Z BAD / EDA=90 - Z BDA丁 / EADW EDA.EAD等腰三角形，因此圖中等腰三角形共4個.故選D.【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定及三角形內(nèi)角和定理；由已知條 件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵.11.如圖，點 O是 ABC中/ABC與/A

12、CB的平分線的交點，OD/ AB交BC于D點，OE AC交BC于E點，若BC=20cm則 ODE勺周長為（）陞B D E CA. 16cm B. 18cm C. 20cm D. 22cm【分析】ODE勺周長=OD+DE+O的以先證明BD=OD CE=OE則OD+DE+OE=BC 得出.【解答】解：: OD/ AB ./ABOW BOD. OBW/ ABC ./ABOW OBD ./ABOW BODBD=OD則同理可得CE=OE ODE勺周長=OD+DE+OE=BD+DE+EC=20cm故選C.【點評】本題利用了：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；角的平分線的性質(zhì)； 等邊對等角.二.解答題（共8小題）AE

13、平分/ BAC BEX AE于 E, ED/ AG12. （2016秋?寶塔區(qū)期中）如圖，已知 /BAE=42 ,求 / BED的度數(shù).【分析】已知AE平分/BAG ED/ AG根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補，可求得 /DEA勺度數(shù)，再由三角形外角和為 360°求彳3/ BED®數(shù).【解答】 解：.BE! AE； /AEB=90v AE平分 / BAC. / CAEW BAE=42Xv ED/ AC，/AED=180 - / CAE=180 - 42° =138°丁. / BED=360 - / AEB- / AED=132【點評】此題考查平行線的性質(zhì)和三角

14、形外角和定理.兩直線平行，同旁內(nèi)角 互補.13.在 ABC中，/ABC=Z C, BD平分/ ABC 交 AC于 D, AE±BR 垂足為 E.【分析】首先過點A作AF/ BG交BD的延長線于點F,由在ABCt, / ABC=2/C, BD平分/ABC易證得 ADF ABF ADBC是等腰三角形，又由三線合一，可證得BF=2BE即可證得 AC=2BE【解答】證明：過點A作AF/ BG交BD的延長線于點F, / F=/ DBC / FAD=/ C, ./ABC=Z C, BD 平分/ABC ./ABDW DBCh C, / F=/ FADW ABD BD=CD . AD=DF AB=A

15、Fv AE! BD,BE=EF=-BF, 2，vAC=AD+CD=DF+BD=BF . AC=2BE【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定.此題難度較大，解題的關(guān)鍵是 準確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.14.如圖所示.zABC中，AE是/A的平分線，CCL AE于D求證：/ ACA / B.【分析】延長CD交AB于F點，可證明 ACDt AFDr等.卞g據(jù)/ AFC是 BCF的外角可證結(jié)論.【解答】證明：延長CD交AB于F點.: AE是/ A的平分線，CD± AE /FAD力 CAD /ADCW ADF=90 .又AD公共, .ADC AADF ./ACDW AFD /AFC

16、是 BCF0勺外角， /AFO / B. ./ACD> / B.【點評】此題考查三角形全等的判定和性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì).作出輔助線 建立兩角的聯(lián)系是難點.15.如圖，在等腰 ABC中，AB=AC AD是BC邊上的高，點E、F分別是邊ABAC上的點，且EF/ BC.(1)試說明 AEF是等腰三角形；(2)試比較DE與DF的大小關(guān)系，并說明理由.S D C【分析】(1)首先利用等腰三角形的性質(zhì)得到/ B=Z C,再結(jié)合平行線的性質(zhì)得 至|J/AEF=ZAFE,利用等角對等邊即可證得；(2)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得 AD是線段EF的垂直平分線，然后根 據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可證得

17、.【解答】解：(1) V EF/ BC ./AEF=Z B, /AFE=Z C.又AB=AC / B=/ C,./AEF=Z AFEAE=AF即AEF是等腰三角形；(2) DE=DF理由如下：.飛比等腰三角形ABC的底邊上的高，AD&是/ BAC的平分線.又.AEF是等腰三角形，一AG是底邊EF上的高和中線，ADL EF, GE=GFAD線段EF的垂直平分線，DE=DF【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及線段的垂直平分線的性質(zhì), 正確證明AD是線段EF的垂直平分線是關(guān)鍵.16.如圖,在4ABC中,AB=ACR E分另是BC?口 AC上的點，且DE/ AB EA=ED請你說明A

18、D垂直平分BC【分析】由平行線的性質(zhì)、等腰 AED的性質(zhì)推知AD平分/ BAC則由“等腰三 角形三合一的性質(zhì)”證得結(jié)論.【解答】證明：如圖，: EA=ED /2=/ 3.又 : DE/ AB,/ 1=/ 3,./ 1=/ 2,即 AD平分/ BAC又AB=ACAD是邊BC的中垂線，即AD垂直平分BC.B D C【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì).難度不大，屬于基礎(chǔ)題.17. （2017春?藍田縣期末）如圖，在 ABC中，點D是AB的中點，點F是BC延長線上一點，連接 DF,交AC于點E,連接BE, ZA=Z ABE（1）求證：DF是線段AB的垂直平分線；（2）當AB=AC /A=46時，

19、求/ EBC及/F的度數(shù).【分析】（1）根據(jù)到線段的兩個端點的距離相等的點在垂直平分線上證明；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出/ ABE結(jié)合圖形計算即可.【解答】（1）證明：:/ A=Z ABEEA=EBvAD=DB DF是線段AB的垂直平分線；（2）解：丁/ A=46 , ./ABEWA=46° , v AB=AC ./ABCW ACB=67 , ./EBCW ABO /ABE=21 ,/ F=90° - / ABC=23 .【點評】本題考查的是線段垂直平分線的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形 內(nèi)角和定理，掌握到線段的兩個端點的距離相等的點在垂直平分線上是解題的 關(guān)鍵.18. （2017?平谷區(qū)二模）如圖，在 ABC中，BD平分/ ABC交AC于點D, DE/BC交 AB于點 E, EF± BDT點 F.求證：/ BEF玄 DEF【分析】根據(jù)角平分線的定義得到/ ABDWCBD根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/ EDB