高一上學(xué)期數(shù)學(xué)壓軸難題匯總

1、1 .已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)=a(x-x)，其中a>0且 a -1a/i,對于函數(shù) f(x),當(dāng) xw(1,1)時，f(1-m) + f(12m)<0,求實數(shù) m 的取值范圍.2 .曙光公司為了打開某種新產(chǎn)品的銷路，決定進(jìn)行廣告促銷，在一年內(nèi)，預(yù)計年銷量Q (萬件)與廣告費x (萬元)之間的函數(shù)關(guān)系式是 Q=3巴(x20) 已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年x 1固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需投入32萬元，若每件售價是“年平均每件 成本的150%與“年平均每件所占廣告費的 50%之和，當(dāng)年產(chǎn)銷量相等.試將年利潤y(萬元)表示為年廣告費x萬元的函數(shù)，并判斷當(dāng)年廣告費投入100

2、萬元時，該公司是虧損還是盈利？3 .已知函數(shù) f (x )=loga(1 +x )-loga(1 -x ) (a a0且a = 1 ),(1)求f (x )的反函數(shù)f(x );(2)若f,(1) = ；,解關(guān)于x的不等式f/(x )< m(m w R ).四.定義在R上的單調(diào)增函數(shù)f(x),對任意x, yG R都有f(x+y尸f(x)+f(y).(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)若f(k 3x)+f(3 x-9 x-2) V0對任意xS R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.五.已知圓C: x2+y2-2x+4y4=0. (1)寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在斜 率為1的直線m,使m被圓C

3、截得的弦為AR且以AB為直徑的圓過原點.若存在， 求出直線m的方程；若不存在，說明理由.2x x六.已知x滿足2(log1x) +7log1x +3M0,求丫 =(蜒2二)(啕2二)的最大值與 2224最小值及相應(yīng)的x的值.七.已知圓方程：x2 + y2-2ax+2y+a+1 = 0 ,求圓心到直線ax + y - a2 = 0的距離的取值范圍已知函數(shù) f x = ax2 bx c, (a,b, c Rlla = 0)九.自點(3, 3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓x2 + y2 4x 4y+7 =0相切，求光線L所在直線方程.十.已知圓O: x2+y2=1,圓C:

4、 (x 2)2+(y 4)2 =1 ,由兩圓外一點P(a, b)引兩圓切線PA PB,切點分別為A、B,如右圖，滿足|PA|=|PB|.(1)求實數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系；(2)求切線長|PA|的最小值；(3)是否存在以P為圓心的圓，使它與圓O相內(nèi)切并且與圓C相外切？若存在，求出圓P的方程; 若不存在，說明理由.答案：一.解：設(shè)1 = logax, x= at所以 f (t)= 2a 3 一 a t)a -1即 f (x)=-a(ax - a-x)a -1解：設(shè)每年投入x萬元，年銷量為Q=3x±1萬件,x 1每件產(chǎn)品的年平均成本為32 + -,Q年平均每件所占廣告費為二Q銷售價為32

5、+- 3+1' = 48+9、 Q； 2 2 Q 2Q年禾I潤為 y =Ql|l48+9 - 32+I'-x =16Q+3-x LI 2Q J、 Q 42當(dāng)x=100時，明顯y<0故該公司投入100萬元時，該公司虧損.三.解：ey -14= x 二y一 ,f (x)ey 1ax -1/Kx R);(4分)1f (1)31 a -1 c 、2x -1-=-a = 2, f (x)=:二 m3 a 12x 1=2x(1 -m) <1 +m.(6分)當(dāng)-1 <m <1 時，得2x1 - m<1 m ,不等式的解集為1 m, x|x ： log 21 -

6、m(10(8分)當(dāng)m21時，不等式解集為x = R；分)(12 分)當(dāng)m 一 一1時, x ,正四.(1)證明：f(x+y尸f(x)+f(y)(x, y G R),令 x=y=0,代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0 .令丫=以，代入式，得f(x-x)=f(x .)+f(-x),又f(0)=0 ,則有0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x) 對任意xG R成立，所以f(x)是奇函數(shù). (4分)(2)解：f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù).f(k 3x)v-f(3 x-9x-2)=f(-3 x+9x+2), k 3x v-3 x+9x+2,

7、32x-(1+k) 3x+2>0 對任意 xG R成立.令t=3 x > 0 ,問題等價于t 2 -(1+k)t+2>0對任意t>0恒成立. (6 分)1 + k<0即-1 時，f(0)= 2>0,符合題意； (8分)解得-KK-1 + 2打 (10分)綜上,k < 1 +2v 2 -(12 分)六.解：由題意可. . ”彳 122.解工（1）圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為“1y+3+2尸=3（2）假設(shè)存在以AB為直徑的扇M,圓心M的坐標(biāo)為（a, b）由于 5_Lm, . .k：i k;= -1 ,©戶=-h傀-1即 a+b+l=O?得 b= -a-l

8、.B-4+3直線m的方程為廠b=La,即x-3r+b-a=0CM=-72J以AB為直徑的圓M過原點，.|必|二|財a二QMMB = CB - |CM|3 =g_ I-"、,=/+/.9儂一事+ 3），=二十療 2把代人得2/&-3 = 0-"=2或& = -12當(dāng)以=，時& =-此時直線m的方程為*一廠4二6 22當(dāng)鼻=-1,時方=0此時直線m的方程為x_y+l=O故這樣的苴線1是存在的,方程為耳-廠4R或聶-#1=0.一 3 三 log 1 x 三2log 2 x - 314 ,當(dāng) 1og2 x 一 3時，ymax - 21c二一4；當(dāng) x = 8

9、時，ymax = 2x x又.y = (log 2 a)(log 2 4)=(iog 2 x - i)(iog 2 x - 2)23、21=(log 2 x) - 3log2 x 2=(log2 x- -) - 4入 一 3、，. 當(dāng) 10g 2 x 2 時，ymin即，當(dāng) x = 2J2 時，ymin 七.解：將圓方程配方得（x-a）2+（y+1）2 = a2-a（2分）故滿足a2-a>0,解得a >1或a <0（6分）由方程得圓心（a, -1）到直線ax + y - a2 = 0的距離 d -|a r1a | =, v a>1,a<0(10 分). a 1 a

10、 1；2.: Ja +1 a J2,得 0 <d <2(14 分)8.9. .解：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x 2)2+(y 2)2= 1,它關(guān)于x軸的對稱圓的方程是(x2)2+(y+ 2)2=1。設(shè)光線L所在直線方程是：y3= k(x + 3)。由題設(shè)知對稱圓的圓心C' (2, -2)到這條直線的距離等于1,即d = |5k+5|=1. .1k23 .4整理得 12k2 + 25k+12=0,解得 k = 3或卜=f .4 33 4故所求的直線方程是y-3 = (x+3),或y-3=-(x+3),4 3即 3x+4y 3 = 0,或 4x + 3y + 3 = 0十.解：(I)連結(jié) PO PC : |PA|=|PB| , |OA|=|CB|=1 ,.|PO|2二|PC|2,從而 a2 b2 =(a -2)2 (b-4)2化簡得實數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：a + 2b-5 = 0.(II)由 a 2b -5 = 0,得a = 2b 5當(dāng) b=2 時,|PA|mL2(III ) 圓O和圓C的半徑均為1,若存在半徑為R圓P,與圓O相內(nèi)切 并且與圓C相