高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 關(guān)注身邊的非線性回歸問題

1、關(guān)注身邊的非線形回歸問題 在本章中，我們學(xué)習(xí)了一元線性相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間的整體關(guān)系的了解。若兩個(gè)變量不呈線性關(guān)系，則不能直接利用線性回歸方程建立兩個(gè)變量的關(guān)系，我們可以通過變換的方法將其轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。以下兩例，供參考： 例1 在彩色顯影中，由經(jīng)驗(yàn)可知：形成染料光學(xué)密度與析出銀的光學(xué)密度由公式表示，現(xiàn)測得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：005006025031007010038043014020047010014100112023037119125059079129 試求對(duì)的回歸方程。 分析：該例是一個(gè)非線性回歸分析問題，由于題目中已給定了要求的曲線為

2、類型，我們只要通過所給的11對(duì)樣本數(shù)據(jù)，求出和即可確定與的相關(guān)關(guān)系的曲線方程。 解析：由題意可知，對(duì)于給定的公式兩邊取自然對(duì)數(shù)，得。 與線性回歸方程對(duì)照可以看出，只要取，就有，這是的線性回歸直線方程，對(duì)此我們?cè)偬子孟嚓P(guān)性檢驗(yàn)，求回歸系數(shù)和。 題目中所給數(shù)據(jù)由變量置換，變?yōu)槿缦滤镜臄?shù)據(jù)：2000016667400032261428610000-2303-196600000113-1470-09942.6322.3267.1435.0002.1280.1740.223-0.528-0.2360.255可以求得。 由于，可知與具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。 再求得， ，把和置換回來可得， ， 回歸曲線方

3、程為。 評(píng)注：解決本題的思路是通過適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q把非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，然后再套用線性回歸分析的解題步驟。 例2 在試驗(yàn)中得到變量y與x的數(shù)據(jù)如下：x0.06670.03380.03330.02730.0225y39.442.941.043.149.2由經(jīng)驗(yàn)知，y與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，試求y與x之間的回歸曲線方程；當(dāng)時(shí)，預(yù)測的值。 分析：通過換元轉(zhuǎn)化為線性回歸問題。解析：令，由題目所給數(shù)據(jù)可得下表所示的數(shù)據(jù)序號(hào) 1150394225155236591 2 25842966564184041110682 330041090016811230 4366431133956185761157746 5444492197136242064218448 合計(jì)15182156510156935202668976計(jì)算得，故所求回歸曲線方程為，當(dāng)時(shí)，。評(píng)注：非線性問題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式，此時(shí)我們可以由已知的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并把散點(diǎn)圖與已經(jīng)學(xué)習(xí)過的各種函數(shù)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)