第五節(jié)無(wú)窮大與無(wú)窮小

1、 無(wú)窮小無(wú)窮小 無(wú)窮大無(wú)窮大 無(wú)窮小的性質(zhì)無(wú)窮小的性質(zhì)第五節(jié)第五節(jié) 無(wú)窮大與無(wú)窮小無(wú)窮大與無(wú)窮小 研究函數(shù)極限會(huì)涉及兩種變量變化趨勢(shì)研究函數(shù)極限會(huì)涉及兩種變量變化趨勢(shì), 一種是在極限過(guò)一種是在極限過(guò)程中變量可以無(wú)限變小程中變量可以無(wú)限變小, 而且要多么小就有多小而且要多么小就有多小, 在數(shù)軸上表在數(shù)軸上表示變量越來(lái)越趨近于零的變動(dòng)過(guò)程示變量越來(lái)越趨近于零的變動(dòng)過(guò)程; 一種是在極限過(guò)程中變量一種是在極限過(guò)程中變量可以無(wú)限變大可以無(wú)限變大, 而且要多么大就有多大而且要多么大就有多大, 在數(shù)軸上表示變量向在數(shù)軸上表示變量向數(shù)軸的正方向無(wú)限變動(dòng)的過(guò)程數(shù)軸的正方向無(wú)限變動(dòng)的過(guò)程. 我們分別將它們稱(chēng)為我們

2、分別將它們稱(chēng)為無(wú)窮小量無(wú)窮小量和無(wú)窮大量和無(wú)窮大量.一、一、 無(wú)窮小無(wú)窮小簡(jiǎn)單地簡(jiǎn)單地, 以零為極限的變量稱(chēng)為無(wú)窮小量以零為極限的變量稱(chēng)為無(wú)窮小量. 即即 定義定義1 如果自變量的某一個(gè)變化過(guò)程中函數(shù)如果自變量的某一個(gè)變化過(guò)程中函數(shù) f(x) 的極限為的極限為零零, 則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù) f(x)在此變化過(guò)程中為在此變化過(guò)程中為無(wú)窮小量無(wú)窮小量, 簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小. 0lim()0 lim()0 xxxfxfx 或或稱(chēng)稱(chēng) f(x) 在在0 xxx 時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)的無(wú)窮小量.1 .xx 是是時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小量量1lim0 xx .xex 是是時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小量量lim0 xxe 例如例如

3、1. 無(wú)窮小量的定義無(wú)窮小量的定義 .xex 是是時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小量量lim0 xxe 注注2 無(wú)窮小量與自變量的變化過(guò)程有關(guān)無(wú)窮小量與自變量的變化過(guò)程有關(guān), 即無(wú)窮小量是相對(duì)即無(wú)窮小量是相對(duì)于自變量的某一變化過(guò)程而言的于自變量的某一變化過(guò)程而言的.1 0 .xex 是是時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小量量10lim0 xxe 例如例如, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 是無(wú)窮小量是無(wú)窮小量, 而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)時(shí), 就就不是無(wú)窮小量不是無(wú)窮小量. x 1x 1x1x 注注3 很小很小的非零常量不是無(wú)窮小量很小很小的非零常量不是無(wú)窮小量, 但數(shù)但數(shù)“0”是無(wú)窮是無(wú)窮小量小量; 而無(wú)窮小量卻不一定是數(shù)而無(wú)窮小量卻不一定是數(shù)“0

4、”, 僅極限值為僅極限值為0的函數(shù)的函數(shù). 注注1 無(wú)窮小量不是很小很小的數(shù)無(wú)窮小量不是很小很小的數(shù), 而是在自變量的某種變化而是在自變量的某種變化趨勢(shì)下極限為零的函數(shù)趨勢(shì)下極限為零的函數(shù).2、無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系、無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系證證 必要性必要性,)(lim0axfxx 設(shè)設(shè),)()(axfx 令令, 0)(lim0 xxx則有則有).()(xaxf 充分性充分性),()(xaxf 設(shè)設(shè),)(0時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)其中其中xxx )(lim)(lim00 xaxfxxxx 則則)(lim0 xaxx .a 定理定理1 0lim()()()xxfxafxax 其中其中 是當(dāng)是

5、當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小.()x 0 xx注注1 任何形式的函數(shù)任何形式的函數(shù)(包括數(shù)列包括數(shù)列)極限都可表示為此函數(shù)與極極限都可表示為此函數(shù)與極限值之差是無(wú)窮小量限值之差是無(wú)窮小量, 反之亦然反之亦然. 即即00lim()lim ()0 xxxxfxafxa 0( )( ),( ).f xxf xax 給給出出了了函函數(shù)數(shù)在在附附近近的的近近似似表表達(dá)達(dá)式式誤誤差差為為注注2例例1 自變量自變量x在何變化過(guò)程中在何變化過(guò)程中, 下列函數(shù)下列函數(shù) f (x)為無(wú)窮小為無(wú)窮小.21(1) ( )1xf xx ；1(2) 1nxn ；2(3) ( )1.f xx 解解(1) 1,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)21(

6、 )1xf xx 為為無(wú)無(wú)窮窮小小; ;(2) ,n 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)11nxn 為為無(wú)無(wú)窮窮小小; ;(3) 無(wú)論無(wú)論 x 趨于何值趨于何值, 2( ) 1f xx 都都不不是是無(wú)無(wú)窮窮小小. .二、無(wú)窮大二、無(wú)窮大特殊情形特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或 在自變量的某變化趨勢(shì)下在自變量的某變化趨勢(shì)下, 函數(shù)函數(shù) f (x) 的的絕對(duì)值無(wú)限增大絕對(duì)值無(wú)限增大, 則稱(chēng)則稱(chēng)函數(shù)函數(shù) f (x) 為為無(wú)窮大無(wú)窮大.0000,0, 0,( ), ( ) .lim( )xxmxxf xmf xxxf x 當(dāng)當(dāng)有有則則稱(chēng)稱(chēng)在在時(shí)時(shí)為為正

7、正無(wú)無(wú)窮窮大大 記記作作oxy1 o21xy 例例 xx1lim0 xx1lim0 xx1lim0 201limxx 注注2 無(wú)窮大量與自變量的變化過(guò)程有關(guān)無(wú)窮大量與自變量的變化過(guò)程有關(guān), 即無(wú)窮大量是相對(duì)即無(wú)窮大量是相對(duì)于自變量的某一變化過(guò)程而言的于自變量的某一變化過(guò)程而言的.例如例如, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 是無(wú)窮大量是無(wú)窮大量, 而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)時(shí), 是是正無(wú)窮大量正無(wú)窮大量. 0 x1x 0 x 1x 注注1 無(wú)窮大量不是很大很大的數(shù)無(wú)窮大量不是很大很大的數(shù), 而是在自變量的某種變化而是在自變量的某種變化趨勢(shì)下趨勢(shì)下, 絕對(duì)值無(wú)限增大的函數(shù)絕對(duì)值無(wú)限增大的函數(shù)(變量變量). 注注3 當(dāng)當(dāng) 時(shí)為無(wú)窮

8、大量的函數(shù)時(shí)為無(wú)窮大量的函數(shù) 在在通常意義上說(shuō)極限不存在的通常意義上說(shuō)極限不存在的, 但是便于敘述但是便于敘述, 我們說(shuō)函數(shù)我們說(shuō)函數(shù) 的極限為無(wú)窮大的極限為無(wú)窮大.0 xxx 或或( )f x( )f x11lim.12xx 例例證證明明證證. 0 m,11mx 要使要使,11mx 只要只要,1m 取取,110時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)mx .11mx 就有就有.11lim1 xx11 xy無(wú)窮大量的性質(zhì)：無(wú)窮大量的性質(zhì)：兩個(gè)無(wú)窮大量的積仍是無(wú)窮大量?jī)蓚€(gè)無(wú)窮大量的積仍是無(wú)窮大量, 反之不真反之不真.注注: 兩個(gè)無(wú)窮大的代數(shù)和以及商不一定是無(wú)窮大兩個(gè)無(wú)窮大的代數(shù)和以及商不一定是無(wú)窮大.例如例如, lim, li

9、m()xxxxaa 但是但是 lim()0 xxxaa自變量自變量 x 在何變化過(guò)程中在何變化過(guò)程中, 下列變量為無(wú)窮大下列變量為無(wú)窮大.(1) ( )ln ;f xx (2) ( );xf xe 2(3) 1;nxn (4) ( )sin.f xx 解解(1)當(dāng)當(dāng) 或或 時(shí)時(shí), 0 x x ( )ln;f xx 為為無(wú)無(wú)窮窮大大(2) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), x ;xe 為為無(wú)無(wú)窮窮大大(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),n 21n 為為無(wú)無(wú)窮窮大大; ;(4) 無(wú)論無(wú)論 x 趨于何值趨于何值, sinx 都不是無(wú)窮大都不是無(wú)窮大.三、無(wú)窮小的性質(zhì)三、無(wú)窮小的性質(zhì)定理定理2 在在同一過(guò)程同一過(guò)程中中, 有限個(gè)無(wú)窮小的

10、代數(shù)和仍是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.證證 ,x 設(shè)設(shè)及及是是當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小120, 0,0, nn 使使得得;21 時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng)nx;22 時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng)nx,max21nnn 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),nx 22 , )(0 x注注無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小. .1, , nn 例例如如時(shí)時(shí)是是無(wú)無(wú)窮窮小小，1 1.nn但但 個(gè)個(gè)之之和和為為 不不是是無(wú)無(wú)窮窮小小定理定理3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. .證證001 (,) uux 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 在在 內(nèi)內(nèi)有有界界，1010,0, 0

11、 .mxxum則則使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,恒恒有有0 ,xx 又又設(shè)設(shè) 是是當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小2020, 0, 0 .xxm 使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,恒恒有有,min21 取取恒有恒有時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng),00 xx,uumm .,0為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) uxx推論推論1 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, ,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. .推論推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論推論3 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, ,有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.211, 0, sin,arctanxxxxx例例如如

12、當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小.1limsinxxx 但但 1 00011 limsinlimlimsinxxxxxxx注意：注意： ;無(wú)窮小的和、差、積、乘常數(shù)、乘有界變量仍是無(wú)窮小量無(wú)窮小的商不一定是無(wú)窮小量！無(wú)窮小的商不一定是無(wú)窮小量！利用無(wú)窮小的性質(zhì)可以求一些函數(shù)的極限利用無(wú)窮小的性質(zhì)可以求一些函數(shù)的極限:例例3sinlim.xxx求求解解1,0.xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)1limsin0.xxx原原式式例例4211lim(1)cos.1xxx 求求解解21,10.xx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)0. 原原式式5sinlim.1xxxx 求求解解5,0.1xxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)0. 原原式式1lim(1)arctan .xx

13、ex 求求解解1, 10, arctan.2xxex 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)0. 原原式式若若 時(shí)時(shí), f (x) 為無(wú)窮小量為無(wú)窮小量, g(x) 為無(wú)窮大量為無(wú)窮大量,則則( )必為必為無(wú)窮大量無(wú)窮大量.0 xx. ( )( )af xg x . ( )( )bf xg x 1. ( )( )cg xf x ( ). ( )f xdg xa定理定理4 4 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, ,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小; ;恒不為零恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大. .證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè)無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系.)(1,0為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x

14、fxx ,1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng).)(1 xf即即.)(1mxf 從而從而.)(1,0為無(wú)窮大為無(wú)窮大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx , 0)( xf由于由于意義意義 關(guān)于無(wú)窮大的討論關(guān)于無(wú)窮大的討論, 都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反之反之010, 0, 0( ),mxxf xm使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 恒恒有有例例3 求求2213lim.54xxxx 22154lim =03xxxx 因因?yàn)闉?解解2213lim54xxxx 則則 2220021cos2sinlimlim0( )xxxxxxx 0lim1cosxxx 0lim1cosxxx 例例4 證明證明證明證明因?yàn)橐驗(yàn)樗运詭c(diǎn)注意幾點(diǎn)注意無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.(1) 無(wú)窮小無(wú)窮小( 大大)是變量是變量, 不能與很小不能與很小(大大)的數(shù)混淆，零是的數(shù)