高中不等式難題

1、不等式單元測(cè)試填空J(rèn)1 .不等式卜+ 1| 打一2|>1解集為R,則實(shí)數(shù)a的取值X網(wǎng)為2 .觀察下列式子：1+上<3, i+4+4<-, i+4+4+4<->由此可 22 222 32 3 2工 32 42 4歸納出的一般結(jié)論是.3 .已知a+1, a+2, a+3是鈍角三角形的三邊，則a的取值X圍是4 .不等式（上產(chǎn)川N1的解集為. 25 .（2013XX）設(shè) OWa W /，不等式 8x- （8sin。）x+cos2。20 對(duì) x£R 恒成立，則。的取值X圍為 .x > 0,6 .設(shè)不等式組1+ 2），之4,所表示的平面區(qū)域?yàn)镺,則區(qū)域。的面積

2、為；若直線 2x +y <4.y = cix- 與區(qū)域。有公共點(diǎn)，則。的取值X圍是.x + y < 17 .已知變量x, y滿足約束條件K-vWl,若|上|«1恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值X 次一2 2x>a 11圍為.8 .若log劭=7,則。+匕的最小值為.9 .設(shè)二（1, -2）,二（a, -1）,二沁,0）, a>0, b>0, 0為坐標(biāo)原點(diǎn),若A, B, C三點(diǎn)共線,則+的最小 值是.10 .已知。£/?+力£/?+,函數(shù)y = 2a/+的圖象過(guò)（0, 1）點(diǎn)，則的最小值 a b是.11 .若正數(shù)x, v滿足2x+y l=0,則&

3、#163;±三的最小值為.邛12 .設(shè)x, v，z均為大于1的實(shí)數(shù)，且z為x和y的等比中項(xiàng)，則舉1 +獸的最小 41gx Igy值為.二：解答題13 .如果。£ >（產(chǎn)7（4>0,且工1）,求x的取值Xli.14 .（本小題滿分10分）已知關(guān)于x的不等式k - l|log2 a（1）當(dāng)。=8時(shí)，求不等式解集;（2）若不等式有解，求。的X圍.3/1316.如圖，已知小矩形花壇ABCD中，AB=3 m, AD=2 m,現(xiàn)要將小矩形花壇建成大矩 形花壇AMPX,使點(diǎn)B在AM上，點(diǎn)D在AN上，且對(duì)角線MN過(guò)點(diǎn)C.(1)要使矩形AMPN的面積大于32 m二，AN的長(zhǎng)應(yīng)在什

4、么X圍內(nèi)？(2)M, N是否存在這樣的位置，使矩形AMPN的面積最??？若存在，求出這個(gè)最小而積 及相應(yīng)的AM, AN的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案1. （-8, -3）（或a<-3）【解析】-3（x<-l）試題分析：因?yàn)椴?| =卜、一1（一1/2）,它的最小值為3,所以4一3.3（x>2）考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，恒成立問(wèn)題.2. 1+2+2- 3-2n +1< + 1【解析】解：觀察左右兩邊表達(dá)式吧變化規(guī)律發(fā)現(xiàn)，左側(cè)表示的為連續(xù)正整數(shù)平方的倒 數(shù)和，2,3, 4項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)逐一增加1,右邊則是項(xiàng)數(shù)的倒數(shù)分之，等差數(shù)列2n+l,則按照 這個(gè)規(guī)律我們就可以得到1+U+

5、L+一二< 之土12- 3-+ + 13.(0,2)【解析】略*(T/【解析】x 1因?yàn)橐?lt;1,所以-40同解變形22x + l1(1 °試題分析：原不等式變形為：(尸2 2 2 >2X+1W01/、/、解得：一一<xl,(2x + l)(x-l)<02所以原不等式的解集為：(-！. 2考點(diǎn)：1,解指數(shù)型不等式；2.接分式不等式.5. 0,三I U 也三，n 66【解析】由題意可得,A=64sin3a -32cos2a 0,得 2sin，- (1 - 2sin a ) WO/.sin:o W工，4sina22YOW a無(wú)A a G0, 2L U I2L,

6、 n6-64 r76.-；-,+oo)3 4【解析】t + 2 v = 44 4試題分析：由。 ?得3(=7)易得40,4)0(0,2) .所以區(qū)域D的面積為2x+y = 43 314 41一)7S = 1x2x? =二直線BD的斜率為攵=工直線' =如一1與區(qū)域。有公共23 3to 437點(diǎn)，所以42攵=7.4考點(diǎn)：不等式組表示的平面區(qū)域.【解析】試題分析：易知“VI,不等式表示的平面區(qū)域如圖所示,設(shè)Q(2,0),平面區(qū)域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x, y),則|廣|誹改J,當(dāng)P是x 與x-y = l交點(diǎn)時(shí)，尸。的斜率最大，為丘 67-2當(dāng)尸是x = a與交點(diǎn)時(shí)，的斜率最小，為上上, 67-21一4

7、、 1。一I/由。一 2 一 2且-2-2得0JW2,又，5,所以"【°山考點(diǎn)：線性規(guī)劃.8. 1【解析】試題分析：由log4/2 = -l,得4 =5>0,所以a + b = L + bN2Lb = l (當(dāng)且僅當(dāng)_ = 即 =L時(shí)，等號(hào)成立) 4b V 4b4b2所以答案應(yīng)填1.考點(diǎn)：1、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：2、基本不等式.9. 8【解析】=-=.(a-l, 1), =-=(-b-l, 2),因?yàn)锳, B,C三點(diǎn)共線，所以與共線，所以 2 (a-l)+b+l=O, KP 2a+b=l.因?yàn)?a>0,b>0,所以+二(2a+b) =4+24+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)

8、二,即b=2a時(shí)等號(hào)成立.10. 3 + 272【解析】 試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)(0,1),把點(diǎn)帶入函數(shù)丁 =為"+/2可得2 + = 1 ,所以_1 + _1 =2心+衛(wèi)士2 = 3 + 2 +陽(yáng)2 3 + 2后.當(dāng)且僅當(dāng)2 =生時(shí)取等號(hào).故填 aba h a ha b3+ 2也考點(diǎn)：基本不等式11. 9【解析】試題分析：2x+）， l = 0,.2x+y = l,/ x > 0, y > 0xy xy xy y x y x2x2y2x 2y+ 1 + 4 + =5 + + yxyx25 + 2,叵互= 5 + 4 = 9（當(dāng)且僅當(dāng)至=三二即x = y = l時(shí)，&qu

9、ot;=”成立） y y xy x3考點(diǎn)：基本不等式12 9 8【解析】試題分析：因?yàn)闉楣ず蛓的等比中項(xiàng)，所以=孫，則 = 而，Igz 11gz _及而 Jg而_lgx + lgy 11gx+ lgy _51Igy , lg 5 t 十十十十 T ± 十41gx Igy 41gx Igy 81gx 21gy 8 81gx 21g y 8,當(dāng)且僅當(dāng)=/時(shí)等號(hào)成立，所以止+%的最小值為2； 41gx Igy8考點(diǎn)：1.等比中項(xiàng)：2,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：3.基本不等式的應(yīng)用:7713.當(dāng)時(shí)，x < -：當(dāng)。時(shí)，x> 66【解析】試題分析：解指數(shù)不等式首先確定其單調(diào)性，當(dāng)?shù)讛?shù)大于1是

10、單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)介于。1 之間單調(diào)遞減，此題中底數(shù)為。(。0且。1),需按“ >1單調(diào)遞增和Ova<1單調(diào) 遞減，兩種情況進(jìn)行討論，再利用單調(diào)性解不等式.試題解析：當(dāng)4>1時(shí)，.，產(chǎn) ,廣7-5%>工+ 7,解得1<一一.4分6當(dāng)0<avl時(shí)，.a-5x>a"7-5xvx + 7,解得x>-N8分6綜上所述：當(dāng)。1時(shí)，x-L67當(dāng)0<“<1時(shí)，%>一一.12分6考點(diǎn)：1,分類討論思想；2.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.14. (1) 乂-3 w；【解析】試題分析：(1)當(dāng)” =8時(shí)，原不等式即為|2x1-卜1|<3,分三類情

11、況進(jìn)行討論：!<1<1和121,分別求出其滿足的解集，再作并集即為所求不等式的解集:2 2(2)要使不等式有解，即(|2xl| k l|)minKlog2a，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求(|2r-l|-|x-l|)n.n,令 f(x) = |2x-l|-|x-l|,分三種情況入1,，<工<1和工21,2 2分別求出其最小值并作交集，最后得出結(jié)果即可.試題解析：(1)由題意可得：|21一1|一,一1|<3,當(dāng)工，時(shí)，一2工+ 1 +工一1三3,工之一3,乙9/13即-3Wx"2當(dāng)_L<x<l時(shí)，2x-l + x-l<3,即當(dāng)尤21 時(shí)，2x l x

12、+ l«3,即xW3 23.該不等式解集為次|一3<1<3.(2)令/=|2X一1|一打1|,有題意可知：log：N/(X)mm1x, x W 一,即 a N 2 1, a > 士 .23x 2, 一 < x < 1 f (x) min = 一 2x. x > 1考點(diǎn)：1、含絕對(duì)值不等式的解法：2、對(duì)數(shù)不等式的解法:15.該公司在A電視臺(tái)做100分鐘廣告,在B電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大, 最大收益是70萬(wàn)元.【解析】設(shè)公司在A和B做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，工十y三300,由題意得 SO Ox + 200y <

13、 90 000,x>Ofy>Of目標(biāo)函數(shù)z=3000x+2000y.工十y三300,二元一次不等式組等價(jià)于5x4-2y< 900, 40,y之0,作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域, 如圖陰影部分.作直線 l:3000x+2000y=0,即 3x+2y=0,平移直線1,從圖中可知，當(dāng)直線1過(guò)M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.聯(lián)立普2券曲解喉歌點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100, 200),，z«x=3000 X 100+2000 X 200=700000,即該公司在A電視臺(tái)做100分鐘廣告,在B電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大,最 大收益是70萬(wàn)元.【方法技巧】常見(jiàn)的線性規(guī)劃應(yīng)用題的類型給定一定量的人力、物力資源，問(wèn)怎樣運(yùn)用這些資源，使完成的任務(wù)量最大，收益最 大.給定一項(xiàng)任務(wù)，問(wèn)怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最小.Q16. (1)在(2,9)或(8, +8)內(nèi)2 2) AM=6, AN=4 時(shí)，Sala=24.【解析】解：(1)設(shè)AM=x, AN=y(x>3, y>2),矩形AMPN的面積為S,則S=xy.v-2 3 3vVANDCANAM, A-=二，x=