二次函數(shù)中存在性問題(含復(fù)習資料解析)

1、2018年8月4日初中數(shù)學(xué)試卷、綜合題(共9題；共135分)21.如圖所不，拋物線 y=ax+bx+c的頂點為M ( - 2, - 4),與x軸父于A、B兩點，且A ( - 6, 0),與y軸父于 點C.(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)求 ABC的面積；(3)能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點P,使APC的面積最大？若能，請求出點P的坐標；若不能，請說明理由.2. (2017?烏魯木齊)如圖，拋物線 y=ax2+bx+c (awQ與直線y=x+1相交于A ( - 1, 0) , B (4, m)兩點，且拋物(1)求拋物線的解析式;(2)點P是拋物線上的一個動點(不與點A、點B重合)，過點P

2、作直線PD)±x軸于點D,交直線AB于點E. 當PE=2ED時，求P點坐標； 是否存在點P使4BEC為等腰三角形？若存在請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.y=ax2+bx+c (awQ的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D,點B的坐標為(3,3. (2017?赤峰)如圖，二次函數(shù)(1)求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式;(2)點P是直線BD上的一個動點，過點 P作x軸的垂線，交拋物線于點 M,當點P在第一象限時，求線段 PM長度的最大值;(3)在拋物線上是否存在異于B、D的點Q,使4BDQ中BD邊上的高為2 j- ?若存在求出點 Q的坐標；若不存在請說明理由.4. (20

3、17?廣元)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c過點A (- 3,0), B (-2,3) , C (0,3),其頂點為 D.(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點M (1, m),當MB+MD的值最小時，求 m的值；(3)若P是拋物線上位于直線 AC上方的一個動點，求 4APC的面積的最大值；(4)若拋物線的對稱軸與直線 AC相交于點N, E為直線AC上任意一點，過點 E作EF/ ND交拋物線于點F,以N, D, E, F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點 E的坐標；若不能，請說明理由.5. (2017?巴中)如圖，已知兩直線 1i , l2分別經(jīng)過點A (1, 0),點B ( - 3,

4、 0),且兩條直線相交于 y軸的正 半軸上的點C,當點C的坐標為(0,的)時，恰好有1i112 ,經(jīng)過點A, B, C的拋物線的對稱軸與 h、吼x軸分別交于點 G、E、F, D為拋物線的頂點.(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)試說明DG與DE的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；(3)若直線12繞點C旋轉(zhuǎn)時，與拋物線的另一個交點為M,當4MCG為等腰三角形時，請直接寫出點M的坐標.6. 如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c (awQ的對稱軸為直線 x=- 1,且拋物線經(jīng)過 A (1, 0) , C (0, 3)兩點，與x軸 交于點B.(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點，求直線 BC和拋物線的解析式；(

5、2)在拋物線的對稱軸 x=- 1上找一點M,使點M到點A的距離與到點 C的距離之和最小，求出點 M的坐標;(3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸x=- 1上的一個動點，求使 BPC為直角三角形的點 P的坐標.7. 如圖，拋物線y=ax2+bx+c (aw。與x軸相交于A (- 1, 0) , B (3, 0),與y軸交于點C (0, 3)(1)求拋物線的解析式；(2)連接BC,點P為拋物線上第一象限內(nèi)一動點，當4BCP面積最大時，求點 P的坐標；(3)設(shè)點D是拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在點Q,使以點B, C, D, Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點 Q的坐標；若不存在，說明理由

6、.28. (2017?臨沂)如圖，拋物線y=ax+bx-3經(jīng)過點A(2, - 3),與x軸負半軸交于點 B,與y軸交于點C,且OC=3OB.(1)求拋物線的解析式；(2)點D在y軸上，且/ BDO=/ BAC,求點D的坐標；(3)點M在拋物線上，點 N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A, B, M, N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.16 / 16答案解析部分一、綜合題1.【答案】(1)解：設(shè)此函數(shù)的解析式為y=a (x+h) 2+k,.函數(shù)圖象頂點為 M ( - 2, - 4),y=a (x+2) 2-4,又函數(shù)圖象經(jīng)過點 A ( -

7、6, 0),0=a (- 6+2) 2-4解得a=, -4，此函數(shù)的解析式為 y= 1r (x+2) 2-4,即y= 1r x2+x-3; (2)解：二,點C是函數(shù)y= x x2+x-3的圖象與y軸的交點, 4.二點C的坐標是(0, - 3),又當 y=0 時，有 y= 1r x2+x- 3=0,一4解得 xi = - 6, x2=2,，點B的坐標是(2,0),則 S/abc= I |AB|?|OC|= X 8X3=12-"1i(3)解：假設(shè)存在這樣的點，過點P作P已x軸于點E,交AC于點F.設(shè) E (x, 0),則 P (x, : x2+x3),設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,.

8、直線 AC過點 A (- 6, 0) , C (0, 3),f-ft+i=O解得產(chǎn)一；1 -3 = fefe=-3，直線AC的解析式為y=- x x-3, I，點F的坐標為F (x, - x x-3), - 1則|PF|= 一x3 (.x2+x3) = -tx2-xx,144iS»AapcfSx apf+Sa CPF=|PF|?|AE|+|PF|?|OE|1 1=|PF|?|OA|= ,(- x - j x)X6= j x2 - jx=- j(x+3) 2+好, 1I414144當x=-3時，Saapc有最大值 北,4此時點P的坐標是P ( -3, - 1S ).4【考點】二次函數(shù)的

9、應(yīng)用【解析】【分析】(1)根據(jù)頂點坐標公式即可求得a、b、c的值，即可解題；(2)易求得點 日C的坐標，即可求得OC的長，即可求得 4ABC的面積，即可解題；(3)作PE± x軸于點E,交AC于點F,可將4APC的面積轉(zhuǎn)化 為4AFP和4CFP的面積之和，而這兩個三角形有共同的底PF,這一個底上的高的和又恰好是A、C兩點間的距離，因此若設(shè)設(shè)E (x, 0),則可用x來表示4APC的面積，得到關(guān)于 x的一個二次函數(shù)，求得該二次函數(shù)最大值，即 可解題.2 .【答案】(1)解：二點B (4, m)在直線y=x+1上， m=4+1=5,B (4, 5),把A、B、C三點坐標代入拋物線解析式可

10、得a-bic = ，解得口=_，(16a+4Hc = 5(6 = 425a + 5b + c = 0 c= 5，拋物線解析式為 y=-x2+4x+5(2)解：設(shè) P (x, x2+4x+5),則 E (x, x+1) , D (x, 0),貝U PE=| x2+4x+5 (x+1) |=| - x2+3x+4| , DE=|x+1| , PE=2ED| -x2+3x+4|=2|x+1| ,當-x2+3x+4=2 (x+1)時，解得x=- 1或x=2,但當x=- 1時，P與A重合不合題意，舍去， P (2, 9)；當-x2+3x+4=-2 (x+1)時，解得x= T 或x=6,但當x=- 1時，

11、P與A重合不合題意，舍去， P (6, 7);綜上可知P點坐標為(2, 9)或(6, - 7);設(shè) P (x, x2+4x+5),貝U E (x, x+1)，且 B (4, 5) , C (5, 0),BE= , = |x 4| , CE= , = , BC=,x- +(x + i-5y 誼 11 屆一5尸 + & +以 -眠+ 26 -sy +(5-oy當 BEC為等腰三角形時，貝U有 BE=CE BE=BC或CE=BC三種情況,當BE=CE時，則 廣|x -4|= ,解得x=.，此時P點坐標為(.，中)；近 的一- &C + 2622 之當BE=BC時，貝Uj,解得x=4+

12、 或x=4 -,此時P點坐標為(4+ , - 4 Vmvl3 V13V13V138)當CE=BC寸，貝U=,解得x=0或x=4,當x=4時E點與B點重合，不合題意，舍去，此時依:-肘+ 26V26點坐標為(0, 5);綜上可知存在滿足條件的點P,其坐標為8)或(0, 5)【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，與二次函數(shù)有關(guān)的動態(tài)幾何問題【解析】【分析】(1)由直線解析式可求得 B點坐標，由A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解 析式；(2) 可設(shè)出P點坐標，則可表示出 E D的坐標，從而可表示出 PE和ED的長，由條件可知到關(guān)于 P點 坐標的方程，則可求得 P點坐標；由E、B、C三點坐標可表示出

13、 BE、CE和BC的長，由等腰三角形的性質(zhì)可得 到關(guān)于E點坐標的方程，可求得 E點坐標，則可求得 P點坐標.3.【答案】(1)解：二拋物線的頂點 C的坐標為(1,4), 可設(shè)拋物線解析式為 y=a (x- 1) 2+4, ,點B (3, 0)在該拋物線的圖象上，0=a (3 1) 2+4,解得 a=-1,，拋物線解析式為 y=- (x-1) 2+4,即y=- x2+2x+3, 點D在y軸上，令x=0可彳導(dǎo)y=3, .D點坐標為(0, 3), 可設(shè)直線BD解析式為y=kx+3,把B點坐標代入可得 3k+3=0,解得k= - 1, 直線BD解析式為y= - x+3(2)解：設(shè) P點橫坐標為 m (

14、m>0),則 P (m, - m+3) , M (m, - m2+2m+3),- PM= - m2+2m+3 - (- m+3) = - m2+3m= - (m- 口)2+ g ,當m=時，PM有最大值g -1 4(3)解：如圖，過 Q作QG/ y軸交BD于點G,交x軸于點E,彳QHLBD于H,設(shè) Q (x, x2+2x+3),則 G (x, x+3), .QG=| x2+2x+3 (x+3) |=| - x2+3x| , BOD是等腰直角三角形，/ DBO=45 ,/ HGQ=/ BGE=45 ,當ABDQ中BD邊上的高為2 _時，即QH=HG=2 _ ,盤顯QG=廣"廣=4

15、, 位位 | - x2+3x|=4 ,當-x2+3x=4時，4=9-16<0,方程無實數(shù)根，當W+3x= 4 時，解得 x=- 1 或 x=4,Q (- 1, 0)或(4, - 5),綜上可知存在滿足條件的點Q,其坐標為(-1 , 0)或(4, - 5)【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，與二次函數(shù)有關(guān)的動態(tài)幾何問題【解析】【分析】(1)可設(shè)拋物線解析式為頂點式，由B點坐標可求得拋物線的解析式，則可求得D點坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線 BD解析式；(2)設(shè)出P點坐標，從而可表示出 PM的長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得 其最大彳1; ( 3)過Q作QG/ y軸，交BD于點G,過Q和QHXBDT H,

16、可設(shè)出Q點坐標，表示出 QG的長度， 由條件可證得4DHG為等腰直角三角形，則可得到關(guān)于Q點坐標的方程，可求得 Q點坐標.4.【答案】(1)解：將A, B, C點的坐標代入解析式，得(te-2h+c=3c = 3解得”7 ，4 = -2c= 3拋物線的解析式為 y=-x2- 2x+3(2)解：配方，得y=- (x+1) 2+4,頂點D的坐標為(-1, 4) 作B點關(guān)于直線x=1的對稱點B',如圖1,則 B' (4, 3),由(1)得 D ( - 1, 4),可求出直線DB的函數(shù)關(guān)系式為y=- 1r x+ 了，1 L55當M (1, m)在直線 DN上時，MN+MD的值最小,則

17、m=- j X1 + ：； = «AC的解析式為 y=x+3,設(shè) P (m, - m2-2m+3) , E (m, m+3), PE=- m2-2m+3 - (m+3) =- m2- 3mSa apc= PE?|xa|= :(- m2-3m)X 3= :(m+ ：) 2+ 蜀,一 1 I1 I E當m=- 1時，APC的面積的最大值是 1 £(4)解：由(1)、 ( 2)得 D ( 1, 4) , N ( 1, 2)點E在直線AC上，設(shè)E (x, x+3),當點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F (x, -x2-2x+3), EF=DN一x2-2x+3 - (x+3)

18、=4- 2=2,解得，x=-2或x=- 1 (舍去)，則點E的坐標為：(-2, 1).當點E在線段AC （或CA）延長線上時，點 F在點E下方，則F （x, -x2-2x+3）, EF=DN,(x+3) - (- x2 - 2x+3) =2,即點E的坐標為：（ 一， 一）或（4 而：+Vi；綜上可得滿足條件的點E為E （ - 2, 1）或：（ 一， 一）或（ 一， 一）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的應(yīng)用，三角形的面積，軸對稱-最短路線問題【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案 .（2）利用軸對稱求最短路徑的知識，找到B點關(guān)于直線x=1的對稱點B'

19、,連接B' D B'四直線x=1的交點即是點M的位置，繼而求出 m的值.PE的長，根據(jù)三角形的面積,（3）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離最大的縱坐標減去較小的縱坐標，可得 可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案點F在點E上方； 當點E再線段AC（或CA） x的方程，繼而求出點 E的坐標.（4）設(shè)出點E的坐標，分情況討論； 當點E再線段AC上時, 延長線上時，點 F在點E下方，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得關(guān)于5.【答案】（1）解:設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為點 A (1, 0),點B ( - 3, 0),點 C (0,_ 2, 一 y=ax +bx+c.與）在拋物線上,拋物線的函

20、數(shù)解析式為y=一x2一浦 x+（2）解：DG=DE理由如下:設(shè)直線li的解析式為y=kix+bi將 A (1, 0) , C (0,的)代入，解得y=-.設(shè)直線12的解析式為y=k2x+b2將 B ( - 3, 0) , C (0,有）代入，解得y= x+ -.拋物線與x軸的交點為A (1, 0) , B ( - 3, 0),，拋物線的對稱軸為直線 x=- 1, 又點G、D、E均在對稱軸上，G ( 1, 2) , D ( 1,),E ( 1,),DG=DE;(3)解：若直線V3幽型l2繞點C旋轉(zhuǎn)時，與拋物線的另一個交點為M,當4MCG為等腰三角形時，分三種情況:以G為圓心,GC為半徑畫弧交拋物

21、線于點M1、C,點M1與C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則M1的坐標為(-2,以C為圓心,GC為半徑畫弧交拋物線于點M2、M3 ,點M2與點A重合，點A、C、G在一條直線上，不能構(gòu)成三角形，M3與Mi重合; 作線段GC的垂直平分線，交拋物線于點M4、M5 ,點M4與點D重合，點D的坐標為(-1, 小)，M5與Mi重合;綜上所述，滿足條件的點 M只有兩個，其坐標分別為(- 2，的)【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的應(yīng)用，與二 次函數(shù)有關(guān)的動態(tài)幾何問題【解析】【分析】(1)設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c.分另1J將A (1, 0) ,

22、B ( - 3, 0) , C (0,點坐標代入得到一個三元一次方程組，解之即可得到拋物線解析式(2) DG=DE.分別求出過 A (1, 0) , C (0, 3 )兩點的直線l1的解析式為y=- 的x+ 的;過 B (-3, 0),c(0, 3)兩點的直線i2的解析式為y=gx+仃；由二次函數(shù)的性質(zhì)和已知條件求出DG和DE的長度即可.(3)若直線繞點C旋轉(zhuǎn)時，與拋物線的另一個交點為M,當4MCG為等腰三角形時,分三種情況:以G為圓心，GC為半徑畫弧交拋物線于點 M1 (-2,怖)；以C為圓心，GC為半徑畫弧交拋物線于點M2、M3; 作線段GC的垂直平分線，交拋物線于點M4、M5.(1)解：

23、依題意得:解之得:，拋物線解析式為y=-x2-2x+3:對稱軸為x=-1,且拋物線經(jīng)過 A (1, 0),把 B (-3, 0)、C (0, 3)分別代入直線 y=mx+n,得，-3機 + *=0 ',n 二 3M二1ti = 3，直線y=mx+n的解析式為y=x+3(2)解：設(shè)直線 BC與對稱軸x=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最小.把x=-1代入直線y=x+3得，y=2,M (-1, 2),即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時 M的坐標為(-1, 2) (3)解：如圖：設(shè) P (-1, t),又. B (-3, 0) , C (0, 3),BC2=18, PB2= (

24、-1+3) 2+t2=4+t2 ,PC2= (-1) 2+ (t-3) 2=t2-6t+10,若點B為直角頂點，則 BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2-6t+10 解之得：t=-2 ；若點C為直角頂點，則 BC2+PC2=PB2即：18+t2-6t+10=4+t 2 解之得：t=4, 若點P為直角頂點，則 PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2-6t+10=18 解之得：t1=,t2= if ;22綜上所述P的坐標為(-1, -2)或(-1 , 4)或(-1 , 1) 或(-1 , ").T T【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用-動態(tài)幾何問題【解析】【分析】先把

25、點 A, C的坐標分別代入拋物線解析式得到a和b, c的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的對稱軸方程可彳導(dǎo)a和b的關(guān)系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出 a, b, c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點的坐標代入直線y=mx+n,解方程組求出 m和n的值即可得到直線解析式；設(shè)直線BC與對稱軸x=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最小.把x=-1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點 M 坐標；設(shè) P(-1,t),又因為 B (-3,0) , C (0, 3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1) 2+ (t-3)2=t2-6t+10,再分三種情況分別討論求出

26、符合題意t值即可求出點P的坐標.7 .【答案】(1)解：設(shè)拋物線解析式為y=a (x+1) (x-3),把 C (0, 3)代入得 a?1? (- 3) =3,解得 a=- 1,把 B (3, 0) , C (0, 3)代入得所以拋物線解析式為 y=- (x+1) (x-3),即y=-x2+2x+3 (2)解：設(shè)直線 BC的解析式為y=kx+m,3k+m = 0 '解得卜二-1 'm = 3m= 3所以直線BC的解析式為y= - x+3, 作PM / y軸交BC于M ,如圖1,設(shè) P (x, - x2+2x+3) , (0vxv3),貝U M (x, - x+3), PM=-x

27、2+2x+3- (-x+3) =-x2+3x,1 1 S*A pcB= ?3?PM= - xx + g=- :(x- ?) + "-, 22212 f當x=:時，ABCP的面積最大，此時 P點坐標為(：，1$) 拋物線的對稱軸為直線 x=1,(3)解：如圖2,當四邊形BCDQ為平行四邊形，設(shè) D (1, a),則Q (4, a-3),把 Q (4, a- 3)代入 y= -x2+2x+3 得 a 3=16+8+3,解得 a=- 2,.Q (4, - 5)；當四邊形BCQD為平行四邊形時，設(shè) D (1, a),則Q ( - 2, 3+a),把 Q (2, 3+a)代入 y=x2+2x+

28、3得 3+a=4 4+3,解得 a=- 8,.Q (- 2, - 5);當四邊形BQCD為平行四邊形時，設(shè) D (1, a),則Q (2, 3-a),把 Q (2, 3-a)代入 y=-x2+2x+3 得 3-a=-4+4+3,解得 a=0,.Q (2, 3),綜上所述，滿足條件的 Q點坐標為(4, - 5)或(-2, - 5)或(2, 3).【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，與二次函數(shù)有關(guān)的動態(tài)幾何問題【解析】【分析】(1)設(shè)交點式y(tǒng)=a (x+1) (x-3),然后把C點坐標代入求出a的值即可得到拋物線的解析式； (2)先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=- x+3,作PM/y軸交BC于M,如圖1,設(shè)P ( x, - x2+2x+3)(0vxv3),則M (x, - x+3),利用三角形面積公式得到，Sapcb= 1 ?3?PM= - ： x2+ ,然后根據(jù)二次函數(shù)的111性質(zhì)求解；(3)如圖2,分類討論：當四邊形 BCDQ為平行四邊形，設(shè) D (1, a),利用點平移的坐標規(guī)律得到 (4, a-3),然后把 Q (4, a-3)代入y= - x2+2x+3中求出a即可得到Q點坐標；當四邊形 BCQD為平行四邊形或四邊形BQCD為平行