八年級(jí)數(shù)學(xué)幾何證明題技巧含答案

1、幾何證明題的技巧1. 幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問(wèn)題常常可以相互轉(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。2. 掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法：（ 1 ）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題解決；（ 2 ）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；（ 3 ）分析綜合法：將分析與綜合法合并使用，比較起來(lái)，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際

2、思考問(wèn)題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。3. 掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的。1、證明線段相等或角相等兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例 1.已知：如圖 1 所示， ABC 中， C 90 ,

3、AC BC, AD DB, AE CF。求證：D曰DF分析：由ABC是等腰直角三角形可知，A B 45 ,由D是AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié)CD,易得CD AD , DCF 45 。從而不又t發(fā)現(xiàn)DCF DAE證明：連結(jié)CD說(shuō)明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié) CQ因?yàn)镃D既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本 題亦可延長(zhǎng)ED到G,使DG= DE,連結(jié)BG證 EFG是等腰直角三角形。有興趣 的同學(xué)不妨一試。說(shuō)明： 利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意：

4、（ 1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證邊或者角；（ 2 ）添輔助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形2、證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證。例 2.已知：如圖 4 所示，AB= AC, Z A 90 , AE BF, BD DC。求證：FD ±ED證明一： 連結(jié) AD在 ADE 和 BDF 中，說(shuō)明： 有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。3、證明一線段和的問(wèn)題

5、（一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法）例3.已知：如圖6所示在 ABC中，B 60 , /BAC / BCA的角平分線AQCE相交于Q求證：AC= AE+ CD分析：在AC上截取 AF= AE易知 AEO AFO ,12。由 B 60 ,知56 60 ，1 60 ， 23 120 。1234 60 ，得：FOC DOC，F(xiàn)C DC證明：在AC上截取AF= AE又 B 60即 AC AE CD（二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)后的線段等于另一較長(zhǎng)線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法）例4.已知：如圖7所示，正方形ABC前，F(xiàn)在DC上，E在BC上，EAF 4

6、5。求證：EF= BE+ DF分析：此題不易利用正方形這一條件。不妨延長(zhǎng)CB至G,使BG= DR證明：延長(zhǎng)CB至 G,使 BG= DF0 在正方形 ABCD中，ABG D 90 ， AB AD又 EAF 45即 / GA2 / FAE【實(shí)戰(zhàn)模擬】1 . 已知：如圖11所示， ABC中， C 90 , D是AB上一點(diǎn)，DE!CD于D, 交BC于E,且有AC AD CE。求證：DE 1CD22 .已知：如圖12所示，在 ABC中，A 2 B, CDb /C的平分線。 求證：BO AO AD3 .已知：如圖13所示，過(guò) ABC的頂點(diǎn)A,在/ A內(nèi)任引一射線，過(guò)B、C作 此射線的垂線BP和CQ設(shè)M為BC的中點(diǎn)。求證：M氐MQ【試題答案】1 .證明：取CD的中點(diǎn)F,連結(jié)AF又 14 90 ,13 902 .分析：本題采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的手法?！敖亻L(zhǎng)”即將長(zhǎng)的線段截成兩部分,證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補(bǔ)短”即將一條短線段延長(zhǎng)出另一條 短線段之長(zhǎng)，證明其和