六章節(jié)分支限界法ppt課件

1、第六章 分支限界法6.1分支限界法的根本思想1. 分支限界法與回溯法的不同1求解目的：回溯法的求解目的是找出解空間樹中滿足約束條件的一切解，而分支限界法的求解目的那么是找出滿足約束條件的一個解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。 2搜索方式的不同：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹，而分支限界法那么以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹。 6.1分支限界法的根本思想2. 分支限界法根本思想 分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)最大效益優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。 在分支限界法中，每一個活結(jié)點(diǎn)只需一次時(shí)機(jī)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其一切兒子結(jié)點(diǎn)。在這

2、些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其他兒子結(jié)點(diǎn)被參與活結(jié)點(diǎn)表中。 以后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并反復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過程。這個過程不斷繼續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。 6.1分支限界法的根本思想3. 常見的兩種分支限界法1隊(duì)列式(FIFO)分支限界法 按照隊(duì)列先進(jìn)先出FIFO原那么選取下一個節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。 2優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法 按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級選取優(yōu)先級最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。6.2單源最短途徑問題1. 問題描畫 下面以一個例子來闡明單源最短途徑問題：在以下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個非負(fù)邊權(quán)。要求圖G的從源頂點(diǎn)s到目的頂點(diǎn)

3、t之間的最短途徑。 6.2單源最短途徑問題 以下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短途徑問題產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的當(dāng)前路長。6.2單源最短途徑問題2. 算法思想 解單源最短途徑問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用一極小堆來存儲活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級是結(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的當(dāng)前路長。 算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開場。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。以后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的一切頂點(diǎn)。假設(shè)從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的途徑的長度小于當(dāng)前最優(yōu)途徑長

4、度，那么將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過程不斷繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。6.2單源最短途徑問題3. 剪枝戰(zhàn)略 在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長，那么算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹。 在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)展剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同途徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩條途徑的路長不同，因此可以將路長長的途徑所對應(yīng)的樹中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹剪去。 6.2單源最短途徑問題 while (true) / 搜索問題的解空間 for (int j=1;j=n;j+) if(aenode.ij Float.MAX_VALUE &

5、 enode.length+aenode.ij distj) / 頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束 distj=enode.length+aenode.ij; pj=enode.i; HeapNode node = new HeapNode(j,distj); heap.put(node); / 參與活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列 if (heap.isEmpty() break; else enode = (HeapNode) heap.removeMin(); 頂點(diǎn)頂點(diǎn)I I和和j j間有邊，且此間有邊，且此途徑長小于原先從原點(diǎn)途徑長小于原先從原點(diǎn)到到j(luò) j的途徑長的途徑長 6.3 裝載問題1. 問題描

6、畫有一批共n個集裝箱要裝上2艘載分量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的分量為Wi，且211ccwnii裝載問題要求確定能否有一個合理的裝載方案可將這個集裝箱裝上這2艘輪船。假設(shè)有，找出一種裝載方案。 容易證明：假設(shè)一個給定裝載問題有解，那么采用下面的戰(zhàn)略可得到最優(yōu)裝載方案。 (1)首先將第一艘輪船盡能夠裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。 6.3 裝載問題2. 隊(duì)列式分支限界法 在算法的while循環(huán)中，首先檢測當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)能否為可行結(jié)點(diǎn)。假設(shè)是那么將其參與到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)參與到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

7、被舍棄。 活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個尾部標(biāo)志-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判別當(dāng)前隊(duì)列能否為空。假設(shè)隊(duì)列非空，那么將尾部標(biāo)志-1參與活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開場處置下一層的活結(jié)點(diǎn)。6.3 裝載問題2. 隊(duì)列式分支限界法while (true) if (ew + wi = c) enQueue(ew + wi, i); / 檢查左兒子結(jié)點(diǎn) enQueue(ew, i); /右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的 ew = (Integer) queue.remove().intValue(); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) if (ew =

8、-1) if (queue.isEmpty() return bestw; queue.put(new Integer(-1); / 同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志 ew = (Integer) queue.remove().intValue(); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) i+; / 進(jìn)入下一層 6.3 裝載問題3. 算法的改良 節(jié)點(diǎn)的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的分量；r是剩余集裝箱的分量。那么當(dāng)ew+rbestw時(shí)，可將其右子樹剪去，由于此時(shí)假設(shè)要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。 另外，為了確保右子樹勝利剪枝，應(yīng)該在算法每一

9、次進(jìn)入左子樹的時(shí)候更新bestw的值。6.3 裝載問題3. 算法的改良/ 檢查左兒子結(jié)點(diǎn) int wt = ew + wi; if (wt bestw) bestw = wt; / 參與活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列 if (i bestw & i 0; j-) bestxj = (e.leftChild) ? 1 : 0; e = e.parent; 6.3 裝載問題5. 優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法 解裝載問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲活結(jié)點(diǎn)表?；罱Y(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的途徑所相應(yīng)的載分量再加上剩余集裝箱的分量之和。 優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)

10、點(diǎn)x為根的子樹中一切結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的途徑的載分量不超越它的優(yōu)先級。子集樹中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載分量與其優(yōu)先級一樣。 在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，那么可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。 6.4 布線問題算法的思想 解此問題的隊(duì)列式分支限界法從起始位置a開場將它作為第一個擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。與該擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰并且可達(dá)的方格成為可行結(jié)點(diǎn)被參與到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中，并且將這些方格標(biāo)志為1，即從起始方格a到這些方格的間隔為1。 接著，算法從活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中取出隊(duì)首結(jié)點(diǎn)作為下一個擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并將與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰且未標(biāo)志過的方格標(biāo)志為2，并存入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列。這個過程不斷繼續(xù)到算法搜索到目的

11、方格b或活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列為空時(shí)為止。即參與剪枝的廣度優(yōu)先搜索。6.4 布線問題Position offset = new Position 4;offset0 = new Position(0, 1); / 右offset1 = new Position(1, 0); / 下offset2 = new Position(0, -1); / 左offset3 = new Position(-1, 0); / 上 定義挪動方向的定義挪動方向的相對位移相對位移 for (int i = 0; i = size + 1; i+) grid0i = gridsize + 1i = 1; / 頂部和底部 gri

12、di0 = gridisize + 1 = 1; / 左翼和右翼 設(shè)置邊境的圍墻設(shè)置邊境的圍墻6.4 布線問題for (int i = 0; i numOfNbrs; i+) nbr.row = here.row + offseti.row; nbr.col = here.col + offseti.col; if (gridnbr.rownbr.col = 0) / 該方格未標(biāo)志 gridnbr.rownbr.col = gridhere.rowhere.col + 1; if (nbr.row = finish.row) & (nbr.col = finish.col) break

13、; q.put(new Position(nbr.row, nbr.col); 找到目的位置后，可以經(jīng)過回溯方法找到這條最短途徑。6.5 0-1背包問題 算法的思想 首先，要對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)展預(yù)處置，將各物品依其單位分量價(jià)值從大到小進(jìn)展陳列。 在下面描畫的優(yōu)先隊(duì)列分支限界法中，節(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級由已裝袋的物品價(jià)值加上剩下的最大單位分量價(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值和。 算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。假設(shè)該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，那么將它參與到子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時(shí)才將它參與子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時(shí)為問題的

14、最優(yōu)值。6.5 0-1背包問題上界函數(shù)while (i = n & wi = cleft) / n表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間 cleft -= wi; /wi表示i所占空間 b += pi; /pi表示i的價(jià)值 i+; if (i = n) b += pi / wi * cleft; / 裝填剩余容量裝滿背包return b; /b為上界函數(shù)6.5 0-1背包問題 while (i != n + 1) / 非葉結(jié)點(diǎn) double wt = cw + wi; if (wt bestp) bestp = cp + pi; addLiveNode(up,cp + pi,cw + wi

15、,i + 1, enode, true); up = bound(i + 1); if (up = bestp) /檢查右兒子節(jié)點(diǎn) addLiveNode(up,cp,cw,i + 1, enode, false); / 取下一個擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)略分支限界搜索分支限界搜索過程過程6.6 最大團(tuán)問題問題描畫 給定無向圖G=(V，E)。假設(shè)UV，且對恣意u，vU有(u，v)E，那么稱U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是指G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。 以下圖G中，子集1，2是G的大小為2的完全子圖。這個完全子圖不是團(tuán)，由于它被G的更大的完全子圖1，2，5包

16、含。1，2，5是G的最大團(tuán)。1，4，5和2，3，5也是G的最大團(tuán)。 6.6 最大團(tuán)問題2. 上界函數(shù) 用變量cliqueSize表示與該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)；level表示結(jié)點(diǎn)在子集空間樹中所處的層次；用cliqueSize +n-level+1作為頂點(diǎn)數(shù)上界upperSize的值。 在此優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，upperSize實(shí)踐上也是優(yōu)先隊(duì)列中元素的優(yōu)先級。算法總是從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中抽取具有最大upperSize值的元素作為下一個擴(kuò)展元素。 6.6 最大團(tuán)問題3. 算法思想 子集樹的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，對于這個特殊的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，其cliqueSize的值為0。 算法在擴(kuò)展內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，首先

17、調(diào)查其左兒子結(jié)點(diǎn)。在左兒子結(jié)點(diǎn)處，將頂點(diǎn)i參與到當(dāng)前團(tuán)中，并檢查該頂點(diǎn)與當(dāng)前團(tuán)中其他頂點(diǎn)之間能否有邊相連。當(dāng)頂點(diǎn)i與當(dāng)前團(tuán)中一切頂點(diǎn)之間都有邊相連，那么相應(yīng)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，將它參與到子集樹中并插入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列，否那么就不是可行結(jié)點(diǎn)。 接著繼續(xù)調(diào)查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)。當(dāng)upperSizebestn時(shí)，右子樹中能夠含有最優(yōu)解，此時(shí)將右兒子結(jié)點(diǎn)參與到子集樹中并插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。6.6 最大團(tuán)問題 算法的while循環(huán)的終止條件是遇到子集樹中的一個葉結(jié)點(diǎn)(即n+1層結(jié)點(diǎn))成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。 對于子集樹中的葉結(jié)點(diǎn)，有upperSizecliqueSize。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中剩余結(jié)

18、點(diǎn)的upperSize值均不超越當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的upperSize值，從而進(jìn)一步搜索不能夠得到更大的團(tuán)，此時(shí)算法已找到一個最優(yōu)解。 6.7 游覽售貨員問題1. 問題描畫 某售貨員要到假設(shè)干城市去推銷商品，知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過每個城市一次，最后回到駐地的道路，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。 道路是一個帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用權(quán)為正數(shù)。圖的一條周游道路是包括V中的每個頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游道路的費(fèi)用是這條道路上一切邊的費(fèi)用之和。 游覽售貨員問題的解空間可以組織成一棵樹，從樹的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的途徑定義了圖的一條周游道路。游覽售貨員問題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游

19、道路。 6.7 游覽售貨員問題2. 算法描畫 算法開場時(shí)創(chuàng)建一個最小堆，用于表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。堆中每個結(jié)點(diǎn)的子樹費(fèi)用的下界lcost值是優(yōu)先隊(duì)列的優(yōu)先級。接著算法計(jì)算出圖中每個頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄。假設(shè)所給的有向圖中某個頂點(diǎn)沒有出邊，那么該圖不能夠有回路，算法即告終了。假設(shè)每個頂點(diǎn)都有出邊，那么根據(jù)計(jì)算出的minout作算法初始化。 算法的while循環(huán)體完成對陳列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分2種情況進(jìn)展處置：6.7 游覽售貨員問題 1、首先思索s=n-2的情形，此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是陳列樹中某個葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。假設(shè)該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，

20、那么將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否那么舍去該葉結(jié)點(diǎn)。 2、當(dāng)sn-2時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的一切兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的途徑是x0:s，其可行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)xs+1:n-1中選取的頂點(diǎn)xi，且(xs，xi)是所給有向圖G中的一條邊。對于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴(x0:s，xi)的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界lcost。當(dāng)lcost=r+1時(shí)依非減序陳列，S1那么獲得極小值。同理假設(shè)選擇Pk使t2pk依非減序陳列，那么S2獲得極小值。 ,max212SSFfMii這可以作為優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中的限界函數(shù)。 6.8 批處置作業(yè)問題3. 算法描畫 算法的while循環(huán)完成對陳列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的有序擴(kuò)展。在while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中取出具有最小bb值完成時(shí)間和下界的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并加以擴(kuò)展。 首先思索enode.s=n的情形，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)enode是陳列樹中的葉結(jié)點(diǎn)。enode.sf2是相應(yīng)于該葉結(jié)點(diǎn)的完成時(shí)間和。當(dāng)enode.sf2 be