小學(xué)奧數(shù)數(shù)論質(zhì)數(shù)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)(三).題庫(kù)版

1、5-3-3.質(zhì)數(shù)與合數(shù)（三）5-3-3.質(zhì)數(shù)與合數(shù)（三）.題庫(kù)教師版page 5 of 5日tM蚱 知識(shí)框架1 .掌握質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義2 .能夠用特殊的偶質(zhì)數(shù)2與質(zhì)數(shù)5解題3 .能夠利用質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)的特點(diǎn)解題4 .質(zhì)數(shù)、合數(shù)綜合運(yùn)用"?？Ш?知識(shí)點(diǎn)撥一、質(zhì)數(shù)與合數(shù)一個(gè)數(shù)除了 1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)）.一個(gè)數(shù)除了 1和它本身，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù) .要特別記?。?和1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).常用的 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89

2、、97,共計(jì)25個(gè)；除了 2其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；除了2和5,其余的質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是1, 3, 7或9.考點(diǎn)：值得注意的是很多題都會(huì)以質(zhì)數(shù)2的特殊性為考點(diǎn). 除了 2和5,其余質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是1, 3, 7或9.這也是很多題解題思路，需要大家注意.二、判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個(gè)小于p的質(zhì)數(shù)q（均為整數(shù)），使得q能夠整除p,那么p就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于 p的質(zhì)數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計(jì)算量很大，對(duì)于不太大的p,我們可以先找一個(gè)大于且接近p的平方數(shù)K2,再列出所有不大于 K的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除 p,如沒(méi)有能夠除盡的那么p就為質(zhì)數(shù).例如：149很接近144

3、=1212 ,根據(jù)整除的性質(zhì)149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質(zhì)數(shù).目例題精講模塊一、質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合【例1】 寫(xiě)出10個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們個(gè)個(gè)都是合數(shù).【考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合【難度】2星【題型】解答【解析】在尋找質(zhì)數(shù)的過(guò)程中，我們可以看出 100以內(nèi)最多可以寫(xiě)出 7個(gè)連續(xù)的合數(shù)：90, 91, 92, 93, 94, 95, 96.我們把篩選法繼續(xù)運(yùn)用下去，把考查的范圍擴(kuò)大一些就行了.用篩選法可以求得在113與127 之間共有 13 個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123,124, 125, 126.同

4、學(xué)們可以在這里隨意截取10個(gè)即為答案.可見(jiàn)本題的答案不唯一.【答案】114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123200個(gè)連續(xù)的自然數(shù)它們個(gè)個(gè)都是合數(shù).【例2】老師可以把本題拓展為找更多個(gè)連續(xù)的合數(shù)：找【考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合【難度】3星 【題型】解答【解析】如果10個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，第1個(gè)是2的倍數(shù)，第2個(gè)是3的倍數(shù)，第3個(gè)是4的倍數(shù)第10個(gè)是11的倍數(shù)，那么這10個(gè)數(shù)就都是合數(shù).又 m+2, m + 3,，m+ 11是11個(gè)連續(xù)整數(shù)，故只要m是2, 3,，11的公倍數(shù)，這10個(gè)連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù).設(shè) m為2, 3, 4,，11這10 個(gè)數(shù)的最

5、小公倍數(shù). m+2, m+3, m+4,，m+11分別是2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，4的倍數(shù) 11的倍數(shù)，因此10個(gè)數(shù)都是合數(shù).所以我們可以找出2, 3, 411的最小公倍數(shù)27720,分別加上2,3, 4-11,得出十個(gè)連續(xù)自然數(shù) 27722, 27723, 2772427731 ,他們分別是 2, 3, 411的倍數(shù), 均為合數(shù).說(shuō)明：我們還可以寫(xiě)出 11!+2,11!+3,11!+4|11!+11 （其中n! = 1父2m 3M父n）這10個(gè)連續(xù)合數(shù)來(lái).同樣，（m+1）!+2,（m+1）!+3, |,（m+1）!+m+1是m個(gè)連續(xù)的合數(shù).那么200個(gè)連續(xù)的自然數(shù)可以是：201! 2,201! 3

6、,川,201! 201201! 2,201! 3,川,201! 201例3四個(gè)質(zhì)數(shù)2、3、5、7的乘積為,經(jīng)驗(yàn)證200到220之間僅有一個(gè)質(zhì)數(shù)，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)質(zhì)數(shù) 是?！究键c(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2009年，學(xué)而思杯，6年級(jí)【解析】四個(gè)質(zhì)數(shù)乘積2M3M5M7 = 210; 200到220的質(zhì)數(shù)，因?yàn)?10= 2父3M5M7,所以210±2 , 210±3,210±4, 210±5, 210±6, 210±7, 210±8, 210±9 , 210±10者B是合數(shù)，所以只需要判斷 210

7、±1中誰(shuí)是質(zhì)數(shù)即可，209和211中211是質(zhì)數(shù)。【答案】積為210,質(zhì)數(shù)是211【例4有人說(shuō)：W51 7個(gè)連續(xù)整數(shù)中一定有質(zhì)數(shù).”請(qǐng)你舉一個(gè)例子，說(shuō)明這句話是錯(cuò)的.【考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】例如連續(xù)的7個(gè)整數(shù)：842、843、844、845、846、847、848分別能被2、3、4、5、6、7、8整除,就是說(shuō)它們都不是質(zhì)數(shù).有些同學(xué)可能會(huì)說(shuō)這是怎么找出來(lái)的，翻質(zhì)數(shù)表還是，我們注意到(n+1)!+2, (n+1)!+3, (n+1)!+4 ,，(n+1)!+( n+1)這 n 個(gè)數(shù)分別能被 2、3、4、(n+1)整除，它們是連續(xù)的n個(gè)合數(shù).其中n!

8、表示從1 一直乘到n的積，即1X2X3X-nx例5如果一個(gè)數(shù)不能表示為三個(gè)不同合數(shù)的和，那么我們稱這樣的數(shù)為智康數(shù)，那么最大的智康數(shù)是 幾？【考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合【難度】3星【題型】解答【解析】首先我們可以分析出大多數(shù)自然數(shù)都是智康數(shù)，所以核心的思想是找到智康數(shù)與其他自然數(shù)的分界線”。我們知道最小的三個(gè)不同合數(shù)是4,6,8,它們的和是18,則比18小的數(shù)一定都是智康數(shù)，而比18大的數(shù)中，我們可以分為與18的差是 奇數(shù)”或者是 偶數(shù)”。如果與18的差是偶數(shù)，那么這類自然數(shù)一定不是智康數(shù)，可以寫(xiě)作4+6+(8+2n),如果與18的差是一個(gè)奇數(shù)，那么可以寫(xiě)作4+(6+2n)+(8+1) 也不是一個(gè)智康

9、數(shù)，所以最大的智康數(shù)為17。【答案】17【例6】 將八個(gè)不同的合數(shù)填入下面的括號(hào)中，如果要求相加的兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，那么A最小是幾？A=()+()=() + ()=()+() = ()+()【考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合【難度】3星【題型】填空【解析】首先列出前幾個(gè)合數(shù) 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28,因?yàn)橄嗉拥暮蠑?shù)互質(zhì)，所以不能同時(shí)為偶數(shù)，要想 A盡量小，這兩個(gè)數(shù)也不能都同時(shí)為奇數(shù)，因?yàn)榻?jīng)試驗(yàn)得 A=4+25=8+21=9+20=14+15=29 ,奇合數(shù)比較少，找出8個(gè)來(lái)必然很大。所以應(yīng)該是一奇一偶,

10、即A的最小值為29。大部分的題考的都是質(zhì)數(shù)，此題考合數(shù)，重在強(qiáng)化合數(shù)以及互質(zhì)的概念?！敬鸢浮緼的最小值為29【例7】 有些自然數(shù)能夠?qū)懗梢粋€(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)之和的形式，并且在不計(jì)加數(shù)順序的情況下，這樣的表 示方法至少有13種。那么所有這樣的自然數(shù)中最小的一個(gè)是多少.【考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合【難度】3星【題型】解答【解析】根據(jù)題意在不計(jì)加數(shù)順序的情況下一個(gè)自然數(shù)能有13種表示成一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)和的形式，說(shuō)明這個(gè)自然數(shù)一定比從 2開(kāi)始的第13個(gè)質(zhì)數(shù)要大。從2開(kāi)始數(shù)的13個(gè)質(zhì)數(shù)分別是：2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41。那么這個(gè)數(shù)一定要比 41大，

11、為了滿足這個(gè)自然數(shù)能夠分別寫(xiě)成上面質(zhì)數(shù)與另一個(gè)合數(shù)的和的形式，所求自然數(shù)只要是個(gè)奇數(shù)即可，這樣這個(gè)奇數(shù)與從3開(kāi)始的質(zhì)數(shù)的差只要都是一個(gè)大于2的偶數(shù)即可滿足條件。答案為 47【答案】47【例8】 求1-100中不能表示成兩個(gè)合數(shù)的乘積再加一個(gè)合數(shù)的最大數(shù)是多少?【考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合【難度】4星 【題型】解答【解析】考慮最小的合數(shù)是4,先把表示方法簡(jiǎn)化為4 M合數(shù)+合數(shù)而合數(shù)最簡(jiǎn)單的表現(xiàn)形式就是大于等于的偶數(shù)因此該表示方法進(jìn)一步表示為4父(2 xn)+合數(shù)即8n +合數(shù)(其中n> 1即可)當(dāng)該數(shù)被8整除時(shí)，該數(shù)可表示為4M(2n)+8 , n>1,所以大于等于24的8的倍數(shù)都可表示當(dāng)該

12、數(shù)被8除余1時(shí)，該數(shù)可表示為 4x(2n) +9, n>1,所以大于等于25的被8除余1都可表示當(dāng)該數(shù)被8除余2時(shí)，該數(shù)可表示為 4x(2n)+10, n>1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示當(dāng)該數(shù)被8除余3時(shí)，該數(shù)可表示為 4 M(2n) +27, n>1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示當(dāng)該數(shù)被8除余4時(shí)，該數(shù)可表示為 4x(2n)十4,所以大于等于 20的被8除余4的都可表示當(dāng)該數(shù)被8除余5時(shí)，該數(shù)可表示為 4 M(2n) +21,所以大于等于37的被8除余5的都可表示當(dāng)該數(shù)被8除余6時(shí)，該數(shù)可表示為 4 M(2n) +6,所以大于等于 22的被8除余6的都

13、可表示當(dāng)該數(shù)被8除余7時(shí)，該數(shù)可表示為 4x(2n)+15,所以大于等于31的被8除余7的都可表示綜上所述，不能表示的最大的數(shù)是43-8=35經(jīng)檢驗(yàn)，35的確無(wú)論如何也不能表示成合數(shù)寸數(shù)十合數(shù)的形式，因此我們所求的最大的數(shù)就是35?！敬鸢浮?5模塊二、互質(zhì)【例9】 將六個(gè)自然數(shù)14, 20, 33, 117, 143, 175分組，如果要求每組中的任意兩個(gè)數(shù)都互質(zhì)，則至少需 要將這些數(shù)分成組?！究键c(diǎn)】互質(zhì)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，第十三屆，華杯賽，決賽，第5題，10分【解析】先將所有數(shù)都分解質(zhì)因數(shù)得：14=2 X720=2 X2 >533=3 M1117=3 MM31

14、43=11 M3175=5 >5X7注意到33, 117, 143兩兩都不互質(zhì)，所以至少應(yīng)該分成3組，同樣14, 20, 175也必須分為3組，互相配合就行?！敬鸢浮?組【例10】把26, 33, 34, 35, 63, 85, 91, 143分成若干組，要求每組中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1,那么至少要分幾組.【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】解答【解析】要保證每組中的任意 2個(gè)數(shù)均互質(zhì)，需要每組中的每個(gè)數(shù)字都有獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)才能實(shí)現(xiàn)?？梢詫?duì)以上每個(gè)數(shù)字進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)，容易得出最少分3組.【答案】3【例11】把40, 44, 45, 63, 65, 78, 99, 105這八個(gè)數(shù)平分成兩組，使每組四個(gè)數(shù)的乘積相等?！究键c(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星 【題型】解答【解析】40=23 x5,44 =2葭11,45=5父32,63 =7x32,65 = 5x13,78 = 2x3x13 ,99 = 32黑11,105=3x5x7,要使每組四個(gè)數(shù)的乘積相等，需要每組含有相同的質(zhì)因數(shù)，看質(zhì)因數(shù)2,第一組含有40,第二組含有 44, 78,再看11,13,第一組應(yīng)有 40, 99, 65,再看5第二組應(yīng)有44, 78, 45, 105, 最后看7,第一組應(yīng)有40, 99, 65, 63.【答案】40, 99, 65, 63【例12已知三個(gè)合數(shù) A, B, C兩兩互質(zhì)