動能定理ppt課件

1、13-213-113-3 動能定理動能定理13-4 權(quán)利場權(quán)利場勢能勢能機械能守恒定理機械能守恒定理動能動能力的功力的功13-1 動 能 即：質(zhì)點的質(zhì)量與其速度平方乘積的一半稱為質(zhì)點的動能。 質(zhì)點系的動能等于系統(tǒng)內(nèi)一切質(zhì)點動能的總和，用符號 T 表示，那么有國際單位制中，動能的常用單位是國際單位制中，動能的常用單位是 kgm2/s2 kgm2/s2，即，即 J J 。222121iiiivmvmT221mvT 動能是物體機械運動的一種度量，是一非負(fù)的標(biāo)量，只動能是物體機械運動的一種度量，是一非負(fù)的標(biāo)量，只取決于各質(zhì)點速度的大小，而與方向無關(guān)。取決于各質(zhì)點速度的大小，而與方向無關(guān)。二、質(zhì)點系的動

2、能二、質(zhì)點系的動能一、質(zhì)點的動能1. 1. 平動剛體的動能平動剛體的動能即，平動剛體的動能，等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心速度平方乘積的一半。即，平動剛體的動能，等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心速度平方乘積的一半。22221221CiCCivmmvvmT 質(zhì)點系的動能質(zhì)點系的動能222121iiiivmvmT三、幾種剛體運動的動能三、幾種剛體運動的動能2. 2. 定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能可見，定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能，等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角速度平可見，定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能，等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角速度平方乘積的一半方乘積的一半. .221zJT 2ii22ii2iirmrmvmT2)(2121OO

3、eA，B兩輪質(zhì)量一樣，以一樣的角速度兩輪質(zhì)量一樣，以一樣的角速度繞圓心繞圓心O轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。CABA輪為勻質(zhì)圓盤、輪為勻質(zhì)圓盤、B輪質(zhì)心在輪質(zhì)心在C點。兩輪動能能否一樣？點。兩輪動能能否一樣？2CCPrmJJ221iivmTPJ221 vivCrcriP 2)(21Piirm2221Piirm根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理有根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理有平面運動剛體的動能平面運動剛體的動能, ,等于它以質(zhì)心速度作平動等于它以質(zhì)心速度作平動時的動能與相對于質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動時的動能之和。時的動能與相對于質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動時的動能之和。此結(jié)論能否適用于剛體的恣意運動？此結(jié)論能否適用于剛體的恣意運動？3. 3. 平面運動剛體的

4、動能平面運動剛體的動能222121CCJvmT 以質(zhì)點系的質(zhì)心以質(zhì)點系的質(zhì)心 C 為原點為原點,取平動坐標(biāo)取平動坐標(biāo)系系 Cx y z ,它以質(zhì)心的速度它以質(zhì)心的速度 vC 運動。運動。2)()(rriCiCvvvvim 故得質(zhì)點系在絕對運動中的動能故得質(zhì)點系在絕對運動中的動能四、柯尼西定理四、柯尼西定理222iiiiimvmTvv rrr22iiiiCiCCimmmvvvvvvOAvixyzvCzyxCvCvirrCrirvi = vc + vir 上式右端第一項上式右端第一項即，質(zhì)點系在絕對運動中的動能即，質(zhì)點系在絕對運動中的動能, ,等于它隨質(zhì)心一同平動時的動能等于它隨質(zhì)心一同平動時的動

5、能, ,加上它加上它在以質(zhì)心速度做平動的坐標(biāo)系中相對運動的動能。這就是柯尼西定理。在以質(zhì)心速度做平動的坐標(biāo)系中相對運動的動能。這就是柯尼西定理。 r22TvmTCrrr22iiiiCiCCimmmTvvvvvv第三項等于第三項等于 mivir2/2 = Tr mivir2/2 = Tr 是質(zhì)點系在相對運動中所具有的動能。記為是質(zhì)點系在相對運動中所具有的動能。記為TrTr2221)(212CCiimmmvvvvCC第二項第二項0)(21)(212rrrCCCiiiCimmmvvvvvv是質(zhì)點系隨質(zhì)心一同平動時的動能是質(zhì)點系隨質(zhì)心一同平動時的動能. .所以質(zhì)點系的動能所以質(zhì)點系的動能勻質(zhì)桿,m,

6、L, 計算剛體的動量、動量矩、動能計算剛體的動量、動量矩、動能OCm ,R , ,勻質(zhì)圓盤CM,R,勻質(zhì)圓輪,純滾動OCmRmvpccccmRvmRJL21212222432121cccmvJmvT 系統(tǒng)如下圖，輪系統(tǒng)如下圖，輪的質(zhì)量為的質(zhì)量為m1，純滾動，純滾動，AO桿的質(zhì)量為桿的質(zhì)量為 m ，角速，角速度為度為 ，求系統(tǒng)的動能。，求系統(tǒng)的動能。212122121AAJvmT21TTT212121122112)(21(21)(21rrrrmrrmT22112)(43rrmT1211rrr )(21rrvA 練習(xí)練習(xí)題題C是輪是輪上的點，上的點，JC是繞是繞C點的轉(zhuǎn)動慣量，點的轉(zhuǎn)動慣量， 能否

7、成立？能否成立？2112112112112321rmrmrmrmJJAC21221CJT 22211)(61rrmT知滑塊知滑塊A的質(zhì)量為的質(zhì)量為 m1，質(zhì)點，質(zhì)點B的質(zhì)量為的質(zhì)量為m2 , AB桿的長桿的長度為度為 l、不計質(zhì)量，以角速度、不計質(zhì)量，以角速度AB繞繞 A點轉(zhuǎn)動，滑塊點轉(zhuǎn)動，滑塊的速度為的速度為vA。求系統(tǒng)的動能。求系統(tǒng)的動能。滑塊滑塊A的動能的動能質(zhì)點質(zhì)點B B的動能的動能22221BvmT ABBAlv cosBA xABvl sinBA yABvl2222221cos)(21ABABAAlmlvmvmmTBAABvvv21121AvmT 解：解：m1m2BlAB 知滑塊知

8、滑塊A的質(zhì)量為的質(zhì)量為 m1；勻質(zhì)桿；勻質(zhì)桿AB的長度的長度為為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m2，以角，以角速度速度AB繞繞 A點轉(zhuǎn)動。點轉(zhuǎn)動。圓盤圓盤B的質(zhì)量為的質(zhì)量為m3 , 半半徑為徑為r，與桿固連；滑，與桿固連；滑塊的速度為塊的速度為vA，求系統(tǒng)，求系統(tǒng)的動能。的動能。m1Oxxym2BlyABCr坦克或遷延機履帶單位長度質(zhì)量為坦克或遷延機履帶單位長度質(zhì)量為 ，輪的半徑為，輪的半徑為r，輪，輪軸之間的間隔為軸之間的間隔為d，履帶前進(jìn)的速度為，履帶前進(jìn)的速度為v0 。求：全部履帶。求：全部履帶的總動能。的總動能。v0d 解：在解：在C1C2桿上建立桿上建立動系動系C1xy。 牽連運動為程度平移，牽

9、連速度為v0； 相對運動為繞在兩個作定軸轉(zhuǎn)動圓輪上履帶的運動。圓輪的角速度為 v0/r ,履帶上各點的相對速度均為v0 。v0 xy 解：運用柯希尼定理，全部履帶的總動能為解：運用柯希尼定理，全部履帶的總動能為reTTT2020)2(2d21)2(2d21vrvr)(d220rvv0dxyv013-2 力 的 功一、功的概念一、功的概念在一無限小位移中力所做的功稱為元功在一無限小位移中力所做的功稱為元功力在一段路程中對物力在一段路程中對物體作用的累積效果。體作用的累積效果。cosWFdsddddxyzFF iFjF krx iyjzkdWFrdddxyzWFxFyF z221112dMMMMW

10、WF r OA1AFxyzA2vr+drrdsdr21)(d21zzGhzzGzGW重力在曲線路程重力在曲線路程 A1A2 上的功為上的功為2重力的功與運動途徑無關(guān)。1重力的功等于重力與重心高度降的乘積。3重心下降，重力作正功；否那么，重力做負(fù)功。二、 幾種常見力的功1 1 重力的功重力的功OA1(x1,y1,z1)AGxyzA2(x2,y2,z2)對于質(zhì)點系)(C2C112zzmgW彈性力彈性力 F 在曲線路程在曲線路程 A1A2 中的功中的功 )(2222112kW(2)彈性力的功與運動途徑無關(guān)。(1)彈性力的功，等于彈簧初變形的平方和末變形的平方之差與彈簧剛度系數(shù)乘積的一半。(3)彈簧的

11、變形量減小彈性力作正功；否那么，做負(fù)功。OA1drA2r1rr2FA2 2、 彈性力的功彈性力的功0:()Fk rlr r彈簧力2211120()MMMMWdk r ldrrF rr三、 作用于質(zhì)點系上的力系的功1 1、 平動剛體上力的功平動剛體上力的功OdrxrFAvyzCdrC vC W = F v dt = F v C dt W = F dr = F drC或或2 2、 定軸轉(zhuǎn)動剛體上外力的功定軸轉(zhuǎn)動剛體上外力的功在剛體由角在剛體由角 1 轉(zhuǎn)到角轉(zhuǎn)到角 2 的過程中，力的過程中，力 F 的總功為的總功為特別是，假設(shè)力矩是常量，那么力在上述過程中的總功為特別是，假設(shè)力矩是常量，那么力在上述

12、過程中的總功為W = mz(F) (2 1) d)(21FmWz作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力的功，等于該力對轉(zhuǎn)軸的矩與剛體微小轉(zhuǎn)角的乘積的積分。OkdrxrFAvdyz rdFdsFW 3 3、 平面運動剛體上力的功平面運動剛體上力的功 設(shè)一剛體在力設(shè)一剛體在力 F 作用下作平面運動，其質(zhì)心在作用下作平面運動，其質(zhì)心在 C 點，速度是點，速度是 vC ，剛，剛體上點體上點 A 的速度是的速度是 vA , 那么力那么力 F 的元功的元功2). 2). 總總 功功1). 1). 元元 功功 W = F vA dt = F v C + vAC dt W = F dr C + mC ( F ) d rFA

13、CvCvCvACvAd = F = F v C dt + Fv C dt + F vAC dtvAC dt = F = F dr C + Fdr C + F ( ( r ) dt r ) dt = F = F dr C + mC ( F ) ddr C + mC ( F ) d 作用于平面運動剛體上的力的功，等于該力在剛體隨質(zhì)心平動中的功與力對質(zhì)心的矩在剛體轉(zhuǎn)動中的功之和。 半徑為半徑為2r 2r 的圓輪在程度面的圓輪在程度面上作純滾動如圖示，輪軸上繞有上作純滾動如圖示，輪軸上繞有軟繩，輪軸半徑為軟繩，輪軸半徑為r r，繩上作用常，繩上作用常值程度拉力值程度拉力F F，求輪心，求輪心C C運動

14、運動x x 間間隔時，力隔時，力F F 所作的功。所作的功。 rxFrFx2W = F x mC ( F )解：Fx21Ox2rrC約束力元功之和等于零的約束稱為理想約束。4 4、理想約束約束反力的功、理想約束約束反力的功1 1光滑固定面光滑固定面2 2光滑鉸鏈或軸承約束光滑鉸鏈或軸承約束3 3剛性銜接的約束剛性銜接的約束4 4聯(lián)接兩個剛體的鉸鏈聯(lián)接兩個剛體的鉸鏈5 5柔性而不可伸長的繩索約束柔性而不可伸長的繩索約束4). 圓輪沿支承面滾動時，摩擦力圓輪沿支承面滾動時，摩擦力(約束力約束力)的功。的功。 由于Cv 為速度瞬心，其速度為零。所以作用在Cv點的靜摩擦力F 所作元功為tdvF frd

15、FWCvNCvF0tdvFWCv1圓輪連滾帶滑運動時，動摩擦力圓輪連滾帶滑運動時，動摩擦力F 所作元所作元功為功為2圓輪純滾動時，這時出現(xiàn)靜摩擦力圓輪純滾動時，這時出現(xiàn)靜摩擦力F 。 這里這里 d(A1A2) d(A1A2) 代表兩質(zhì)點間間隔代表兩質(zhì)點間間隔 A2A1 A2A1 的變化量，它和參考系的選擇無關(guān)，的變化量，它和參考系的選擇無關(guān)，在普通質(zhì)點系中，兩質(zhì)點間間隔是可變的，在普通質(zhì)點系中，兩質(zhì)點間間隔是可變的，因此，可蛻變點系內(nèi)力所做功的總和不一定因此，可蛻變點系內(nèi)力所做功的總和不一定等于零。等于零。 但是但是,剛體內(nèi)恣意兩點間的間隔一直堅持不變，所以剛體剛體內(nèi)恣意兩點間的間隔一直堅持不

16、變，所以剛體內(nèi)力所做功的總和恒等于零。內(nèi)力所做功的總和恒等于零。 W = F1d(A1A2)dr1dr2r1A1OA2F2F1r15 5、 質(zhì)點系和剛體內(nèi)力的功質(zhì)點系和剛體內(nèi)力的功 設(shè)質(zhì)點系內(nèi)有兩質(zhì)點設(shè)質(zhì)點系內(nèi)有兩質(zhì)點 A1 和和 A2 ,相相 互間作用著內(nèi)力互間作用著內(nèi)力 F1 和和 F2 = F1 。兩質(zhì)點的元位移分別是兩質(zhì)點的元位移分別是 dr1 和和 dr2 , 可得內(nèi)力可得內(nèi)力 F1 和和 F2 的元功之和的元功之和 有相對滑動的兩個物體之間的摩擦力作負(fù)功。有相對滑動的兩個物體之間的摩擦力作負(fù)功。 彈性構(gòu)件橫截面上的一切內(nèi)力分量作負(fù)功。彈性構(gòu)件橫截面上的一切內(nèi)力分量作負(fù)功。a圖中輪子

17、在圖中輪子在FT作用下純滾動作用下純滾動S間隔；間隔；b圖中輪子由細(xì)繩纏繞下滑圖中輪子由細(xì)繩纏繞下滑S間隔。間隔。求：求： FT 做的功。做的功。方法方法1：根據(jù)元功的定義：根據(jù)元功的定義圖圖a：圖圖b：方法方法2：根據(jù)力系等效，將：根據(jù)力系等效，將FT平移至輪心，平移至輪心，附加一力偶附加一力偶圖圖a：圖圖b：根本概念根本概念功功dtvFWAT0A0TFWCAv2sFWTFT2rsrFsFWTTFT0-rsrFsFWTTFT根本概念根本概念功功圓輪向前滑滾，摩擦力參與做功，此種情況下動能定理與動量圓輪向前滑滾，摩擦力參與做功，此種情況下動能定理與動量定理、動量矩定理可互換。定理、動量矩定理可

18、互換。圓輪受力如圖圓輪受力如圖mgfFsrvCWTT0根據(jù)根據(jù)) (212122ssFFsmvJsCC兩邊對兩邊對t求導(dǎo)求導(dǎo))(rvFFvamvJCsCCCC比較系數(shù)比較系數(shù)sCsCFFmarFJ13-3 動 能 定 理 動能定理表達(dá)了質(zhì)點或質(zhì)點系的動能變化和作用力的功之間的動能定理表達(dá)了質(zhì)點或質(zhì)點系的動能變化和作用力的功之間的數(shù)量關(guān)系。數(shù)量關(guān)系。 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點的質(zhì)點 A ，在力作用下，在力作用下 F 沿曲線沿曲線由由 A1 運動到運動到 A2 ，它的速度由，它的速度由 v1 變?yōu)樽優(yōu)?v2 。兩邊點乘速度兩邊點乘速度 v , v ,得得mv dv = F vdtFvatmmd

19、d一、質(zhì)點動能定理一、質(zhì)點動能定理1. 1. 微分方式微分方式由牛頓第二定理由牛頓第二定理tmddFv 1. 1. 微分方式微分方式即，質(zhì)點動能的微分等于作用于質(zhì)點上的力的元功，這就是質(zhì)點動能定理的即，質(zhì)點動能的微分等于作用于質(zhì)點上的力的元功，這就是質(zhì)點動能定理的微分方式。微分方式。將上式沿路程將上式沿路程 A1A2 積分，得積分，得上式右端就是作用力的元功，左端可改寫成上式右端就是作用力的元功，左端可改寫成 mv mv dv = md(v dv = md(v v)/2 = v)/2 = d(mv2/2)d(mv2/2)，從而得，從而得W)mv21d(2mv dv = F dr式中式中 W 表

20、示力表示力 F 在路程在路程 A1A2 中的功。中的功?？梢姡|(zhì)點動能在某一路程中的改動量，等于作用于質(zhì)點的各力在該路程可見，質(zhì)點動能在某一路程中的改動量，等于作用于質(zhì)點的各力在該路程中所做的功。這就是質(zhì)點動能定理的積分方式。中所做的功。這就是質(zhì)點動能定理的積分方式。Wmvmv212221212. 2. 積分方式積分方式即，質(zhì)點系動能的微分等于作用于質(zhì)點系各力的元功的代數(shù)和，這就是即，質(zhì)點系動能的微分等于作用于質(zhì)點系各力的元功的代數(shù)和，這就是質(zhì)點系動能定理的微分方式。質(zhì)點系動能定理的微分方式。dT= W i對于質(zhì)點系中的每個質(zhì)點，都有類似上式，相加得對于質(zhì)點系中的每個質(zhì)點，都有類似上式，相加得

21、因因故上式可寫成故上式可寫成i2iiW)2vmd(Tvmvmiiiid)2(d)2d(22W)mv21(d2由質(zhì)點動能定理的微分方式由質(zhì)點動能定理的微分方式1.1.微分方式微分方式二、質(zhì)點系動能定理式中式中 T1 ， T2 分別代表某一運動過程中開場和終了時質(zhì)點系的動能。上分別代表某一運動過程中開場和終了時質(zhì)點系的動能。上式闡明質(zhì)點系的動能在某一路程中的改動量式闡明質(zhì)點系的動能在某一路程中的改動量,等于作用于質(zhì)點系的各力在等于作用于質(zhì)點系的各力在該路程中的功的代數(shù)和。這就是質(zhì)點系動能定理的積分方式。該路程中的功的代數(shù)和。這就是質(zhì)點系動能定理的積分方式。T2T1 = Wi將上式積分，得將上式積分

22、，得由微分方式由微分方式 dT= Wi2.2.積分方式積分方式 一自動卸料車重一自動卸料車重W1 , 裝好料后重裝好料后重W2 , 自傾斜自傾斜30的斜面上的斜面上無初速地下滑無初速地下滑, 碰著固定的彈簧碰著固定的彈簧, 并緊縮彈簧并緊縮彈簧, 當(dāng)料車到達(dá)最當(dāng)料車到達(dá)最低點低點(彈簧產(chǎn)生最大緊縮變形彈簧產(chǎn)生最大緊縮變形)時自動卸料時自動卸料. 然后然后, 依托彈簧的依托彈簧的彈力彈力, 把空車彈回到原來的高度把空車彈回到原來的高度. 設(shè)一切阻力等于斜面對料車設(shè)一切阻力等于斜面對料車法向支承力的法向支承力的20% , 問問W2 與與W1的比值應(yīng)為多少的比值應(yīng)為多少?hD 討論題討論題(1)(1

23、)裝料車從最高位置到最低位置的過程中，用動能定理。裝料車從最高位置到最低位置的過程中，用動能定理。(2)(2)空車從最低位置到最高位置的過程中，再用動能定理。空車從最低位置到最高位置的過程中，再用動能定理。hD 方法二：方法二： 裝料車從最高點下滑裝料車從最高點下滑, , 又回到最高點又回到最高點, , 對這一往返過程對這一往返過程運用動能定理。運用動能定理。 空車上滑時阻力做功。空車上滑時阻力做功。 裝料車下滑時阻力做功。裝料車下滑時阻力做功。 下滑時，料的重力做功。下滑時，料的重力做功。 在往返過程中，空車重力在往返過程中，空車重力W1做功也為做功也為0。 在往返過程中，彈簧緊縮后又恢復(fù)到

24、原長，故彈性力做功為在往返過程中，彈簧緊縮后又恢復(fù)到原長，故彈性力做功為0。 始、末位置動能：始、末位置動能： T1=T2=0 T1=T2=0hD 例題 13-4 運送重物用的卷揚機如圖 (a) 所示。知鼓輪重 W1 ,半徑是 r,對轉(zhuǎn)軸 O 的回轉(zhuǎn)半徑是 。在鼓輪上作用著常值轉(zhuǎn)矩 MO ,使重 W2 的物體 A 沿傾角為 的直線軌道向上運動。知物體 A 與斜面間的動摩擦系數(shù)是 f 。假設(shè)系統(tǒng)從靜止開場運動，繩的傾斜段與斜面平行，繩的質(zhì)量和軸承 O 的摩擦都忽略不計。試求物體 A 沿斜面上升間隔 s 時物體 A的速度和加速度。(a)A2AA1O 用用v 表示這時物體的速度大小，那么鼓輪的表示這

25、時物體的速度大小，那么鼓輪的角速度大小角速度大小 =v/r，從而有，從而有 系統(tǒng)從靜止開場運動的，初動能系統(tǒng)從靜止開場運動的，初動能 T1 = 0 T1 = 0。在重物上升的單向路程為在重物上升的單向路程為 s s 時，系統(tǒng)的動能時，系統(tǒng)的動能 T2 T2 可計算如下?？捎嬎闳缦?。 取鼓輪、繩索和物體取鼓輪、繩索和物體 A 組成的系統(tǒng)為研討對象。組成的系統(tǒng)為研討對象。解：解：22222121vgWJTO2222121)(21vgWrvgW)(2 21222WWrgv(b)OM0W2FNFFOxFOyW1a根據(jù)根據(jù)T2 T1=W，有，有在物體在物體 A 上升上升 s 路程中，作用在系統(tǒng)上的力的總

26、功為路程中，作用在系統(tǒng)上的力的總功為sFsWMWOsin2sfWsWrsMOcossin22)(2 212222WWrgvTT1 = 0 ,(b)OM0W2FNFFOxFOyW1asfWWrMWWrgvOcossin 022221222把式把式(1)中的中的s看作變值，并求兩端對時間看作變值，并求兩端對時間 t 的導(dǎo)數(shù)，有的導(dǎo)數(shù)，有思索到在直線運動中思索到在直線運動中 dv / dt = a，ds / dt = v，故，故物體物體 A 的加速度的加速度tsfWWrMWWrtvgvOdd)cossin()(dd22222122sfWWrMWWrgvOcossin 022221222rgrWWfW

27、MaO22212 cos sinOM0W2FNFFOxFOyW1a(1)根號內(nèi)必需為正值，故當(dāng)滿足根號內(nèi)必需為正值，故當(dāng)滿足MOW2r(sin+f cos )時，卷揚機才干開場任務(wù)。時，卷揚機才干開場任務(wù)。OM0AAa如何求繩子拉力和物體如何求繩子拉力和物體A與斜面間的摩擦力？與斜面間的摩擦力？m2a=FT Fs mgsin0= FN m2g cosOM0PArAs 假設(shè)將重假設(shè)將重 W2 W2 的物體的物體 A A 改動成半徑為改動成半徑為rArA的勻質(zhì)滾子，試求滾子的勻質(zhì)滾子，試求滾子A A 沿沿斜面上升間隔斜面上升間隔 s s 時物體時物體 A A的速度和加速度。的速度和加速度。OM0A

28、PvAaA22222212121AAAOJvgWJT,rvAAAArv動能動能: :sWMWOsin2力的功力的功: :rsAAPOM0vAsBOM0PArAs 假設(shè)將重假設(shè)將重 W2 W2 的物體的物體 A A 改動成半徑為改動成半徑為rArA的勻質(zhì)滾子，且繩子纏繞在的勻質(zhì)滾子，且繩子纏繞在滾子上，試求滾子滾子上，試求滾子A A 沿斜面上升間隔沿斜面上升間隔 s s 時物體時物體 A A的速度和加速度。的速度和加速度。22222212121AAAOJvgWJT,2rvAAAArv動能動能: :sWMWOsin2力的功力的功: :rs2 例題 13-5 系統(tǒng)在鉛直平面內(nèi)由兩根一樣的勻質(zhì)細(xì)直桿構(gòu)

29、成， A，B為鉸鏈，D為小滾輪，且AD程度。每根桿的質(zhì)量為 m，長度為 l，當(dāng)仰角1=60 時，系統(tǒng)由靜止釋放。求當(dāng)仰角減到2=30 時，桿AB的角速度，摩擦和小滾輪的質(zhì)量都不計。ABDFE11(a)系統(tǒng)開場是處于靜止，初動能系統(tǒng)開場是處于靜止，初動能 T1=0。)2121(212222BDEEABAJmvJT 取整個系統(tǒng)為研討對象，其中桿取整個系統(tǒng)為研討對象，其中桿AB作定軸轉(zhuǎn)動，作定軸轉(zhuǎn)動，而桿而桿BD 做平面運動。做平面運動。 思索系統(tǒng)由靜止開場運動到思索系統(tǒng)由靜止開場運動到2=30 這個過程。這個過程。解解:而末動能等于而末動能等于 由于由于PB= BD = AB，代入上式，得，代入上

30、式，得AB = BDABAB = PBBD 由圖由圖 (b) 知，桿知，桿BD的速度瞬心在的速度瞬心在P 點，點，BADFEvBvD22BDAB(b)6060P分析點分析點B的速度有的速度有而而將以上結(jié)果代入上式，得將以上結(jié)果代入上式，得vE = PE BD)2121(212222BDEEABAJmvJTAB = BD桿桿BD質(zhì)心質(zhì)心E的速度的速度= PE AB= PB sin (22 ) AB = l sin 60 AB22121,31mlJmlJEA 222127ABmlTBADFEvBvD22226060BDAB(b)PvE從而得桿從而得桿AB在在2=30 時的角速度時的角速度 ( 順鐘

31、向 ) 在運動過程中，只需桿的重力mg做功，所以作用在系統(tǒng)中的力在運動過程中的總功為由由T2 T1=W 得得 )sin2sin2(221llmgW)13(21)30sin60(sinmglmgl)13(21012722mglmlABlgAB7)13(6BADFEvBvD22226060BDAB(b)PvE222127ABmlT如何求當(dāng)仰角減到如何求當(dāng)仰角減到 2=30 時，桿時，桿AB的角加速度？的角加速度？BADFEvBvD90BDAB(b)PvEPB= AB = BD,AB = BDABAB = PBBDvE = PE BD= PE AB由余弦定理由余弦定理 可知可知2cos22)2(22

32、2llllPE由于由于那么那么有有2222)2cos2165(ABmlmlT)sin23(mglW如何求當(dāng)仰角減到如何求當(dāng)仰角減到 2=30 時，桿時，桿AB的角加速度？的角加速度？BADFEvBvD90BDAB(b)PvE2222)2cos2165(ABmlmlT)sin23(mglW由由T2 T1=W 得得 222)2cos2165(ABmlml)sin23(mgl上式兩邊求導(dǎo)上式兩邊求導(dǎo) ，留意，留意 即可得桿即可得桿AB的角加速度。的角加速度。ABABDFE11(a)BAFE22(b) 假設(shè)在假設(shè)在FE之間銜接一根剛度系數(shù)為之間銜接一根剛度系數(shù)為k的程度彈簧，當(dāng)?shù)某潭葟椈?，?dāng)仰角仰角1

33、=60 時為彈簧原長。求當(dāng)仰角減到時為彈簧原長。求當(dāng)仰角減到2=30 時，桿時，桿AB的角速度。的角速度。 例題例題13-6 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m ，半徑為，半徑為r的園柱體在一個半徑為的園柱體在一個半徑為R的大園槽內(nèi)作無滑動的滾動，如下圖。如不計滾動摩阻，的大園槽內(nèi)作無滑動的滾動，如下圖。如不計滾動摩阻，求園柱體圍繞其平衡位置作微小擺動的周期。求園柱體圍繞其平衡位置作微小擺動的周期。 ORACrE 其中其中 。至于角速度。至于角速度可以可以這樣確定：利用無滑動的條件，接觸點這樣確定：利用無滑動的條件，接觸點A為為瞬時速度中心，因此可得到瞬時速度中心，因此可得到 ，或，或者者 。)rR(vCrv

34、CrrRrvC222222121r)rR(J)rR(mTC系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的動能222121CCJmvT解：將這些關(guān)系代入上式，就有將這些關(guān)系代入上式，就有ORACrE2CCmJ將轉(zhuǎn)動慣量用回轉(zhuǎn)半徑表示，將轉(zhuǎn)動慣量用回轉(zhuǎn)半徑表示，上式可化為上式可化為2222)1 ()(21rrRmTCORACdrE222222121r)rR(J)rR(mTCsdsinmg)90cos(sdmgdWirFsdsiWTd2222d)1 ()(21rrRmCsmgdsin由由得得ORACdrEsds2222d )1 ()(21rrRmCsmgdsin)(rRs sin)()1 ()(222rRmgrrRmC那么微小擺

35、動的周期為那么微小擺動的周期為grrRTC)1)(2220122)r)(rR(gC 在微小擺動情況下，可近似地取在微小擺動情況下，可近似地取 。上式。上式可簡化為可簡化為sin其中其中 如以平衡位置為重力勢能的零點，如以平衡位置為重力勢能的零點，那么在任一位置系統(tǒng)的勢能為那么在任一位置系統(tǒng)的勢能為2222)1 ()(21rrRmTC)cos1)(rRmgmgzVCRACrE根據(jù)機械能守恒定律得根據(jù)機械能守恒定律得常數(shù))cos1)()1 ()(212222rRmgrrRmC 此式給出了系統(tǒng)的速度此式給出了系統(tǒng)的速度 隨位置隨位置 的變化規(guī)的變化規(guī)律。律。0sin)()1 ()(222 rRmgr

36、rRmC常數(shù))cos1)()1 ()(212222rRmgrrRmC 為了得到運動微分方程，可將式為了得到運動微分方程，可將式a對時間對時間求導(dǎo)數(shù)得求導(dǎo)數(shù)得那么微小擺動的周期為那么微小擺動的周期為grrRTC)1)(2220122)r)(rR(gC 在微小擺動情況下，可近似地取在微小擺動情況下，可近似地取 。式。式b可簡化為可簡化為sinabRACrE定常流動中的能量方程動能定理在流體中的運用定常流動中的能量方程動能定理在流體中的運用在定常流動流體中任取一段流體，截面分別為1、2，截面面積分別為A1、A2，流體密度：rt： 1-2位置 t+t：1-2位置流入：速度v1，壓強p1流出：速度v2，

37、壓強p2理想流體，內(nèi)摩擦力為零，在t內(nèi)作用于流體的壓力所作的功：1 11222()pWp v Ap v At流體不可緊縮1122v A tv AtV 12()pWppV12()GWg V hh重力功：重力功：222112121()()()2V vvppVg V hh根據(jù)動能定理根據(jù)動能定理221112221122pghvpghv212pghv 常數(shù)穩(wěn)定流體的伯努力方程：在定常流動穩(wěn)定流體中，沿同一流線的單位穩(wěn)定流體的伯努力方程：在定常流動穩(wěn)定流體中，沿同一流線的單位體積流體的動能、重力勢能與該處的壓強之和為常量。體積流體的動能、重力勢能與該處的壓強之和為常量。桶壁有小孔，水從小孔流出的速度？桶

38、壁有小孔，水從小孔流出的速度？20012pghpv2vgh2vgx設(shè)液面高度為設(shè)液面高度為h，調(diào)查離水面為，調(diào)查離水面為x深度處的小孔水流，初速度深度處的小孔水流，初速度為為 ，視為平拋運動，程度射程，視為平拋運動，程度射程4 ()svtx hxmax2hxsh當(dāng)時， 如下圖，盛滿液體的水池側(cè)壁上開有不同高度的小孔，試證明從一半液體高度的小孔里流出的水射程最遠(yuǎn)。13-4 權(quán)利場勢能機械能守恒定理 機械能守恒定理13-4 權(quán)利場.勢能.機械能守恒定理一、權(quán)利場與勢能1.1.力場力場 一物體在某空間內(nèi)都遭到一個大小和方向完全一物體在某空間內(nèi)都遭到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，這部分空間

39、稱為力場。由所在位置確定的力作用，這部分空間稱為力場。2.2.有權(quán)利有權(quán)利力的功只決議于作用點的始末位置，而與運動力的功只決議于作用點的始末位置，而與運動途徑無關(guān)的力統(tǒng)稱為有權(quán)利途徑無關(guān)的力統(tǒng)稱為有權(quán)利( (或保守力或保守力) )。3.3.權(quán)利場權(quán)利場( (或保守力場或保守力場) ) 有權(quán)利構(gòu)成的力場稱為權(quán)利場。有權(quán)利構(gòu)成的力場稱為權(quán)利場。4.4.勢能勢能 為了描畫權(quán)利場對物體作功的才干，引入勢為了描畫權(quán)利場對物體作功的才干，引入勢能的概念，用能的概念，用V V 表示。表示。 在權(quán)利場中任選一點A0 ，作為勢能零點，那么在場中另一點A處的勢能就等于由點A運動到勢能零點A0的過程中,有權(quán)利所做的

40、功W(A A0)。 即有5.5.勢能的計算勢能的計算V = W(AA0) 1. 重力場中的勢能重力場中的勢能GhzzGWVAA)(2)(2 取取 A2點為勢能零點，那么在點為勢能零點，那么在重力場重力場 A 處的勢能為處的勢能為OA1(x1,y1,z1)AGxyzA2(x2,y2,z2)二、幾種常見權(quán)利場的勢能 2. 彈性力場中的勢能 設(shè)彈簧在 A 和A2 位置的變形分別為 和2 ，取 A2點為勢能零點，那么在彈力場 A 處的勢能為)(2222)(2cWVAAOA1drA2r1rr2FA 在普通情況下，質(zhì)點的勢能可以表示成質(zhì)點位置坐標(biāo)在普通情況下，質(zhì)點的勢能可以表示成質(zhì)點位置坐標(biāo)x，y，z的單

41、值延續(xù)函數(shù)，即的單值延續(xù)函數(shù)，即V = V (x , y , z)它稱為勢能函數(shù)。它稱為勢能函數(shù)。的各點確定的每個曲面稱為等勢面；由全部勢能零點構(gòu)成的的各點確定的每個曲面稱為等勢面；由全部勢能零點構(gòu)成的等勢面稱為零勢面。等勢面稱為零勢面。V (x , y , z) = 常量權(quán)利場中，滿足條件權(quán)利場中，滿足條件四、等勢面與零勢面四、等勢面與零勢面三、勢能函數(shù)三、勢能函數(shù) 推行到質(zhì)點系，只需把系內(nèi)一切各質(zhì)點的勢能加在一同就得到質(zhì)點系在權(quán)利場中的勢能。這樣，質(zhì)點系的勢能普通可以表示成質(zhì)點系內(nèi)一切各質(zhì)點的坐標(biāo) x1 , y1 , z1 ; ; xn , yn , zn 的單值延續(xù)函數(shù)，即 V = V(x1 , y1 , z1 ; ; xn , yn , zn )例如，可以證明質(zhì)點系在重力場中的勢能為例如，可以證明質(zhì)點系在重力場中的勢能為V = mig(zi zi0) = mg(zC zC0)T2+V2 = T1+V1 = 常常量量 如質(zhì)點系只在有權(quán)利作用下運動如質(zhì)點系只在有權(quán)利作用下運動, ,那么其動能與勢那么其動能與勢能之和堅持不變。動能與勢能之和稱為機械能之和堅持不變。動能與勢能之和稱為機械( (總總) )能?；蚰堋；虮磉_(dá)為表達(dá)為: :當(dāng)作功的力都是有權(quán)利時當(dāng)作功的力都是有權(quán)利時, ,質(zhì)點系的機械