最小二乘法的多項式擬合(matlab實現(xiàn))

1、用最小二乘法進行多項式擬合(matlab實現(xiàn))西安交通大學徐彬華算法分析：,1,2,3,.,m), 一共m+1個數(shù)據(jù)點，取多項式 P(x),對給定數(shù)據(jù)(X. . (i=0 使ffim2 心工 1p（巧f F=imnM j-0使得函數(shù)P(x)稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，令似的心(工)=£/工=mm其中，aO, a1,a2,an為待求未知數(shù)，n為多項式的最高次幕，由此，該問題化 為求/二/(詢馬尸q的極值問題。由多元函數(shù)求極值的必要條件:C1加 71二j«0 匕0一梟用=。j=0,1，,n得至上j=0,1,n這是一個關(guān)于aO, a1,a2,an的線性方程組，用矩陣表示如下:Z福1

2、QmN巧i0mj0m/=0my* r】i - 0rrlZnz=0mz”r =0Z -r1一Qm2廣f-o散點圖因此，只要給出數(shù)據(jù)點（j）及其個數(shù)m,再給出所要擬合的參數(shù) n,則即 可求出未知數(shù)矩陣（a0, a1,a2,an）試驗題1編制以函數(shù)xk n n為基的多項式最小二乘擬合程序，并用于對 k 0F列數(shù)據(jù)作三次多項式最小二乘擬合（取權(quán)函數(shù)wi=1）xi-1.0-0.50.00.51.01.52.0yi-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552總共有7個數(shù)據(jù)點，令m=6第一步：畫出已知數(shù)據(jù)的的散點圖，確定擬合參數(shù)n;x=-1.0:0.520;y=-4.447,

3、-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552; plot(x,y,'*')xlabel 'x 軸ylabel 'y 軸title '散點圖'hold on321啜0-5-1-0.500.51152x軸5因此將擬合參數(shù)n設(shè)為3.第二步：計算矩陣A=z-0Vi-Om才削5/,a注意到該矩陣為(n+1) *(n+1)矩陣,的關(guān)系為i+j-2,由此可建立循環(huán)來求矩陣的各個元多項式的幕跟行、列坐標( 素，程序如下：m=6;n=3;A=zeros(n+1);for j=1:n+1for i=1:n+1for k=1:m+1A(j

4、,i)=A(j,i)+x(k)A(j+i-2) end end end;正口而再來求矩陣B=B=0 0 0 0;for j=1:n+1 for i=1:m+1B(j)=B(j)+y(i)*x(i)A(j-1) end end第三步：寫出正規(guī)方程，求出a0,a1,an.B=B'a=inv(A)*B;第四步：畫出擬合曲線x=-1.0:0.000120;z=a(1)+a(2)*x+a(3)*xA2+a(4)*xA3;plot(x,z)legend(離散點','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.A2+a(4)*xA3') title('擬合圖')

5、總程序附下：x=-1.0:0.520;y=-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552; plot(x,y,'*')xlabel 'x 軸ylabel 'y 軸title '散點圖'hold onm=6;n=3;A=zeros(n+1);for j=1:n+1for i=1:n+1for k=1:m+1A(j,i)=A(j,i)+x(k)A(j+i-2) endend end;B=0 0 0 0;for j=1:n+1for i=1:m+1B(j)=B(j)+y(i)*x(i)A(j-1)endendB=B'a=inv(A)*B;x=-1.0:0.0001:2.0;z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.A2+a(4)*x.A3;plot(x