(完整word版)三角函數的圖像與性質--知識點與題型歸納解讀(良心出品必屬精品)

1、第四也三圖像與性質10高考明方向1 .能畫出 y = sinx , y = cosx, y = tanx 的圖象， 了解三角函數的周期性.2 .理解正弦函數、余弦函數在0,2兀上的性質（如單調性、最大值和最小值，圖象與x軸的交點等），理解 正切函數/X兀 兀. 在區(qū)間5，5內的單調性.備考知考情三角函數的周期性、單調性、最值等是高考的 熱點，題型既有選擇題、填空題、又有解答題， 難度屬中低檔，如2014課標全國n 14、北京14 等；常與三角恒等變換交匯命題，在考查三角函數性質的同時，又考查三角恒等變換的方法與技 巧，注重考查函數方程、轉化化歸等思想方法 一、知識梳理名師一號P55 知識點二、

2、例題分析：(一)三角函數的定義域和值域例1. (1)名師一號P56對點自測3函數 y = lg(sinx) +、/cosx 2的te義域為解析要使函數有意義必須有rsinx0 ,1 cosx-0, 2(sinx0 ,即1 解得、2,2k 兀 x 兀 + 2kx ,兀兀目+ 2k兀w xW 4 + 2k兀(k 6 Z).兀/.2k%x + 2k 兀,kZ.3 兀函數的定義域為x|2k %x 0,即sinx ncosx,同一坐標系中作出 y= sinx , y=cosx, x 0,2兀的圖象如圖所示.結合圖象及正、余弦函數的周期是 2兀知, 函數的定義域為ix 2k% +wxw2k兀 + 5兀,k

3、6Z44注意：名師一號P56高頻考點例1規(guī)律方 法(1)求三角函數的定義域實質就是解三角不等式 (組).一般可用三角函數的圖象或三角函數線確定 三角不等式的解.例2. (1)名師一號P56對點自測4函數y = 2sin與最小值之和為（A. 2-73 B兀 X 兀 i上乙t=t r /3-3 (0x9)的取大值)_解：00x09,兀 兀 兀 7兀300一萬亨.0 C . -1 D . 1季i冗 兀)33sin iJx-T)1 芋 1”#, 2 , ymax+ y min = 2- 3.注意：名師一號P56高頻考點例1規(guī)律方法2求三角函數的值域的常用方法之一：利用sinx和cosx的值域（圖像）直

4、接求； 例2. （2） 8月月考第17題（1）17.（滿分12分）已知函數2 C.2f(x)=3cos x + 2cosxsin x+ sin x.(I)當xw0,二時，求f(x)的值域;22. 22f (x)= 3cos x 2cosxsin x sin x = 1 2cos x sin 2x=2 cos2x sin 2x二、2( ”2sin 2x .2 cos 2x) 222=/2sin(2x +) + 2 3分4 5 二 x0,一時，2x+一,一,4分2_ 44 42L 八sin(2x + )乏,1, 5分4 _2f(x)w1,V2+2, 即f (x)的值域為1,五+ 2. 注意：名師一

5、號P56高頻考點例1規(guī)律方法2求三角函數的值域的常用方法之二：化為求y = Asin(ox +中)+b的值域如： y=asin x bcosx y = Asin( x)合一變換 y = a sin2 x bsin xcosx ccos2 x y = d sin 2 x e cos2 x f y = A sin(2 x ) b注意弦函數的有界性!變式：名師一號P58特色專題典例1一、)，,兀一，一右函數 f(x) = asinx bcosx 在 x = 可處有取3小值2,則常數a, b的值是()A. a=1, b=3 B . a=1, b=近C. a = m, b= - 1 D. a= 一b=

6、1解：函數f(x) = asinx bcosx的最小值為一02 a + b2.f(x) =a2+ b2sin(x j )a 一 b 、其中 cos 3 sinVaTb2:-ya2+b2 =-2,則 小 1解得1fH ,!= 2a-2b=-2，a= 3,b=1.【名師點評】解答本題的兩個關鍵：引進輔助角，將原式化為三角函數的基本 形式；利用正弦函數取最值的方法建立方程組.例2. (3)名師一號P56高頻考點 例1(2)當 x6 小，函數 y=3sinx 2cos2x 的66 1最小值是,最大值是.1 sinx 6 I2,又 y = 3 sinx 2cos2x = 3 sinx 2(1 sin 2

7、x)=2 sinx 7 2+工 A O1 口17一當 sinx = 4時，ymin = 8 ；f1廿j當 sinx = 2或 sinx = 1 時，ymax= 2.注意：名師一號P56高頻考點例1規(guī)律方法2求三角函數的值域的常用方法之三：把sinx或cosx看作一個整體，轉換成二次函數 求值域.練習：（補充）(1)求函數f( x) = tan2x -1的值域tan2 x 1【答案】1-1,1求函數” x)=*0, 的值域 0 2 JYf (x)2,3tan x-1- = J3 2 tan x 注意：求三角函數的值域的常用方法之三： 求三角函數的值域的常用方法： 化為求代數函數的值域注意約束條件

8、-三角函數自身的值域!例2. (4)(補充)求函數 f (x) =sin xcosx +sin x - cosx 的值域【答案】-1 ,2,1一 2注意：求三角函數的值域的常用方法之四：名師一號P56問題探究問題3如何求三角函數的值域或最值？形如 y = asinxcosx +b(sinx cosx) +c 的三角函數，可先設t =sinx 士cosx,化為關于t 的二次函數求值域(或最值).利用sin2 x - cos2 x =1轉化為二次函數在指定區(qū) 間上的值域問題 變式:求函數 f( x) =sin xcosx +sin x + cosx 的值域例2. (5)詳見第一章第二講函數值域7.

9、數形結合法： 例7(2)名師一號P14問題探究 問題(6)當一個函數圖象可作時，通過圖象可求其值域 和最值；或利用函數所表示的幾何意義，借助于 幾何方法求出函數的值域.(補充)如兩點間距離、直線斜率等等求函數y二4sin x 1的值域141 sin x解：y二匕以2 cosx -22cosx -4sinx -可視作單位圓外cosx - 21,一。 o 一點 P 2,-與圓 x + y = 1 上的點(cosx,sin x)44 J32所連線段斜率的2倍,設過點P 22,-的點的直I 4；線方程為1一1y + = k(x - 2)BP kx - y-2k - - = 044=1解得k = 一3或

10、卜=412答案：-3,5一 2 6注意：求三角函數的值域的常用方法之五： 數形結合法練習：求函數y = C0S X -1 xW DM的值域sin x。2答案：0,3變式：求函數v = cosx -1 Xw；JL三的值域y sin x-2_ 2,2答案：0,1一 2拓展：8月月考第16題2sin(x ) 2x2 x函數f (x)=一的最大值是M ,最2x2 cosxf(x) =2sin(x ) 2x2 x2x2 cosx小值是m,則M +m的值是 2.sin x cosx 2x x , sinx x=1 +222x cosx2x cosx,記g(x)= sinx+x ,則g(x)是奇函數且 2x

11、 cosxf (x) =1 +g(x),所以 f (x)的最大值是 M =1 + g(x)max , 最小值是m =1 +g(x)mm ,因為g(x)是奇函數，月F以 g(x)max *g(x)min =0 ,所以 M m =1 g(x)max T g(x)min =2 .(三)三角函數的周期性、奇偶性、對稱性例1. (1)名師一號P56對點自測5 f、兀一設函數 f(x) =sin 2x-y , x6 R 則 f(x)是()A.最小正周期為兀的奇函數B.最小正周期為 兀的偶函數一.兀.，一.C.最小正周期為了的奇函數D.最小正周期為萬的偶函數 答案 B例1. (2)名師一號P57高頻考點 例

12、3 (2) (2014 新課標全國卷I )在函數丫:cos|2x| , y=|cosx| , /X/y=cos 2x + -6 , y= tan 2x j 中，取小正周期為兀的所有函數為()A.B . C . D .解：由于y = cos|2x| =cos2x,所以該函數 2的周期為三二兀；由函數y=|cosx|的圖象易知一, 一兀，一, 2兀其周期為兀；函數y = cos2x +云的周期為丁 =0)相 鄰兩對稱軸之間的距離為2,則3 =【規(guī)范解答】相鄰兩對稱軸之間的距離為2,即 T= 4.f(x) =sin wx +1sin a x= 2sin w x +23cos3x + sinax=si

13、n(ox +堂C0S3X= V31兀sin w x+ - 6，又因為f(x)相鄰兩條對稱軸之間的距離為2,所以T= 4,所以紅=43即(o = -2.注意：【名師點評】 函數f(x) =Asin( ax + d ) , f(x) =Acos(ox+ I )圖象上一個最高點 和它相鄰的最低點的橫坐標之差的絕對值是函數 的半周期，縱坐標之差的絕對值是2A.在解 |I決由三角函數圖象確定函數解析式的問題時，要 注意使用好函數圖象顯示出來的函數性質、函數 圖象上特殊點的坐標及兩個坐標軸交點的坐標 等.練習：加加練P3第11題例2. (1)名師一號P57高頻考點 例3 (1)(1)若函數 f(x) =s

14、in、( 6 0 0,2 兀)是 偶函數，則 d =()兀2兀3兀5兀2323解：(1)，f(x) =sin x； 是偶函數, 3.f(0) = 1.，sin3=1,-3- = kn+2(kez). = 3k% + 32-(k 6Z).又0 6 0,2 兀,二當 k=0 時，3 = -故選C.變式：若函數f(x) =sin x? ( 6 0,2兀)是 3奇函數，則。=?例2. (2)名師一號P57高頻考點 例3 (3)(3)如果函數y = 3cos(2x + 0 )的圖象關于點4兀0）中心對稱,兀A. 6 B.那么| w的最小值為（兀4 C.兀3 D.解：（3）由題意得3cos%xZ+（|）

15、= 3cos d + 2 兀7t2I 3 J 3 3=3cos -（|） =0,（|）= k x +I 3 J 3k6 Z.兀一，i,.。內兀一忖，叱乙取k=，得1蛆的 最小值為會.6注意： 【規(guī)律方法】 若f（x） =Asin（ox+ 0 ）為偶函數，則當x = 0 日寸,f(x)取得最大或最小值，若f(x) =Asin( ax +。)為奇函數，則當x=0時，f(x) =0.對于函數y = Asin( ax+ ),其對稱軸一定 經過圖象的最高點或最低點，對稱中心一定是函 數的零點，因此在判斷直線X = X0或點(X0,0)是否 是函數的對稱軸或對稱中心時，可通過檢驗f(x 0) 的值進行判斷

16、.名師一號P56問題探究問題4如何確定三角函數的對稱軸與對稱中心？若 f(x) =Asin(ox+ )為偶函數，則當x = 0時，f(x)取得最大值或最小值.若 f(x) =Asin( wx+(|)為奇函數， 則當 x = 0 時，f(x) =0.如果求f(x)的對稱軸， *兀只需令 3 x+ 0 = 5+ k 兀(k 6 Z),求 x.(補充)結果寫成直線方程！如果求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令 wx+(|)= k7t(k Z)即可.(補充)結果寫點坐標！同理對于y = Acos(ox+ d ),可求其對稱軸與對 稱中心，對于y = Atan( wx+(|)可求出對稱中心.練習1:名師

17、一號P58特色專題 典例3已知 f(x) =sinx +3cosx(x R),函數 y =/ 、 兀 _，f(x +。) H | v為偶函數，則。的值為f兀兀C. y = sin x + 萬 D . y= cos X + -2解析 由函數的周期為兀，可排除C, D.又函數在4,為減函數，排除B,故選A.練習1:計時雙基練P247第7題函數 y = cos - 2x 1的單調遞減區(qū)間為4 ) 一練習2:加加練P1第11題(2)名師一號P57高頻考點例2/乙一 r，兀已知函數 f(x) =4cos(ox sin wx+ -0)的最小正周期為 兀.(1)求3的值；討論f(x)在區(qū)間,0, 2jh的單

18、調性.3x+_4 i= 2V2cos2 3x)+/ = 2sin 2(ox+十 1+ 啦.解：(1)f(x) = 4cos w x - sin sin ax coswx+ 21/2cos2wx = /2(sin2 wx +因為f(X)的最小正周期為兀，且30.從而有=兀，故 3 = 1.(2)由(1)知，f(x)=2sin 2x+y U陋.4 J v若0x1-，則，取+%7兀兀 兀兀當了2x+Z0萬，即 OWxW,時,f(x)單 調遞增；,兀兀 5兀 一兀兀，當了0）的單調區(qū)間時，要視 “ 3 x + 0 ”為一個整體，通過解不等式求解.但 如果3 0,那么一定先借助誘導公式將 3化為 正數，

19、防止把單調性弄錯.例2 .名師一號P58特色專題 典例4（2014 全國大綱卷）若函數f（x） =cos2x+ asinx在區(qū)間67t ，一一 t ，一 , t.刀是減函數，則a的取值范 圍是.【規(guī)范解答】先化簡，再用換元法求解.f(x) = cos2x + asinx = 1 2sin 2x+ asinx.z、人.一 一 1兀 兀令 t =sinx , x6 r ,.g(t) =1-2t2 + at =-2t2 + at +1 1t1 M J由題意知一9 y 9 0 J，. a w 2.口人 一2.a的取值范圍為(一s, 2.課后作業(yè)一、計時雙基練 P247基礎1-11、 課本P56變式思考

20、1二、計時雙基練P247培優(yōu)1-4 課本P56變式思考2、3 預習第五節(jié)練習：1、設函數 f(x) =2sin( x+g).若對任意 x6R, 都有f(X 1)f(X)f(X 2)成立，則|X 1 - X2|的最小 值為()-1A. 4 B . 2 C . 1 D. 2分析： f(x)的最大值為2,最小值為一2,對？ x6 R -2f(x) 0）的圖像向右平移上個單位長度，所得圖像經過點（打,0）, 44則切的最小值是特殊情況一三角函數的奇偶性例2 （補充）（1） （08.江西）函數sin x 曰,、f （x）=是（）sin x 2sin x2A.以4n為周期的偶函數 B .以2n為周期的奇函數C.以2n為周期的偶函數 D .以4n為周期的奇函數【答案】A（07年遼寧理）已知函數一、 ,ITt .1 U 22 切 X _f(x)=si