2019_2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語1.1集合1.1.2集合的基本關(guān)系學(xué)案新人教B版

1、1.1.2集合的基本關(guān)系（教師獨具內(nèi)容）課程標準：1.理解子集、真子集的概念，能識別給定集合的子集.2.理解兩個集合包含與相等的含義，能用子集的觀點解釋兩個集合的相等關(guān)系.教學(xué)重點：1.子集、真子集定義的理解.2.寫出給定集合的子集.3.兩個集合之間關(guān)系的 判定.4.用子集觀點解釋兩個集合的相等關(guān)系.教學(xué)難點：1.兩個集合之間關(guān)系的判定.2. 一些關(guān)系符號（？，？，C, ?）的準確使用.3.具體問題中易忽視空集的情況 .I核心概念掌握I【情境導(dǎo)學(xué)】（教師獨具內(nèi)容）我們學(xué)校共有高一、 高二、高三三個年級，每個年級都分為兩個級部，每個級部都有若干個班級，每個班級都有若干個學(xué)生.學(xué)?？梢钥闯伞八袑W(xué)

2、生組成的集合”，而年級、級 部、班級可以看成“某些學(xué)生組成的集合”.這里有個體（學(xué)生）、局部（年級等）、整體（學(xué)校）一些研究對象.怎么用集合語言刻畫它們之間的關(guān)系呢？【知識導(dǎo)學(xué)】知識點一子集一般地，如果集合A的任意一個元素口01都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的陛 子集,記作B3A? B（或04B? A ,讀作“：08包含于 B，（或“EB包含 A'）.對應(yīng)地，如果A不是B的子集，則記作"A B（或08B?A| ,讀作"理八不包含于B”（或 “坦B不包含A"）.規(guī)定：也空集是任何集合的子集.注意：（1）子集是刻畫兩個集合之間關(guān)系的，它反映的是局部與整

3、體之間的關(guān)系（而元素與集合之間的關(guān)系是個體與整體之間的關(guān)系）.（2）并不是任意兩個集合之間都具有包含關(guān)系.例如：A=1,2 , B=1,3,因為2CA,但2?B,所以A不是B的子集；同理，因為3c B,（13?A,所以B也不是A的子集.（3）子集有下列兩個性質(zhì)：自反性：任何一個集合都是它本身的子集，即A? A;傳遞性：對于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么A?C（4）為了直觀地表示集合間的關(guān)系，常用平面上的封閉圖形的內(nèi)部表示集合，稱為維恩圖.因此，A? B可用維恩圖表示為知識點二真子集一般地，如果集合 A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于 A,那么集合A 稱為集合B的即真子集

4、,記作g2A B(或B A),讀作“眄真包含于 B，(或“4B真包含 A' ) .可用維恩圖表示為很明顯，空集是任何非空集合的真子集.從真子集的定義可以看出，要想證明A是B的真子集，需要兩步：一是證明口 05A? R即A中的任何元素都屬于 B),二是證明B中至少有 一個元素不屬于 A知識點三集合的相等一般地，如果集合 A和集合B的元素完全相同，則稱集合 A與集合 分相等,記作？A =B,讀彳“國3八等于B，.由集合相等的定義可知：如果口 04A? B且05B? A,則06A= B;反之，如果？AB,則08A ? B且09B? A【新知拓展】1 .對子集、真子集有關(guān)概念的理解(1)集合A

5、中的任何一個元素都是集合 B中的元素，即由xC A,能推出xC B,這是判斷 A? B的常用方法.(2)不能簡單地把" A? B'理解成" A是B中部分元素組成的集合”.因為若A= ?,則A中不含任何元素；若 A= B,則A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定義中，AB首先要滿足A?B,其次至少有一個xeB,Hx?A2 .集合子集的個數(shù)求集合的子集問題時，一般可以按照子集元素個數(shù)分類，再依次寫出符合要求的子集.集合的子集、真子集個數(shù)的規(guī)律為：含n(nC N*)個元素的集合有2n個子集，有(2n1)個真子集，有(2 n-2)個非空真子集.寫集合的子集時，空集和集合

6、本身易漏掉.3 .由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題的注意點及常用方法(1)注意點：不能忽視集合為 ？的情形；當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時，一般需要分類討論.(2)常用方法：對于用不等式給出的集合，已知集合的包含關(guān)系求相關(guān)參數(shù)的范圍(值)時，常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答.什僑佰領(lǐng)I1 .判一判(正確的打，錯誤的打“X”)(1)若A? B,則B中至少有一個元素不屬于A(2)若A? B,則要么A B,要么A= B.()(3)空集沒有真子集.()(4)若A?B,則B不會是空集.()(5)若 A= B,則必'有 A? B()答案 (1) x (2) V V x (5) V2 .做一做(請把正確的答案寫在

7、橫線上)(1)用適當(dāng)?shù)姆?？，？，=)填空. * _N N, R Q,x|x2=1 1,1,'x+ y=1,、( x, y)| x+y = 1f x, y |x- y = 0(2)給出下列集合：A=x|x是平行四邊形, B=x|x是矩形, C= x|x是菱形, D= x| x是正方形,它們的關(guān)系可以表示為 .答案(1)=(2) D BA, D C A核心素養(yǎng)形成題型一 判斷集合之間的關(guān)系例1判斷下列各組集合的關(guān)系：(1) A= 1,2,4 , B= x|x 是 8 的正約數(shù);(2)A=x|x是等邊三角形, B=x| x是有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形; -_* _(3) A

8、= x|x=2n1, nCN, B= x|x=2n+1, nCN.解(1)集合A中的元素1,2,4都是8的正約數(shù)，從而這三個元素都屬于B,即A? B;但B中的元素8不屬于A,從而Aw B,所以A B(2)等邊三角形的三個內(nèi)角都是60°且等邊三角形都是等腰三角形，即A? B;有一個內(nèi)角是60。的等腰三角形是等邊三角形，即B? A,所以A= B.(3)解法一：兩個集合都表小一些正奇數(shù)組成的集合，但由于nCN,因此集合A含有兀素“1”，而集合B不含元素“ 1”，故BA.解法二：由列舉法知 A=1,3,5,7 , B= 3,5,7,9 ,所以B A金版點睛集合間的關(guān)系是由兩集合中元素的關(guān)系確

9、定的，因此，要判定集合間的關(guān)系，必須根據(jù)集合的表示方法，弄清集合中的元素是什么，再根據(jù)元素之間的關(guān)系給出結(jié)果；很明顯當(dāng)B或者A= B時，不宜表不'為 A? B.跟蹤訓(xùn)練1例1中(3),兩集合中條件“ nC N*”改為nC Z,結(jié)果如何？解A= B題型二 寫出集合的子集和真子集例 2 寫出集合 a， b， c 的所有子集和真子集 解 因為集合 a， b， c 中有 3 個元素，所以其子集中的元素個數(shù)只能是0,1,2,3.有 0 個元素的子集： ? ；有 1 個元素的子集：a， b ， c ；有 2 個元素的子集：a，b， a， c， b， c ；有 3 個元素的子集： a， b， c 因

10、此集合 a， b，c 的所有子集為?，a ， b， c ， a，b， a，c， b， c ， a，b，c 集合a, b,c的所有真子集為？，a,b,c, a,b, a, c, b,c.金版點睛本例采用分類列舉的辦法， 分類的標準是子集中元素的個數(shù)， 這樣做， 所寫的子集不重不漏，是一種思路清晰、條理明確的解題方法. 在寫出的集合的子集中，除去集合本身，剩下的都是該集合的真子集. 跟蹤訓(xùn)練 2 寫出集合 1,2,3 的所有子集和真子集解 集合 1,2,3 的所有子集為 ？， 1 ， 2 ， 3 ， 1,2 ， 1,3 ， 2,3 ， 1,2,3 集合 1,2,3 的所有真子集為 ？， 1 ， 2

11、 ， 3 ， 1,2 ， 1,3 ， 2,3.題型三 有限集子集個數(shù)探究 . . ，、- * . . .例3令集合 A=?,集合A = ai, a2, a3,，an( nCN),試探究集合 An子集的個數(shù). 解 為了方便， 不妨設(shè)集合An 的子集數(shù)為m( An) 我們把An 的子集分為兩類，第一類：含元素an；第二類：不含元素an.易知，第二類就是集合A1的子集，且第一類和第二類同樣多.因此，m(A)= 2m( A-1).從而，m( A-1) = 2m(A-2),，m(Ai)=2m( Ao),易知m(Ao)=1.所以 m(An) = 2mA i) = 22mA 2) =23m(An 3) =3

12、= 2nmAo) = 2n.金版點睛若一組對象分為甲、 乙兩類， 當(dāng)兩類對象同樣多時， 我們只要知道其中一類對象的個數(shù)，也就知道了另一類對象的個數(shù)， 從而也就知道了這組對象的總個數(shù) “同樣多”是一種一一對應(yīng)的觀點如下例：很明顯，第二行就是 A的所有子集，從而 n（ A3） = 2m（A2）.注意：如果非空集合 A中有n（nC N*）個元素，那么集合 A的子集有2n個，真子集有（21）個，非空真子集有（2n2）個.跟蹤訓(xùn)練3滿足1,2 M? 1,2,3,4,5 的集合M有多少個？解由1,2M可知，M中必定有1,2兩個元素，且至少還有異于1,2的“其他” 一個元素；由M? 1,2,3,4,5 可知

13、，上面所說的“其他”應(yīng)當(dāng)來自于3,4,5這三個數(shù)：可以是其中的1個（三種情況），2個（三種情況），3個（一種情況）.故滿足條件的集合M有7個（也就是集合3,4,5的非空子集的個數(shù)）.題型四集合相等的應(yīng)用例 4 設(shè)集合A=1 , a,b,B=a,a2,ab,且A=B 求a2019+b2020.a2= 1,a2= b,解由八=B,有，或，ab= b ab= 1.a= 1,a= 一 1, a=1,解方程組得或t或i©CR|b=0b=1,由集合元素的互異性，知 aw1.a= 1, b=0,故 a2019+ b2020= - 1.金版點睛集合相等的應(yīng)用方法根據(jù)兩個集合相等求集合的待定字母，一般

14、是從集合中元素對應(yīng)相等來建立方程（或方程組），要注意將對應(yīng)相等的情況分類列全，最后還需要將方程（方程組）的解代入原集合檢驗，對不符合題意的解要舍去.跟蹤訓(xùn)練4已知集合A= 2, x,y,B= 2x,2,y2,若A= B,且x, y為整數(shù)，求（x+y）2019 的值.解-. A= B, .集合A與集合B中的元素相同.x，或y=yly=2x,x =。, 解得y = 0.x= 0, 或二y=i1 x=4,1 y=2（舍去）.驗證得，當(dāng)x=0, y=0時，A= 2,0,0,這與集合元素的互異性相矛盾，舍去.當(dāng) x = 0, y=1 時，A=B= 0,1,2,符合題意.x, y 的取值為9 0,.（x+

15、y）2019= 1.iy=1,題型五含參問題探究例 5 已知集合 A= x| -2<x<5, B= x|mH 1Wxw2m 1.若 B A,求實數(shù) m的 取值范圍.解當(dāng)Bw?時，如圖所示：*XA i>2 rn +12,IR- I 5 二的 1>- 2, "2mT 1<5,、2mT 1 , mu 1詔 1>-2,或I2mr K5,、2mr 1 > m 1,解這兩個不等式組，得 2wm 3.當(dāng) B= ?時，由 mu 1>2rmr 1,得 m<2.綜上可得，m的取值范圍是 m m 3.金版點睛本例的難點是解讀集合事實上，集合0就是不等式

16、組二 的解集（只是寫法不同），易知當(dāng)機十 【nW2 m 11>2機一1,即根2時，不等式組無解，即B=0;當(dāng)m =2時，8= 3；當(dāng)>2時，集合£即為區(qū)間切+八 2m一口（從幾何角度講，集合B是數(shù)軸上一條變端點、 變長度的線段）.跟蹤訓(xùn)練 5已知集合A=x| -3<x<4,B= x|2mr1<x<m 1,且B?A 求實數(shù) m的取值范圍.解 B? A,分兩種情況考慮:當(dāng) B= ?時，mK2 m-1,解得m> 2.當(dāng)Bw ?時,1一3<2 m- 12m- 1<m+ 1解得1W m<2,綜上得m的取值范圍為mm> 1.隨堂水

17、平測試1 .下列說法：空集沒有子集；任何集合至少有兩個子集；空集是任何集合的真子集；若？ A則Aw ?.其中正確的有（）A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個答案 B解析 空集是它本身的子集；空集只有一個子集；空集不是它本身的真子集；空集是任何非空集合的真子集.因此，錯誤，正確.2 .集合 P= 0,1 , Q= y|x2+y2=1, xCN,則集合 P, Q間的關(guān)系是（）A. P= QB. P QC. Q PD.不確定答案 B解析 由 x2+y2= 1, xC N,彳導(dǎo) y=±1,0,即 Q= -1, 0,1,所以 P Q 故選 B.23 .已知集合 A= x|x -1 = 0,則下列式子表不正確的有（）1C A; 1C A;？ A;1 , - 1? AA. 1個B. 2個C. 3個D. 4個答案 C解析 A= x|x21 = 0=1,1,故正確，不正確.4.滿足a? M a, b, c, d的集合M共有（）A. 6個B. 7個C. 8 個D. 15 個答案 B