數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)(很完整)

1、第一章解三角形1 、三角形三角關(guān)系： A+B+C=180°； C=180° -(A+B)；2 、三角形三邊關(guān)系： a+b>c;a-b<c3、三角形中的基本關(guān)系：sin( A B) sin C , cos( A B)cosC , tan( A B)tan C ,sin ABcos C ,cos A Bsin C , tan ABcot C2222224 、正弦定理：在C 中， a 、 b 、 c 分別為角、C 的對(duì)邊， R為C 的外接圓的半徑，則有abc2R sinsinsin C5 、正弦定理的變形公式：化角為邊：a2Rsin， b2Rsin， c2Rsin C

2、 ；化邊為角： sinabc， sin， sin C；2R2R2R a : b : csin:sin:sin C ；a bcabcsinsin Csinsinsin Csin6 、兩類正弦定理解三角形的問(wèn)題：已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.(對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）)7、余弦定理 ：在C 中，有 a2b2c22bc cos， b2a2c22ac cos，c2a2b22ab cosC 8、余弦定理的推論 ： cosb2c2a2， cosa2c2b2， cosCa2b2c22bc2ac2ab(余弦定理主要解

3、決的問(wèn)題：1.已知兩邊和夾角，求其余的量。2.已知三邊求角 )9、余弦定理主要解決的問(wèn)題：已知兩邊和夾角，求其余的量。已知三邊求角）10、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時(shí)， 可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式設(shè) a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的對(duì)邊，則：若 a2b2c2 ，則 C 90o ；若 a2b2c2 ，則 C90o ；若 a2b2c2 ，則 C90o 注：正余弦定理的綜合應(yīng)用：如圖所示：隔河看兩目標(biāo)A、B,但不能到達(dá)，在岸邊選3 千米的 C、 D 兩點(diǎn)，并測(cè)得 ACB=75O, BCD=45O, ADC=30O,AB取相距 ADB=45O(A、 B、C

4、、 D 在同一平面內(nèi) )，求兩目標(biāo) A、 B 之間的距離。解：CD11、三角形面積公式：12、三角形的四心：垂心三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn)重心三角形三條中線的相交于一點(diǎn)（重心到頂點(diǎn)距離與到對(duì)邊距離之比為2:1 ）外心三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)（外心到三頂點(diǎn)距離相等）內(nèi)心三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)（內(nèi)心到三邊距離相等）附加：第二章數(shù)列1 、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)2 、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)3 、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列4 、無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列5 、遞增數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1>an）6 、遞減數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都

5、不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1<a ）n7 、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列（即：an+1 =an）8 、擺動(dòng)數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列9 、數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列an 的第 n 項(xiàng)與序號(hào) n 之間的關(guān)系的公式10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)an 與它的前一項(xiàng) an 1 （或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式11、如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差符號(hào)表示: an 1 an d 。注：看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：anan 1d(n2,d為常數(shù) ) 2 anan 1a n

6、 1 () anknb (為常數(shù)12、由三個(gè)數(shù) a ，b 組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，則ac稱為 a 與 b 的等差中項(xiàng) 若 b，2則稱 b 為 a 與 c 的等差中項(xiàng)13、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是 a1 ，公差是 d ，則 ana1n 1 d 14、通項(xiàng)公式的變形： an am n m d； a1ann 1 d； dana1； nana1 1； daan1nm dnm15、若 an是等差數(shù)列，且 m npq （ m 、 n 、 p 、 q*anapaq ；若an），則 am是等差數(shù)列，且 2npq （ n 、 p 、 q），則 2anapaq*16.等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和的公式 ：S

7、nn a1 an； Snna1n n 1d sna1 a2Lan2217、等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和的性質(zhì) ：若項(xiàng)數(shù)為2n n* ，則Sn aa，且SSnd，S奇an2nnn 1偶奇S偶an 1若項(xiàng)數(shù)為2n 1 n*S2n 1 a ， 且，S奇n（ 其 中na n， 則奇偶奇2 n 1nS S anS偶n1SS偶n1 an ）18、如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比符號(hào)表示：an 1q （注：等比數(shù)列中不會(huì)出現(xiàn)值為0 的項(xiàng)；同號(hào)位上的值同號(hào)）an注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法： anan 1q(n2, q為常數(shù)

8、,且0) a n2an 1 a n 1 (， a n an 1a n 10 ) a ncq n (為非零常數(shù) ).正數(shù)列 成等比的充要條件是數(shù)列 log x an （）成等比數(shù)列 .19、在 a 與 b 中間插入一個(gè)數(shù) G ，使 a ，G ， b 成等比數(shù)列， 則 G 稱為 a 與 b 的等比中項(xiàng) 若 G 2ab ，則稱 G為 a 與 b 的等比中項(xiàng)（注：由G 2ab 不能得出 a ， G ， b 成等比，由 a ， G ， bG 2ab ）20、若等比數(shù)列an 的首項(xiàng)是 a ，公比是 q ，則 aa qn1 1n121、通項(xiàng)公式的變形：anamqnm ； a1an qn 1； q n 1a

9、n ； q n man a 1am22、若 an是等比數(shù)列，且 mnpq（ m 、 n、 p、 q*aq ；若 an），則 am an ap是等比數(shù)列，且 2npq （ n 、 p 、 q* ），則 an2ap aq 23、等比數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和的公式 ：na1q1 sna1 a2 L an Sna1 1 qnan qq1qa111q24、對(duì)任意的數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：ans1a1 (n1)snsn 1 (n2)注 ： a na1n 1 dnd a 1 d （ d 可為零也可不為零為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）若 d 不為 0，則是等差數(shù)列充分條件） .等差 前

10、n項(xiàng)和 S n An 2 Bndn2a1 dn可以為零也可不為零為等差的充要條件若d 為零，則22是等差數(shù)列的充分條件；若d 不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.非零 常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）附： 幾種常見的數(shù)列的思想方法：1.等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和為，在時(shí)，有最大值. 如何確定使取最大值時(shí)的n 值，有兩種方法：一是求使 a n0, a n 10 ，成立的 n 值；二是由Snd n 2 (a1 d )n 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求 n 的值 .222.數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式與函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列（時(shí)為一次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）數(shù)

11、列前 n 項(xiàng)和公式對(duì)應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列（時(shí)為二次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點(diǎn)揭開了數(shù)列神秘的“面紗” ，將數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n 項(xiàng)和看成是關(guān)于 n 的函數(shù)， 為我們解決數(shù)列有關(guān)問(wèn)題提供了非常有益的啟示。3.如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前n 項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前n 項(xiàng)和. 例如：1111的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和2,34,.(2n1)2n ,.4.兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差d1，d 2 的最小公倍數(shù).5.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法

12、:對(duì)于 n2 的任意自然數(shù) ,驗(yàn)證 anan 1( an)an1為同一常數(shù)。 (2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法 : 驗(yàn)證 2an 1an an 2 (an21an an 2 )n N 都成立。6.在等差數(shù)列中n的最值問(wèn)題： (1)當(dāng) >0,d<0am0的項(xiàng)數(shù) m 使得取最大值 . (2)當(dāng) <0,d>0,有關(guān) S時(shí)，滿足0am 1am0的項(xiàng)數(shù) m 使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。時(shí)，滿足am 10附： 數(shù)列求和的常用方法1. 公式法 :適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2.裂項(xiàng)相消法 :適用于c其中 是各項(xiàng)不為 0 的

13、等差數(shù)列， c 為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。an an 11,求這個(gè)數(shù)列的前n 項(xiàng)和 Sn.例題：已知數(shù)列 an的通項(xiàng)為 an =1)n(n解：觀察后發(fā)現(xiàn)：an=11nn1sna1 a2an(1 1) (1 1)( 1n1 )223n1111n3.錯(cuò)位相減法 :適用于an bn 其中 是等差數(shù)列，是各項(xiàng)不為0 的等比數(shù)列。例題：已知數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 ann2n ，求這個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)之和 sn 。解：由題設(shè)得：sna1 a2a3an=1 212 223 23n 2n即 sn =1 212 223 23n 2n把式兩邊同乘2 后得2sn =1 222 233 24n 2n 1用

14、 -，即：s =1 212 223 23n 2nn2s =1 222 233 24n 2n 1n得sn 1 2 22232nn 2n 12(12n )n 2n 1122n 12n2n1(1n)2n12 sn ( n 1)2n 1 24.倒序相加法 : 類似于等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論n(n1)2） 1+3+5+.+(2n-1) =1 ）: 1+2+3+.+n =223）1323n31 n( n 1)24)122232n21 n(n 1)( 2n 1)6;5)1111111，()n(n 1)n n 1n( n 2)2 n n 2 ；6 ）11( 11 ) ( p q)pqqp

15、 pq 附加：重點(diǎn)歸納等差數(shù)列和等比數(shù)列（表中 m, n, p, qN ）類別等差數(shù)列 a項(xiàng)目n定義an 1andana1 n1 d通項(xiàng)公式anamnm d前 n 項(xiàng)和na1anna1n n1Sn22d等差（比）2an 1anan中項(xiàng)2公差（比）danam ， mnnmm n p q amana paqmn2 paman2apSm , S2 mSm , S3m S2m ,L 成等差性質(zhì)數(shù)列，公差為m2 d （ Sn 是前 n 項(xiàng)和）am , am k , am 2 k ,L 仍然是等差數(shù)列，其等比數(shù)列anan 1qanana q n 11anamqn mna1q1Sna1 1 qna1anqq

16、 11q1qan2an an 21qnmanamm n p q am anap aqmn2pamana p2Tm, T2m , T3m ,L 成等比數(shù)列，公TmT2 m比為 qm2 （ Tn 是前 n 項(xiàng)積）am , am k , am 2 k ,L 仍然是等比數(shù)列，公差為 kdkanb 是等差數(shù)列d0,Z；單調(diào)性d0, ；d0, 常數(shù)列2.等差數(shù)列的判定方法：（a,b, d 為常數(shù)） .定義法：若an 1and .等差中項(xiàng)法：若2an 1anan 2 .通項(xiàng)公式法：若 anan b .前 n 項(xiàng)和法： Snan 2bn3. 等比數(shù)列的判定方法：（k ， q 為非零常數(shù)）an1q .定義法：若

17、 an .等比中項(xiàng)法：若an2an an 21 .通項(xiàng)公式法：若 ankq n .前 n 項(xiàng)和法： Snkkqn其公比為 qkbank 是等比數(shù)列（ b0 ）a10 時(shí)， q1,Z， 0q1,；a10 時(shí)， q1,， 0q1,Z；q 1 為常數(shù)列； q 0 為擺動(dòng)數(shù)列an 為等差數(shù)列 .an 為等比數(shù)列 .第三章不等式一、 不等式的主要性質(zhì)：（ 1）對(duì)稱性：abba（ 2）傳遞性： ab, bcac（ 3）加法法則： abacbc ；（ 4）同向不等式加法法則：ab, cdacbd（ 5）乘法法則： ab, c 0acbc ； ab,c0ac bc（ 6）同向不等式乘法法則：ab0, cd0a

18、c bd（ 7）乘方法則： ab0a nbn ( nN * 且 n1)（ 8）開方法則： ab0n anb( nN * 且n1)11（ 9）倒數(shù)法則：ab, ab0ab二、一元二次不等式ax 2bxc0 和 ax 2bxc0( a0) 及其解法000y ax 2bx cy ax 2bx cax 2bx ca( x x1 )( x x 2 )ya( x x1 )( x x 2 )二次函數(shù)y ax 2bx c（ a 0 ）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根ax2bx c0x 1 , x 2 ( x 1x 2 )x1b無(wú)實(shí)根a0 的根x22aax2bx c0x x x1或x x2x xbR(

19、a0)的解集2aax2bx c0x x1 xx 2(a0)的解集1.一元二次不等式先化標(biāo)準(zhǔn)形式（a 化正）2.常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式?？谠E：在二次項(xiàng)系數(shù)為正的前提下：“大于取兩邊，小于取中間”三、均值不等式1、設(shè) a 、 b 是兩個(gè)正數(shù)，則ab 稱為正數(shù) a 、 b 的算術(shù)平均數(shù)，ab 稱為正數(shù) a 、 b 的幾何平均數(shù)22、基本不等式（也稱均值不等式）：若 a0均值不等式：如果a,b 是正數(shù)，那么a b2 ab 即 a bab(當(dāng)且僅當(dāng) ab時(shí)取 "" 號(hào)).2注意：使用均值不等式的條件：一正、二定、三相等3、平均不等式：（a、b 為正數(shù)），即a 2

20、b2abab2（當(dāng) a = b 時(shí)取等）2211ab4、常用的基本不等式：a2b22ab a,bR ； aba2b2a,b R ；220 ； a2b22 aba ba 0,baba, bR 2225 、極值定理：設(shè)x 、 y 都為正數(shù)，則有：若 xys（和為定值），則當(dāng) x y 時(shí)，積 xy 取得最大值s2若 xy p （積為定值），則當(dāng)xy 時(shí)，4和 xy 取得最小值2p 四、含有絕對(duì)值的不等式1 絕對(duì)值的幾何意義：| x | 是指數(shù)軸上點(diǎn)x 到原點(diǎn)的距離； | x1x2 |是指數(shù)軸上 x1, x2 兩點(diǎn)間的距離；代數(shù)意aa0義： | a |0a0aa02 、 如果 a0, 則不等式：| x

21、 |axa 或 xa； | x |axa 或 xa| x |aaxa； | x |aaxa4 、解含有絕對(duì)值不等式的主要方法：解含絕對(duì)值的不等式的基本思想是去掉絕對(duì)值符號(hào)五、其他常見不等式形式總結(jié)：分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則f ( x )0f ( x )g( x) 0 ； f ( x)0f ( x ) g( x)0g( x ) 0g( x )g( x )指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式a f ( x )a g( x ) ( a 1)f ( x ) g( x) ； a f ( x)a g( x) ( 0 a 1)f ( x) g( x )對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式f ( x )0f (

22、 x ) 0log a f ( x ) log ag( x )(a 1)g( x )0log a f ( x) log a g( x)(0 a 1)g( x ) 0f ( x )g( x)f ( x ) g( x )高次不等式：數(shù)軸穿線法口訣: “從右向左，自上而下；奇穿偶不穿，遇偶轉(zhuǎn)個(gè)彎；小于取下邊，大于取上邊”例題：不等式 ( x23x2)( x 4) 20 的解為（）x3A 1<x 1 或 x 2Bx< 3 或 1x 2C x=4 或 3<x 1 或 x 2D x=4 或 x<3 或 1 x2六、不等式證明的常用方法：作差法、作商法七、線性規(guī)劃1 、二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式2 、二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組3 、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x 和 y 的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)x, y ，所有這樣的有序數(shù)對(duì)x, y構(gòu)成的集合4 、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xy C0 ，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x0 , y0 若0 ，x0y0C0，則點(diǎn)x0 , y0在直線xyC0 的上方若0 ，x0y0C0，則點(diǎn)x0 , y0在直線xyC0