一種改進的Wilson-θ法及其算法穩(wěn)定性

1、第36卷第10期晏啟祥等一種改進的Wilson-0法及其算法穩(wěn)定性 77 一種改進的Wilson-0法及其算法穩(wěn)定性晏啟祥 劉浩吾 何川(西南交通大學)(四川大學)(西南交通大學)摘 要 在傳統(tǒng)的Wilson-0法的基礎(chǔ)上.導出了改進的Wilson. 8法.比較了其與傳統(tǒng)Wilsdn-O法的異同點，分析 了改進Wihon0法的穩(wěn)定性。利用改進的Wilson-6法建立了求解流固耦合方程的迭代算法，并對該算法進行檢驗. 結(jié)果表明：改進的Wilson-6法能方便地求解流固耦合振動方程，并能提高計算的效率。關(guān)詞 Wilson-0法穩(wěn)定性流固耦合中圖分類號：TB115文獻標識碼：A文章編號：1000-1

2、31X (2003) 10-0076-04AN IMPROVED WILSON-0 METHOD AND ITS COMPUTATIGNAJ> STABILITYYan QixiangLiu HaowHe Chuan(Southwest Jiaotong University) (Sichuan iJnivewity) (Southwest Jiaotong University)AbstractAn improved Wilscn-G method find its computational stability are studied in the paper. The improv

3、ed Wilson-0 method is derived from the traditional one The simiJanties and differences of the two methods are compared and discussd. The stability of the improved method is analyzed Based on the improved method, a new algorithm is provided and tested The results are shown that the improved method is

4、 feasible to solve coupled fluid-structure interaction problemKeywords： Wilson-G method, stability, coupled fluid-structure© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, http:/,第36卷第10期晏啟祥等一種改進的Wilson-0法及其算法穩(wěn)定性 77 © 1994-2009 China Academic Journal Ele

5、ctronic Publishing House. All rights reserved, http:/,第36卷第10期晏啟祥等一種改進的Wilson-0法及其算法穩(wěn)定性 77 1前 言傳統(tǒng)的Wilson-0法通過建立在t +伽時刻的動 力平衡方程求解出I +込時刻的位移，再用t +伽 時刻的位移以及上一時刻r的位移、速度、加速度來 計算/+山時刻位移、速度、加速度，最終求解出t 十厶時刻的運動狀態(tài)。處理流固耦合問題時，由 于流固耦合方程系數(shù)矩陣通常是非對稱的，所以不能 利用模態(tài)疊加法，而類似Wilson-0法、Newmark法等 的數(shù)值積分法卻是有效的。如0. C. Zienkicwic

6、z對 流固耦合方程中的流體方程和結(jié)構(gòu)方程分塊，基于子 結(jié)構(gòu)概念用數(shù)值積分法計算地震荷載下大壩的空蝕問 題。R. K. Singh和 J. P. F. 0*Connor41 用這種方 法進行了流固耦合問題的求解。在這些算法中，對目 標函數(shù)進行迭代處理的數(shù)值計算工作量非常大，因 此，對基本積分方法進行改進，從而減少計算工作 量，是非常有價值的事情。本文首先對傳統(tǒng)的Wil- 法進行了改進，分析了改進Wilson-6法的數(shù)值穩(wěn) 定性，在此基礎(chǔ)上導出了新的迭代算法。該算法能方收稿日期：2001-09-08,收到修改穡日期：2001-12-13便地用以求解庫水和壩體相互作用的耦合振動方程, 并能提高計算的

7、效率。算例表明：本文的方法計算效 率要高于文獻4中的方法。2 改進的Wilson-0法傳統(tǒng)的Wilson-0法不能直接從t +込時刻的平 術(shù)方程計算出t +山時刻的運動狀態(tài)，它必須在求出 r+購時刻的運動參數(shù)后再回代求取£ + 時刻的運 動狀態(tài)。當用迭代法解耦合動力方程時，計真過程復 雜而且失代步驟多，計算工作量相當大，如果在解/ +込 時刻的平衡方程能夠直接t +加時刻的運動狀 杰，將有效的減少工作量，改進Wilson-8法正是基于 這種目的。如果以V表示結(jié)構(gòu)位移，根據(jù)傳統(tǒng)的Wilson-0 法，有下面四式成立，當r = t時"輪=(1 - &)門+必皿匕品=匕+

8、血(1 - #)譏+竽譏皿 當r二Ar時嘰=備KlV, -2V,將式（4）代入式（I）、式（2）、式（3）整理后 再把它們代入/ +購時刻的動力平衡方程式（5）MV.込 + G.血 軸 +可以得到以下擬靜力平衡方程F, 仙其中F“込=F”心 + V, + R2 Vt + R3 (7a)込=+ sC購 + °2.購(7b)R2 = ojAf + jG.劃 + sK畑(8b)Ry = a6 Af +5 G.劃 + a8(8c)6030=護a° =5 盲 "2666 =不a4 = 3& - 1a< -Ot(9)& = a0 M + jC” 購 +

9、(a? 1)K購(8a)根據(jù)式（6）求解出位移后，即可按（4）式計算 相應的加速度，并按下式計算速度Vg = V, + 學”g + V,（10）可以看出，求解方程（6）可以直接得到時刻t +心的運動參數(shù)。由上可知，傳統(tǒng)Wilson-0法與改 進的Wikon-0法的相同點是：平衡方程都是建立在f + 0厶時刻，目的都是求r + 0的運動參數(shù)，不同點 是：傳統(tǒng)Wilson-0法是間接求取r + &的運動參數(shù), 而改進的Wilson-0法卻能直接求取，且二者右端的擬 靜力荷載計算有別。對線性系統(tǒng)，計算式（8）系數(shù) 在時程計算前就完成，對矩陣相加只是輕微地增大了 計算就，但由于避免了每一時步每

10、次迭代的回代過 程，因此，改進的Wilson-0法的整體計算量減少了， 對于計算量很大的耦合或非耦合線性動力問題，其提 高的效率是可觀的。3改進的Wilson-0法的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析就是要求出改進的Wilson-0法相鄰兩 時刻/和/ + &之間的狀態(tài)傳遞算子。下面考慮（+ 如時刻的非耦合方程 （/ + 購）+ 2伽（/ + 血）+ / v（c +） = F（/ + 血）（11）上式中，工、3分別是阻尼比和圓頻率，F(xiàn) （/ + 血）是廣義荷載與廣義質(zhì)鼠之比。把式（4）代入式 （1）、（2）、（3）整理后代入式（11）,得到關(guān)于未知 量V （r +如）的方程z a、6創(chuàng)川+ 6汕心-

11、/（I - 03）八、心+加）=60/16護如山+7滬川）* 60/& + （6護® -2"） +厶（儼-1）;（）6卅川+6護如/& + /少 "+（30 - 1） + 2兀込（3&/2 -» + （&- 1）護/aF/2；（）60/t2 +6儼+ /護F（f + eb）（ 60/+6滬0>/心 + / 少把式（12）代入式（4）、（10）,再結(jié)合式（12）,可以整理出如下的遞推爻殺其中| V ( < + & )p (fJ1 ”（八山）=Ap(r)J(/ + Ar)v(t)+ lf(i + at)(1

12、3)I -購2兀-1/0 -創(chuàng)A =：心(1 - 1/20 -國丁6 - K0/2) 3(1/2 - 1/6弘創(chuàng)Fa -朋 (-2/c)Md(- y9)M/2- 1 -妙2 - k- 0/3) f(l -他/6 兀/3)1 - 0/6(14)P =+ 如 3“ + 爐/6)“K =彳1 U）tL = 0/山20/2/厶 p/6/F式（14）中，A稱為狀態(tài)傳遞算子，它與傳統(tǒng) Wilson-0法的狀態(tài)傳遞算子完全一致。如果時刻的加速度、速度和位移分別有誤差5。、九、九，由 公式（13）容易知道，經(jīng)過n步后引起的必r時刻的 誤差為下式九=A*d。(15)若n-8, 4"-0,則該積分方法就

13、是穩(wěn)定的。從式（15）可以看出，改進Wilson-0法的穩(wěn)定性僅依 賴于算子A的譜半徑卩（4）,由線性代數(shù)可知，譜 半徑p （A） wl是改進Wilson-0法穩(wěn)定的充要條件。 從式（14）可以看出，對于給定的通常很小的&/T 和“算子A只是&的函數(shù)。文獻5指出，當計 算不同& F的p （A）發(fā)現(xiàn)，若0/1.37, p （A） wl 將恒成立，因此，改進的Wilson-0法和原來的算法具 有相同的穩(wěn)定性。© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights rese

14、rved, http:/, 78 土木工程學報2003 年4流固耦合方程的迭代解法設流固耦合系統(tǒng)是一個線性系統(tǒng)，當考慮流體的 可壓縮性時，流體與結(jié)構(gòu)的相互作用形成耦合動力平 衡方程。MV+ CV+ KV = LP + F(16)M+ CpP+ KpP = - PLtV+ Q (17) 其中V表示結(jié)構(gòu)的位移向量，P是流體的壓力向最, M、C、K是結(jié)構(gòu)的質(zhì)倉、阻尼和剛度矩陣，“八 q、心是流休類似于結(jié)構(gòu)的質(zhì)罐、阻尼和剛度矩陣, 1是流圖交界面上的耦合矩陣，F(xiàn)和Q分別是作用 在結(jié)構(gòu)和流體上的外荷載。在迭代過程中，用改進的 Wilson-O法分別對流體方程式(17)和結(jié)構(gòu)方程式 (16)進行積分計算，

15、經(jīng)整理后可以得到兩個擬靜力 方程式中左及懇分別是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和庫水系統(tǒng)相應的 擬靜力剛度矩陣K = a0M + gC + a2K(19a)Kp = a0Mp + a】Cp + a2Kp(19b)有效力向雖瓦.妳及0,.軸分別為F“込=&匕+局匕+出匕+ F”妙+ LPt (20)-RpR 七 RrPi + R“P pD v(21)其中式(21)的系數(shù)矩陣類似式(8)。迭式法求解流固耦合方程要點是：置初始時步的計算參 數(shù)匕、只及其導數(shù)為0;在每一時步內(nèi)對第一次迭 代假設一個值后在式(20)和式(21)之間進行多次 迭式；按結(jié)構(gòu)位移計算相鄰兩次迭代的誤差e = II久皿吧池II ,若誤差滿足精

16、度要求，則進入 下一時步，否則i =i + l,繼續(xù)進行迭代，直到誤差 滿足要求為止；直至完成所有的時間步長。在計算過 程中，還進行了如下誤差修正：在分析的每一時步迭 代穩(wěn)定后，要用總體平衡方程來計算下一時刻的加速 度，以達到修正誤差的目的。即：v, = Af* F,t匕+畑,這里選擇修正加速度的原因是在工程的實際 計算中矩陣M往往是對角或帶狀矩陣，易于求解。5改進方法的檢驗 進行動力反應分析。該壩壩高為240m,壩型為雙曲 拱壩，上下游面均為拋物線型。壩體、地基和庫水都 采用三維8節(jié)點等參單元。其中壩體按5層網(wǎng)絡剖 分，水庫長度取三倍壩高，高散為120個8節(jié)點等參 單元。地基邊界自由度被約束

17、，采用自由場輸入，庫 底為全反射剛性地基，忽略庫水的無限遠輻射阻尼和 庫表重力波影響。拱壩、地基和庫水和幾何形狀及其 有限元離散情況見圖1。圖1拱壩、地基和庫水系統(tǒng)有限元離散示意圖Fig. 1 Finite mesh of system including arch dam,foundation and reservoir在進行壩庫地震響應分析時，采用Keyona地震 波，輸入方式是順河向輸入。這里分別用文4中 的方法和本文的方法進行計算，并比較壩體A點的 位移和B點的動水壓力，計算結(jié)果分別見圖2、圖3。 從圖中可以看出本文中力法和文4方法計算結(jié)果 基本上-致，這說明本文中的方法是可行的。在圖

18、4 中，給出了兩種方法計算同一問題所需要的時間。從 圖中可以君出，本文中的方法效率更高，可以大大節(jié) 約計算的時間。圖2 A點位移計算結(jié)果比較Hg,2 Displacement compare of point A6© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. httpM 78 土木工程學報2003 年6© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights r

19、eserved. httpM 78 土木工程學報2003 年這里選某拱壩作為例子，在時域內(nèi)用有限元方法6© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. httpM第36卷第10期晏啟祥等一種改進的Wihcn-e法及其算法穩(wěn)定性 79 © 1994-2009 China .Academic Journal Electronic Publishing House.httpW第36卷第10期晏啟祥等一種改進的Wihcn-e法及其算法穩(wěn)定性 79 -500400

20、II111 ll ,TidLlLLiTmnmr1 丁'Mil1文4的方扶 本文的方怯0246 8 10 12圖3 B點動水壓力計算比較Fig.3 Compare of hydraulic prewure of point B 本文的方怯 *文4的方法圖4兩種方法計飾所需時間比較Fig.4 Time comparison of two calculation methods6結(jié)束語本文改進的Wilson-0法能直接計算出時刻t + & 的位移，且具有與傳統(tǒng)Wilson-0法相同的穩(wěn)定性。算 例表明：改進的Wilson-9法是可行的，有效的；對于 復雜的動力系統(tǒng)，尤其是大型流固耦合系統(tǒng)，利用改 進Wilson-0法進行數(shù)值積分運算能顯著提高計算效率。參考文猷1 克拉夫R.W.,彭津J.著:結(jié)構(gòu)動力學M.王光遠 譯.北京：科學出版社，19812 Zienkiewicz 0 C Paul K K & Hinton E Cavitation in fluid-stmctvre response with cuticular reference to dams under earth