滬教版(上海)七年級(jí)第二學(xué)期第十四章三角形——吃透全等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)+題型鞏固35題(含答案)

1、全等三角形知識(shí)框架:全等工猜形J題型南平分歧的性質(zhì)與判定知識(shí)精講：全等圖形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形。形狀完全相同，大小相等。全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。全等三角形的周長(zhǎng)相等，全等三角形的面積也相等。注意事項(xiàng)：1、 全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)關(guān)鍵是尋找對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。2、 正確區(qū)分對(duì)應(yīng)邊與對(duì)邊，對(duì)應(yīng)角與對(duì)角的概念。一般地：對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角針對(duì)全等三角形，對(duì)邊、對(duì)角是對(duì)同一個(gè)三角形的邊和角而言的，對(duì)邊是指角的對(duì)邊，對(duì)角是指邊的對(duì)角。例如：如圖，4ABC和GEF全等，記作ABC04EF,其中點(diǎn)A和點(diǎn)D,點(diǎn)B和點(diǎn)E,點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；A

2、B和DE,BC和EF,AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；/ A和/D,/B和/E, /C和/F是對(duì)應(yīng)角3、 表示兩個(gè)角全等時(shí)，表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母要寫在對(duì)應(yīng)的位置上；也就是題中出現(xiàn)兩個(gè)三角形全等我們就可以利用對(duì)應(yīng)的字母尋找對(duì)應(yīng)角以及對(duì)應(yīng)邊?！坝腥齻€(gè)角對(duì)應(yīng)相等”或“有兩邊及其中一邊的對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不一定全等；4、 時(shí)刻注意圖形中的隱含條件，如“公共角”、“公共邊”、“對(duì)頂角”。全等交換：全等變換是指只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換.如圖，把4ABC沿直線BC移動(dòng)線段BC的距離，可以變到4ECD的位置 如圖,以直班為軸把9BC翻折，可以變到4DBC的位置；如圖，以點(diǎn) A以點(diǎn)為中心把4

3、ABC旋轉(zhuǎn) 180 ° ,可以變到ZAED的位置.像這樣，只改變圖形的位置，而不改變其形狀、大小的圖形變 換叫做全等變換.在全等變換中可以清楚地識(shí)別全等三角形的對(duì)應(yīng)元素.以上三種全等變換分別 叫做平移變換、翻折變換和旋轉(zhuǎn)變化.如圖，4ABC和zDEF全等，問經(jīng)過怎樣的圖形變換，可使這兩個(gè)三角形重合?分析:再將移動(dòng)解法一:先將4DEF沿著CB方向平移，使點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）,后的4DEF沿著直線BC翻折，此時(shí)4DEF與BC重合E與點(diǎn)解法二：先把4DEF沿直線以EF翻折，再把翻折后的 DEF沿著CB方向平移，使廣B重合，則4DEF與BC重合.經(jīng)典題型：判定兩個(gè)三角形全等的

4、條件：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或aSSS')一 ''AB= ?AC= ?BC=?zABCW? (SSS)例題：1、已知：如圖，點(diǎn) B、E、C、F 在同一直線上，AC=DF,AB= DF,BE=CF.求證：AC /DF.BE= CF.BC=EF在MBC和ADEF中AB= DEBC=EFAC=DF.ZABCBEF (SSS)zACB= /F. AC /DF.AF=DC,AB=DE,BC=EF,求證：ZxABCDEF.2、已知，如圖，A、C、F、D在同一直線上,分析:.AF= DC. AF-CF= DC-CF,即 AC= DF在2BC和ADEF中AC=D

5、FAB= DEBC=EF .ZABCBEF (SSS) 3、如圖，AB = CD,AE=DF,CE= FB,求證：/BAE = /CDF.分析：.CE= BF, CE+ EF= BF+ EF,即 CF= BE.在2ABE和ADCF中AB= DCAE=DFBE=CF.ZABEnCF（SSS）.zBAE=/CDF （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.判定兩個(gè)三角形全等的條件：）運(yùn)用如等角、兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”“SAS”證明三角形全等時(shí)，一定要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)相等的邊、角，要注意隱含的等角，公共角、對(duì)頂角、角平分線等；在書寫SAS”的格式時(shí)，要按照SAS”的順序書寫

6、,以表明三個(gè)元素的位置關(guān)系;SSA”不能證明兩個(gè)三角形全等/ / /5一在aBC和“?久AB= ?ZA= /? ， AC= ? ZABC0? (SAS)例題：1、如圖，在4ABC和BD中，AC與BD；AC=BD 口人c分析：在ZXADB和ABAC中AD = BC/DAB = /CBA相交十點(diǎn) E, AD=BC,/DAB = /CBA,求證:AB= BAZADBWBCA(SAS).BD=AC/A= /F.2、如圖，點(diǎn) A、B、C、D 在同一直線上，CE/DF,AC=DF,CE=BD,求證:分析：-.CE/DFzACE= ZD在aCE和zFDB中AC=FDZACE= ZDCE= DB.ZACEFD

7、B (SAS) zA= /F.3、如圖，AB=AD,AC 平分/BAD,求證：AABCzADC.分析：AC 平分/BAD,.BAC=/DAC.在MBC和9DC中AB= ADZBAC = ZDACAC=AC.ZABCADC(SAS).判定兩個(gè)三角形全等的條件：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ ASA”)在MBC 和 “?M/B= /?BC= ?/C= /? ZABC0? (ASA)例題：1、已知，/C=/CAF=90°，點(diǎn)E 在 AC 上，且 AE=BC,EF，AB 于點(diǎn) D.求證 AB=FE分析:.EFXAB 于點(diǎn) D, .zADE=90 . ./+ Z

8、2=90又."=90 0. ./+ ZB=90zB= Z2在2ABC和AFEA和ZB= /2BC=AE /C= /FAE.ZABC£EA(ASA).AB=FEBC=DC.2、如圖，已知 EC = AC, /BCE= /DCA, /A= /E,求證:分析：由已知條件求得/ BCA=/DCE,再利用“ASA 判定BCAzDCE,即可得證.證明.ZBCE=/DCA, zBCE+/ACE= zDCA + ZACE,即/BCA=/DCE.又.AC= EC, ZA=ZE,.zBCAzDCE(ASA),.BC = DC.判定兩個(gè)三角形全等的條件:兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形

9、全等（簡(jiǎn)寫成“角角邊”或AAS”)“AAS”是由“ASA”推導(dǎo)得出的，將兩者結(jié)合起來可知：兩個(gè)三角形如果具備兩個(gè)角和一 條邊對(duì)應(yīng)相等，就可判定其全等.在MBC和“?4一 ./B= /?ZC= /?AB= ? ZABC0? (AAS)例題：1、如圖，已知/1=Z2, /C=/D,求證：OC=OD.分析：在MBC于ABAD中/1= Z2ZC= ZDAB= BA.ZABCBAD (AAS). AD= BC= /= Z2. AO= BO. AD-AO = BC-BO即 OC=OD.2、已知：如圖，在 RtABC中，/ACB=90 ° ,AC= BC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，CEXAD ,垂足為點(diǎn)E

10、,BF /AC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：AC=2 BF.分析:.BF /AC 左=/FCA,RtMCD 中，CEXADzBCF+ ZF=90 0 , BCF+ ZADC=90zF= ZADC在aCD和房BF中ZACD= /CBF=90 /F= ZADCAC=BC .ZACD*BF(AAS) .CD=BF .D為BC中點(diǎn) .CD=BD11. BF=CD=BD=2BC=2AC貝U AC=2 BF判定兩個(gè)直角三角形全等的方法:斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫成“斜邊與直角邊”或“HL”）在 RtzABC 和 Rt7?7?7AB= ?BC= ?,_ _, _ L ''

11、; ，一 一一、 .RtMBC閑夕？?？（HL）例題：1、如圖，已知 AB，BD,AB/ED,AB=ED,要說明ABCzEDC,若以“SAS”為依據(jù)，還要添加的條件為？若添加條件 AC=EC.則可以用-公理（或定理）判定全等。BCD分析：-.AB±BD,AB /ED. EDIBDzB= ZD =90 °第一小問：v AB=ED在叢BC和AEDC中當(dāng)BC= DC時(shí)，ZABC06DC(SAS)第二小問：在 RtzABC 和 RtzTDC 中AB= EDAC=EC. RtAKBC 承tz£DC(HL)3、已知：如圖，AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AB平分/DAE.AEL

12、 BE,垂足為E.求證:AD = AE.分析：.AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，. AD ±BCzADB=90 °,.AEXABzE=90 °= ZADBAB平分/DAEzBAD= ZBAE在4DB和ZAEB中DB = ZEZBAD = ZBAEAB= AB,zADBAEB(AAS).AD=AE4、如圖，AD是ABC的高，E是AD上一點(diǎn),BE的延長(zhǎng)線交AC予點(diǎn)F,且BE=AC, DE= AC,你能說明BE與AC垂直嗎?D分析：能.只要說明/BFA= 90即可，即只要說明/+/ 2 =90即可，又 /1+/ 4=90 0 ,/ 2=/ 3,所以只要說明/艮|3=/應(yīng)考

13、慮ABED和9CD全等.以下證明略關(guān)于三角形全等的總結(jié):一般三角形的判定方法1.定義法：能夠完全重合的兩個(gè)三角形全等2.SAS:兩條邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等3.ASA:兩個(gè)角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等4.AAS:兩個(gè)角及其其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等5.SSS:三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等直角三角形的判定方法1.定義法；2.SAS; 3.ASA; 4.AAS; 5.SSS; 6HL不能判定三角形全等的兩種情況1.SSA:后兩邊和其中一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等2.AAA :有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等溫馨提示判定兩個(gè)三角形全等的每件中，“邊”是

14、必不可少的“SAS”包含“邊”和“角”兩種元素，是兩邊夾一角而不是兩邊和其中一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，一定要注意元素的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系 .“HL”是直角三角形所獨(dú)有的，對(duì)于一般三角形不成立.能力提升：(簡(jiǎn)單一一中等練習(xí)題)1、如圖，點(diǎn) A、B、D、E 在同一直線上，AD = EB,BC/DF,/C=/F,求證 AC=EF【解析】CABzFED (AAS)2、已知：如圖，點(diǎn) D是BC內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足 BD=CD,ZABD= CD,求證：AB=AC;AD【解析】(1) BD=CD,則/DBC=/DCB,所以/ABC=/ACB,則 AB = AC(2)證AABDACD (SAS)得 AD 平分/BAC延長(zhǎng)AD與

15、BC相交，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可證的 AD ± BC4、如圖，四邊形 ABCD中，AD = BC,且AD /BC, E、F是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AE=CF.求證MDFCBE.【解析】由AE=CF得AF=CE,索伊至DF美BE (SAS)5、如圖，在四邊形 ABCD中，AD /BC, E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,點(diǎn)G在BC邊上，且/GDF= ZADF.求證：那DEBFE連接EG,判斷EG與DF的位置關(guān)系，并說明理由.【解析】(1) AADEzBFE (ASA)或(AAS)(2)由(1)可知 E是 FD 的中點(diǎn)，因?yàn)? GDF=/ADF = /F,.GD-GF

16、根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，GE垂直且平分DF6、已知，如圖4ABC 中，AB=AC,ZA=50 0 , BD= CE,BF= CD,求/FDE 的度數(shù)【解析】/A=50 ° ,AB = AC 得出/B=/C=65 °可證AFBDRCE (SAS)得/BFD=/CDE 得/EDF=/B=65 °7、如圖，ACBD于點(diǎn)C,F是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)D交AC于點(diǎn)E,/B=/D互余(1)試說明：/A=/D.(2) 若 AE=1 , AC=CD=2.5 ,求 BD 的長(zhǎng).A【解析】(1) ZB+ZD=90。彳IDF，AB,根據(jù) 8 字型(/ A+/AFD =/D +/ACD )

17、可證ZA二/D(3) 根據(jù) ASA 可證AABCDEC,得 BD= BC+CD=1.5+2.5=48、如圖，ABC 中，AB=AC,/A=36 ° ,DE 垂直平分 AB,ZBEC 的周長(zhǎng)為 22, BC=9.(1) 求/EBC的度數(shù).(2) 求三角形ABC的周長(zhǎng).AliC【解析】(1) .AB = AC.&BC= ( 180 -36° ) + 2=72又 ED 垂直平分 AB ； zA= /ABE ； zEBC=72 -36 ° =36 °(3) 根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得 AE=BE. AC+BC=22 根據(jù) BC=9 可得 AC=13 . C&

18、#163;ABC=359、如圖在9BC與BD中，BC=BD,點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD中點(diǎn)，連接AE,AF,AE= AF.求證/C= ZD.【解析】先證4ABE4BF (SSS),再證zABC部BD (SAS)即可10、 已知：如圖，在等腰直角 ABC中，/BAC=90 ° ,BD平分/ABC,交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CE± BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)DF.(1)求證：BD=CF(2)若CE=4 ,求4BDF的面積.【解析】(1)證9人口0儂5 (ASA)即可(2)根據(jù)BD是角平分線，CE± BD可證BF=BC且E是CF的中點(diǎn)所以 Sab

19、df= - BD EF=- X8X4=16 2211、 如圖，點(diǎn) C 在線段 AB 上，AD /EB,AC=BE,AD = BC,CF 平分/DCE.求證：AACDBEC; CFXDE.【解析】(1) SAS可證三角形全等(3) 等腰三角形的性質(zhì)，底邊上三線合一可證 CFXDE12、 如圖，在zABC中，AB=CB,ZABC=90 0 ,F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn) E在BC上，且 AE=CF.(1) 若/CAE=30 ° ,求上CF的度數(shù).(2) 求證：AB=CE+BF.【解析】(1)疔BCEBA (HL)得/EAB=/FCB=15 ° ,所以zACF=60 °(3

20、) 由(1)可知 BF=BE, .,.AB= BC= CE+ BE= CE+ BF13、 已知AABC,其中 AB=BC=AC, /BAC=/B= ZACB=60 °，點(diǎn)D、E分別在 AB,BC 上且AD= BE,線段AE,CD相交于點(diǎn)F.(1) AE與CD相等嗎？請(qǐng)說明理由.(2) 求ZAFC的度數(shù).B E C【解析】(1) AABEzCAD (SAS)得 AE= CD(2) /AFC=/EAD+/ADC = /EAD + /AEB=120 °14、如圖，AABC是等邊三角形，點(diǎn)E、F分別在邊AB和AC上，且AE= BF.(1)求證：ABEBCF(2)若/ABE=20 0

21、 ,求上CF的度數(shù)(3)猜測(cè)/BOC的度數(shù)并證明你的猜想【解析】(1) AABEBCF (SAS)(2) /ACF=/ACB-/FCB=40 °(3) /BOC=120 0 ; /BOF=ZA=60 0 A 字型：即/ BOF+/BFO=/A+/AEB)15、如圖，在AABC 中，/ACB=90 ° ,AC= BC,AE 是邊 BC 的中線，過點(diǎn) C#CF±AE,垂足點(diǎn)為F,過點(diǎn)B作BDLBC交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.(1)試說明：AF=CD(2)若AC=12 cm ,求線段BD的長(zhǎng)度.BEC【解析】(1)證明ADBCECA (AAS 或 ASA)(2)由(1)可知

22、BD=EC= AC16、如圖：在AABC中，AB = AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上.(1)求證：BE= CE.(2)如圖2,若BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F,且BF±AC,垂足為F,/BAC=45 ° ,原題設(shè)其他 條件不變，求證：AEFBCF.【解析】等腰三角形三線合一的性質(zhì)等腰三角形底邊中線，垂線，頂角角平分線三線合一。(1) AD是BC的垂直平分線，.二BE=CE(2) /CAD=22.5 0 , FBC=22.5 , AF=BF,所以AAEF/BCF (ASA) 17、如圖，在AABC和RBC中，/ACB=/DBC=90 °無是BC的中點(diǎn)，DELAB,垂

23、足為點(diǎn)F,且 AB=DE.(1)求證：DB=BC.(2)若 BD=6cm ,求 AC 的長(zhǎng).【解析】(1) ffiADBEBCA (AAS/ASA)(3) AC=3cm18、在BBC中，BC= AC,/BCA=90 ° , P為直線上AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD，BP于點(diǎn)D,交直線BC于點(diǎn)Q.(1)如圖1,當(dāng)P在線段AC上時(shí)，請(qǐng)說明：BO = AQ.(2)如圖2,當(dāng)P在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？【解析】(1)證CBPgAQ (AAS)(2)成立 19、如圖，在 4ABC 中，/BAC=90 ° ,AB= AC,AD ± BC,垂足為 D,AE 平分

24、/BAD,交 BC 于 點(diǎn)E,在9BC外有一點(diǎn)F,使FAXAE, FCXBC.(1)求證：BE=CF(2)在AB上取點(diǎn)M ,使BM=2 DE,連接MC ,連接MC ,交AD于點(diǎn)N,連接ME,求證:MEXBC; CM 平分/ACB; DE= DN .【解析】(1) MFCAEB (ASA)20、如圖，AD是/BAC平分線，點(diǎn)E在AB上，且AE=AC, EF/BC交AC于點(diǎn)F,AD與CE于點(diǎn)G,與EF交于點(diǎn)H.(1)證明：AD垂直平分CE(2)若/BCE=40 0 ,求EHD 的度數(shù).BD C【解析】(1)證那EGzACG (SAS)即可(2) 50。21、如圖，/ABC=90 ° ,D,E 分別在 BC、AC 上，AD，DE,且 AD = DE,連結(jié) MC.(1)求證：/ FMC= ZFCM ;(2) AD與MC垂直嗎？請(qǐng)說明理由鼠C【解析】添加條件：“ F是AE中點(diǎn)”(1) AADM 04EC (AAS) , vFD=DE;FM-FC(2) AD ±MC , VED/MC , ADXDE; . .AD ±MC22、圖中是一副三角板，45°的三角板Rt ZDEF的直角頂點(diǎn)D恰好在30°的三角板RtMBC 斜邊 A