多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)ppt課件

1、ppt課件.1第七節(jié)一、一、 一元隱函數(shù)求導(dǎo)一元隱函數(shù)求導(dǎo)多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)多元隱函數(shù)求偏導(dǎo) 第七章第七章 二、二、 二元隱函數(shù)求偏導(dǎo)二元隱函數(shù)求偏導(dǎo)三、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式三、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式ppt課件.2定義定義.)(0),(（一元）隱函數(shù)（一元）隱函數(shù)稱為稱為確定的函數(shù)確定的函數(shù)由方程所由方程所xyyyxF .)(形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化回憶回憶:一元隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)一元隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)? ?方程兩邊直接關(guān)于方程兩邊直接關(guān)于x求導(dǎo)求導(dǎo). .一、一、 一元隱函數(shù)求導(dǎo)一元隱函數(shù)求導(dǎo)直接求導(dǎo)法！直接求導(dǎo)法

2、！ ppt課件.3例例1 1設(shè)設(shè)0esin2 xyyx, ,求求xydd. . 解解方程兩邊關(guān)于方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得 ，0)2(ecos2 yyxyyyx解得解得.2cose2xyyyyx ppt課件.4定義定義.),(0),(稱為二元隱函數(shù)稱為二元隱函數(shù)確定的函數(shù)確定的函數(shù)由方程所由方程所yxfzzyxF .),(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)yxfz 0),( zyxF),(yxfz 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化如果二元隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時(shí)，方程如果二元隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時(shí)，方程兩邊也可以直接求導(dǎo)，求導(dǎo)的過(guò)程中把兩邊也可以直接求導(dǎo)，求導(dǎo)的過(guò)程中把z視為視為x、y的二元函數(shù)

3、的二元函數(shù)z=f(x,y). .二、二、 二元隱函數(shù)求偏導(dǎo)二元隱函數(shù)求偏導(dǎo)ppt課件.5例例2 2解解由由方方程程1543 zxzyz確確定定隱隱函函數(shù)數(shù)),(yxzz ， 求求)0 , 0(xz , ,)0 , 0(yz . . 視視z為為yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxzz , , 方程兩邊關(guān)于方程兩邊關(guān)于x 求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù), ,得得 y23z344(zxz )xz xz ，054 xzz解得解得，22543zxzyzxz 51)0 , 0( xz當(dāng)當(dāng)0 yx時(shí)時(shí), ,1 z， ppt課件.6，2543zxzyzyz 例例2 2由由方方程程1543 zxzyz確確定定隱隱函函數(shù)數(shù)),

4、(yxzz ， 求求)0 , 0(xz , ,)0 , 0(yz . . 解解方程兩邊關(guān)于方程兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù), ,得得 yz323z34zx yz yz ，054 yzz解得解得.51)0,0( yzppt課件.7設(shè)設(shè)04222 zzyx，求求 22xz . 例例3 3視視z為為yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxzz , ,方方程程兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于x求求偏偏導(dǎo)導(dǎo), ,得得 解解0422 xzxzzx上式兩邊再次關(guān)于上式兩邊再次關(guān)于x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo), , ,02)(122222 xzxzzxzzxzxz 2)(1222 解得解得.)2()2(322zxz 02 xzxzzx zxxz

5、 2, 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求導(dǎo)也可以求導(dǎo)也可以ppt課件.8三、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式三、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：，則則若若確定隱函數(shù)確定隱函數(shù)設(shè)方程設(shè)方程0)(0),(. 1 yFxyyyxF.ddyxFFxy 一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：，則則若若確定隱函數(shù)確定隱函數(shù)設(shè)方程設(shè)方程0),(0),(. 2 zFyxzzzyxFzyzxFFyzFFxz ,二元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式二元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式ppt課件.9證：證：方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo),由鏈?zhǔn)椒▌t由鏈?zhǔn)椒▌t得得0dd xyFFyx.ddyxFFxy ：，則則若若確定隱函數(shù)確定隱函數(shù)設(shè)方程設(shè)方程0)(0),(. 1 yFxyyyx

6、F.ddyxFFxy Fyxxppt課件.10：，則則若若確定隱函數(shù)確定隱函數(shù)設(shè)方程設(shè)方程0),(0),(. 2 zFyxzzzyxFzyzxFFyzFFxz ,證：證：方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo),由鏈?zhǔn)椒▌t得由鏈?zhǔn)椒▌t得xF zF xz 0 ，解得解得zxFFxz .zyFFyz 同樣可得同樣可得Fzyxyxppt課件.11：，則則若若確定隱函數(shù)確定隱函數(shù)設(shè)方程設(shè)方程0)(0),(. 1 yFxyyyxF.ddyxFFxy ：，則則若若確定隱函數(shù)確定隱函數(shù)設(shè)方程設(shè)方程0),(0),(. 2 zFyxzzzyxFzyzxFFyzFFxz ,注：注：.,. 1看成常量，其他類似看成常量，

7、其他類似時(shí)暫時(shí)將時(shí)暫時(shí)將故求故求，都是在對(duì)中間變量求導(dǎo)都是在對(duì)中間變量求導(dǎo)利用公式時(shí)，求利用公式時(shí)，求zyFFFFxzyx 負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)！利利用用公公式式時(shí)時(shí)，不不要要忘忘記記. 2采采用用直直接接求求導(dǎo)導(dǎo)法法！求求高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)利利用用公公式式求求導(dǎo)導(dǎo)只只能能求求一一, 3.ppt課件.12，確定隱函數(shù)確定隱函數(shù)方程方程)(0),(xyyyxF .ddyxFFxy 例例 4設(shè)設(shè),222xyx 求求.ddxy解解,2),( 22xyxyxF 令令則則,22 xFx,2yFy 由公式得由公式得, xydd.1222yxyx ppt課件.13,yxF x yxy11lnlnyxx

8、yxyFyxyyyFxxxy 例例5 5yxxy，求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) dydx解解 設(shè)設(shè) 則則 所以所以 1lnyxxFyxyy1lnyxyFxxxy，確定隱函數(shù)確定隱函數(shù)方程方程)(0),(xyyyxF .ddyxFFxy 再再求求導(dǎo)導(dǎo)！以以前前的的做做法法：先先取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù) ppt課件.14設(shè)設(shè)04222 zzyx，求求 22xz . 例例3 3法法2.2.上式兩邊再次關(guān)于上式兩邊再次關(guān)于x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo), , 22 xz得得.)2()2(322zxz 設(shè)設(shè)zzyxzyxF4),(222 ),(0),(yxzzzyxF 確定隱函數(shù)確定隱函數(shù)方程方程zyzxFFyzFFxz ,則則

9、,2xFx zxFFxz zx 242 zFz2)2()2(zxzxz ppt課件.15利用隱函數(shù)的求導(dǎo)公式得利用隱函數(shù)的求導(dǎo)公式得 xzFzxF 2yzzxy 2yzzxy yzFzyF 2xzzxy 2xzzxy 解解:令令 ,則則33( , , )3F xyzzxyza 23,3,33xyzFyz Fxz Fzxy 例例6 6 設(shè)設(shè) , 求求333zxyza 2zx y 分析分析：如果令：如果令 , 則由方程則由方程 33( , , )3F xyzzxyza( , , )0F x y z 確定了確定了 是是 的函數(shù)的函數(shù),求求 用隱函數(shù)求導(dǎo)法。但在求二階混用隱函數(shù)求導(dǎo)法。但在求二階混合偏

10、導(dǎo)時(shí)，應(yīng)采用直接求導(dǎo)法。合偏導(dǎo)時(shí)，應(yīng)采用直接求導(dǎo)法。 zxy，zx ppt課件.1622()zyzx yy zxy 222()()(2)()zzzyzxyyzzxyyzxy 422223(2)()z zxyzx yzxy 計(jì)算計(jì)算 時(shí)，我們采用在方程兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)，我們采用在方程兩邊同時(shí)對(duì) 求偏導(dǎo)的方法求偏導(dǎo)的方法, 2zx y y并視并視 為為 的二元函數(shù)的二元函數(shù) , 得得z,x y( , )z x yxzFzxF 2yzzxy ppt課件.17例例 7, zxyz 設(shè)設(shè)求求.dz解解因?yàn)橐驗(yàn)?lnzzFxx ,1 zyyzF,ln1yyxzFzxz 所以所以,lnln1yyzxzzxzzx

11、x 令令.),(zxyzzyxF ,ln11yyzxzyyzzxz xxzyyzzzxzxdlnlnd1 .dlnd11yyyzxyyzzxz ppt課件.18練習(xí)練習(xí)1 1. 求由方程01esinyxyx確定的隱函數(shù)( )yf x的導(dǎo)數(shù).練習(xí)練習(xí)2設(shè)設(shè),432222 zyx求求.,2yxzxz ppt課件.19練習(xí)練習(xí)1. 求由方程01esinyxyx確定的隱函數(shù)( )yf x解解: 令, 1esin),(yxyyxFx,eyFxx則xyFy cos的導(dǎo)數(shù).ddyxxyFF xy cosyxeppt課件.20練習(xí)練習(xí)2設(shè)設(shè),432222 zyx求求.,2yxzxz 解解 令令.432),(2

12、22 zyxzyxF,2xFx ,4yFy .6zFz 所以所以 xz zx62,3zx yz,3264zyzy ppt課件.21再求二階導(dǎo)數(shù)，再求二階導(dǎo)數(shù)，有有 xzyyxz2 zyx13yzzx 213 zyzx3232.923zxy ppt課件.22小結(jié)：小結(jié)：1.1.隱函數(shù)求導(dǎo)的兩種方法隱函數(shù)求導(dǎo)的兩種方法 直接求導(dǎo)法直接求導(dǎo)法公式法公式法2.2.注意兩種方法的區(qū)別注意兩種方法的區(qū)別. .3.3.兩種方法至少要掌握一種兩種方法至少要掌握一種. .ppt課件.23作業(yè)：作業(yè)：P88 習(xí)題習(xí)題7.72. 3. 5. 6.ppt課件.24一一、 填填空空題題: :1 1、 設(shè)設(shè)xyyxarc

13、tanln22 , ,則則 dxdy_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、設(shè)設(shè)zxyz , ,則則 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, , yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 設(shè)設(shè),32)32sin(2zyxzyx 證證明明：. 1 yzxz練練 習(xí)習(xí) 題題ppt課件.25三三、 如如 果果 函函 數(shù)數(shù)),(zyxf對(duì)對(duì) 任任 何何t恒

14、恒 滿滿 足足 關(guān)關(guān) 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,則則稱稱函函數(shù)數(shù)),(zyxf為為 k次次齊齊次次函函數(shù)數(shù), ,試試證證: :k次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)滿滿足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . .四四、設(shè)設(shè).,3233yxzaxyzz 求求五五、求求由由下下列列方方程程組組所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)或或偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù): :1 1、 設(shè)設(shè) 203222222zyxyxz , ,求求.,dxdzdxdy2 2、 設(shè)設(shè) ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中g(shù)f ,具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)）ppt課件.26六、六、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu由方程組由方程組 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所確定所確定, , 且且., 0, 0dxduzhyg求求 ( (hgf,均可微均可微) )七、七、 設(shè)設(shè)),(txfy 而而t是由方程是由方程0),( tyxF所確定的所確定的yx,的函數(shù)的函數(shù), ,求求.dxdy八、八、 設(shè)設(shè)),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxF =0=0 所確定所確定, , 證明證明: :xyzyzyxzx . .ppt課件.27一、一、1 1、yxyx ； 2 2、yyxzzzzxxlnln1 ； 3 3、yyxzzyzxzln11 . .四、四、32222