量子力學(xué)總復(fù)習(xí)2014

1、第一公設(shè)：波函數(shù)公設(shè)“一個(gè)微觀粒子體系的狀態(tài)，用一個(gè)波函數(shù)(x, t)來完全描述，它（可以）是粒子的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。而且在(x, t)的分布區(qū)域中找到粒子的幾率由dP=dv表示，這里為的復(fù)數(shù)共軛。從而，(x, t)在其分布區(qū)域中必須處處單值、連續(xù)、可微(除個(gè)別點(diǎn)、線、面之外)，對(duì)此區(qū)域的任意部分都是平方可積的?！斌w系的量子態(tài)用Hilbert空間中的 態(tài)矢量表示。 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋Hilbert空間中存在不同的力學(xué)量表象 4.1態(tài)的表象波函數(shù)的歸一化問題波函數(shù)的性質(zhì)，要求流密度的意義與應(yīng)用波函數(shù)的意義，幾率詮釋，性質(zhì)力學(xué)量本征態(tài)在自身表象中的表達(dá)波函數(shù)的幾率解釋波函數(shù)的要求。歸一化 幾

2、率及幾率流密度 束縛態(tài)，非束縛態(tài)態(tài)矢態(tài)疊加原理 希爾伯特空間第二公設(shè)：算符公設(shè)“各力學(xué)量(可觀察的物理量)均分別以線性厄米算符表示。這些算符作用于態(tài)的波函數(shù)。在這種由力學(xué)量到算符的眾多對(duì)應(yīng)規(guī)則中，基本的規(guī)則是坐標(biāo)x和動(dòng)量p向它們算符、的對(duì)應(yīng)。這個(gè)對(duì)應(yīng)要求?！?ixppx 并不是所有量子力學(xué)的力學(xué)量算符都有經(jīng)典力學(xué)量與之對(duì)應(yīng)。，例如，量子力學(xué)中的自旋 22112211)( AcAcccA iprr prL 22222 pKVVKH 222 3.1表示力學(xué)量的算符 3.2動(dòng)量算符與角動(dòng)量算符第一公設(shè)和第二公設(shè)結(jié)合：如果有一個(gè)特殊的態(tài) 存在，)()(rrnnn )()(rarAnnn 是 的本征值為

3、an的本征函數(shù))(rn )(rn A)(r )(rn A只要 是可觀察力學(xué)量，也即 的本征函數(shù)構(gòu)成完備集，則一定可用 的本征函數(shù)族將任意態(tài) 展開：)(rn Ex.自由粒子的動(dòng)量算符的本征態(tài)定態(tài) 本征函數(shù)完全系 正交歸一性定態(tài)特點(diǎn)，定態(tài)性質(zhì)定態(tài)的疊加表象 3.5厄米算符本征函數(shù)的正交性力學(xué)量算符在表象中的表示第三公設(shè)：測(cè)量公設(shè)或平均值公設(shè) rdrrrdrArA3*3*)()()()( ” rdrArA3*)()( “一個(gè)微觀粒子體系處于波函數(shù)為 的狀態(tài)，若對(duì)它測(cè)量可觀測(cè)力學(xué)量的數(shù)值，所測(cè)得的的平均值(期望值)為)(r 若(r)是歸一的，則 3.6力學(xué)量算符與力學(xué)量的關(guān)系平均值 的計(jì)算第一，平均值

4、是指對(duì)大量相同的態(tài) 作多次觀測(cè)的平均結(jié)果。這里有所謂多次平均測(cè)量結(jié)果和單次測(cè)量結(jié)果。)(r 第二，如果 不是算符的本征函數(shù)，只要是可觀察力學(xué)量，也即 的本征函數(shù)構(gòu)成完備集，則一定可用 的本征函數(shù)族 展開：這里 是 的本征值為an的本征函數(shù)， )(r )(rn AA)(rn A)()(rrnnn )()(rarAnnn 在單次測(cè)量中，測(cè)得的數(shù)值必定總是的本征值之一，不可能是本征值以外的數(shù)值，這是和經(jīng)典力學(xué)測(cè)量截然不同之處；得到該力學(xué)量某個(gè)本征值的幾率是被測(cè)態(tài)波函數(shù)對(duì)該力學(xué)量本征態(tài)展式的相應(yīng)系數(shù)的模方。作為決定幾率權(quán)重的這些系數(shù)隨被測(cè)態(tài)的演化可能會(huì)隨時(shí)間變化。 處于某力學(xué)量本征態(tài)下，對(duì)該力學(xué)量的測(cè)

5、量取確定值。 nnnnnaA22 第三，即使在量子力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量的數(shù)值總應(yīng)當(dāng)是實(shí)數(shù)(力學(xué)量的取值總應(yīng)當(dāng)是實(shí)數(shù))，所以要求對(duì)任一波函數(shù) ， 均為實(shí)數(shù)。事實(shí)上這是被保證了的。因?yàn)?是厄米算符，于是有)(r AA *)()()()(rdrArrdrAr 第四，每次測(cè)量之后，態(tài) 即受嚴(yán)重干擾，并總是向該次測(cè)量中所得本征值的本征態(tài)突變過去。就某一單次測(cè)量而言(除非 已是該被測(cè)力學(xué)量的某一本征態(tài))，究竟向哪個(gè)本征態(tài)突變，就象測(cè)得的本征值一樣，是完全不能預(yù)先預(yù)言的。就是說，由測(cè)量引起的突變總是向被測(cè)力學(xué)量 的本征態(tài)之一突變，而且這種突變是隨機(jī)的、無法預(yù)計(jì)的、不可逆的、超出量子力學(xué)描述范圍的。 )(r )(

6、r A第二公設(shè)和第三公設(shè)結(jié)合：厄米算符 力學(xué)量算符矩陣的特點(diǎn)：厄米矩陣第四公設(shè)：微觀體系動(dòng)力學(xué)演化公設(shè)或Schrdinger方程公設(shè) 如果說在“測(cè)量公設(shè)”中所涉及的狀態(tài)坍縮是隨機(jī)的、不可預(yù)測(cè)的，不符合經(jīng)典觀念的因果律的話，那么在本公設(shè)中完全規(guī)定了狀態(tài)波函數(shù)隨空間和時(shí)間的變化規(guī)則。這里不存在任何隨機(jī)的、不可預(yù)測(cè)的成分。就是說，描述狀態(tài)的波函數(shù)是完全遵循經(jīng)典觀念下的因果律的。這兩方面態(tài)演化的決定論形式和態(tài)測(cè)量的隨機(jī)坍縮形式的有機(jī)結(jié)合就是微觀世界的新的因果律，是de Broglie波達(dá)到因果律?！耙粋€(gè)微觀粒子體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足如下薛定諤方程),(),(),(),(),(trirHtrprHttri

7、 這里 為體系的哈密頓算符，又稱為體系的哈密頓量，H”)(2)(2)(222rVrVprVTH 定態(tài)問題2.3 薛定諤(Schrdinger)方程幾個(gè)薛定諤方程解析求解的體系：一維無限深勢(shì)阱一維線性諧振子庫倫場(chǎng)（氫原子）本征能量22228naEn axaxaxanaxn02sin1)(）（ 本征函數(shù))()(221nnnHeN)()(2221xHeNxnxnn本征函數(shù)本征能量nnnEn, 3 , 2 , 1 , 021 lmnlYrRrnneZElmnlnlmn , 2, 1, 01, 2 , 1 , 0),()(),(, 3 , 2 , 122242 2.6一維無限深勢(shì)阱2. 7 線性諧振子

8、3.3電子在庫侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 3.4氫原子能級(jí)的簡并量子力學(xué)的第五個(gè)公設(shè)：全同性原理公設(shè)量子力學(xué)的第五個(gè)公設(shè)：全同性原理公設(shè) 全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變。描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，其對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。如果體系在某一時(shí)刻處于對(duì)稱（或反對(duì)稱）態(tài)上，則它將永遠(yuǎn)處于對(duì)稱（或反對(duì)稱）態(tài)上。2 2 個(gè)Fermi 子體系，其反對(duì)稱化波函數(shù)是以但粒子波函數(shù)表示)()()()(21),(),(21),(2121122121qqqqqqqqqqjjiiA 波色子費(fèi)米子全同粒子 )cos1( mchAhmVm 221第一章第一章黑體輻射譜密度光電發(fā)射

9、康普頓散射 dTkTcdT),(8),(23 KmbbTm 310897. 2 42833424/1067. 5158 KmWhckTE 經(jīng)典物理理論結(jié)構(gòu)特征 hK絕對(duì)黑體：輻射 、反射 、吸收、譜波長紅限 普朗克常數(shù) 所有本課提及的物理史的重要實(shí)驗(yàn)1.0 經(jīng)典物理理論的內(nèi)容與結(jié)構(gòu)特征1.1 輻射（光）的微粒性波爾原子論（波三點(diǎn)）phhE/ 德布羅意波概念波長與波矢1.3 原子結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的Bohr理論定態(tài)滿足量子化條件：3,2, 1 nnLL其其中中的的整整數(shù)數(shù)倍倍，即即只只能能取取電電子子的的角角動(dòng)動(dòng)量量原子具有能量不連續(xù)的E1,E2,., En （穩(wěn)）定（狀）態(tài)；hEEmnmn 定態(tài)之間存

10、在量子躍遷；同時(shí)將發(fā)射（吸收）一個(gè)光子。光子的頻率：1.4 德布羅意wave-particle duality假設(shè)波粒二象性性的概念與表述，辨析錯(cuò)誤“顆粒性”+衍射、 干涉；疊加原理成立態(tài)：波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（ 幾率和幾率密度）、標(biāo)準(zhǔn)條件、歸一化涵義 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋2.2 態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理表述，涵義（貫穿所有章節(jié)）混合態(tài)的幾率2.3 薛定諤(Schrdinger)方程意義、形式（自由粒子、勢(shì)場(chǎng)中）i的含義2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律三種密度三種流密度數(shù)學(xué)形式 2.5 定態(tài)薛定諤方程（能量本征值方程）：所有體系的薛定諤方程：自由粒子、一維無限深勢(shì)阱、一維線性諧振子、庫倫場(chǎng)中的電子

11、、氫原子的電子，本征波函數(shù)、本征值。定態(tài)薛定諤方程，及其意義、所有體系本征值、本征函數(shù)、歸一化、簡并與宇稱第二章第二章勢(shì)壘貫穿概念，透射系數(shù)及其影響因素 2.6一維無限深勢(shì)阱2. 7 線性諧振子本征波函數(shù)nnnEn, 3 , 2 , 1 , 021 )exp()(),(tEixtxnnn )(21exp!22221xHtEixnnnn 能量本征值定態(tài)Schrdinger方程： )()(21222222xExxdxd 2.8 勢(shì)壘貫穿 axaxnaxanAxn02sin)(為正整數(shù)為正整數(shù)）（ 本征波函數(shù)本征能量：22228naEn （1 1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)3

12、.3.再論波函數(shù)的性質(zhì)再論波函數(shù)的性質(zhì)a. 描寫粒子的波函數(shù)(r, t)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即, d(r, t) =|(r, t)|2 d b. 已知 (r, t)， 則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，即，描寫粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。c.知道體系所受力場(chǎng)和相互作用及初始時(shí)刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時(shí)刻的狀態(tài)。3.1表示力學(xué)量的算符厄米算符的定義和性質(zhì)算符的運(yùn)算（和、積、等）、共軛 、轉(zhuǎn)置 、厄密共軛*O*O O通過內(nèi)積定義 dOdO*)()(*),(),(* OO dOdO *)(*)

13、,(),( OO ),(),(*)(* OOdOdO 或或厄米算符的本征值和平均值為實(shí)數(shù)OO F本征方程本征方程本征值本征值稱為其稱為其本征函數(shù)本征函數(shù)力學(xué)量算符為線性的厄米算符力學(xué)量算符為線性的厄米算符 第三章第三章 3.2動(dòng)量算符與角動(dòng)量算符動(dòng)量算符、角動(dòng)量算符的本征方程問題動(dòng)量算符的表達(dá)（表象有關(guān)）、本征波函數(shù)及其歸一化、本征值。角動(dòng)量算符的構(gòu)成（坐標(biāo)系有關(guān)）、本征波函數(shù)及其Ylm歸一化、本征值。sin1)(sinsin122222 L iLzlmYYlmePNYmlmlmimmllmmlm , 3, 2, 1),()1(),(, 2 , 1 , 0)(cos)1(),(* 的本征值：2

14、L, 2 , 1 , 0) 1(22 lllL 的本征值: L ) 1( llL, 2, 1, 021)( memlimmz （1）球諧函數(shù)系 是 與 有共同的本征函數(shù)系z(mì)L2L ),( lmY（2 2）簡并情況）簡并情況 ),(),(),()1(),(22 lmlmzlmlmYmYLYllYL 的本征值 僅由角量子數(shù)l確定，而本征函數(shù) 卻由l和 m確定。對(duì)于一個(gè)l值，可取 ，共有2l+1 個(gè)l值相同而m值不同的本征函數(shù)與同一個(gè)本征值 對(duì)應(yīng)。2L2) 1( lll , 2, 1, 0),( lmY2) 1(ll 即 屬于本征值 的線性獨(dú)立本征函數(shù) 有2l+1 個(gè)。因此, 的本征值 是2l+1度

15、簡并的。 ),( lmY2)1( ll2L2L2)1( ll 3.3電子在庫侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)輳力場(chǎng)、有心力場(chǎng)、中心力場(chǎng)、庫倫力場(chǎng)的關(guān)系。電子受核的吸引，其勢(shì)為庫侖勢(shì)rZers2)(U ErU )(222庫倫場(chǎng)中電子的力場(chǎng)的Schrodinger方程：ErUrrrr )(sin1)(sinsin1)(12222222YY 222sin1)(sinsin1 0)(2)(12222 rrUEdrdRrdrdr 磁量子數(shù)磁量子數(shù) lm , 2, 1, 0角量子數(shù)角量子數(shù) 1,2, 1,0 nl,3,2,1 n主量子數(shù)主量子數(shù)電子處在束縛態(tài)時(shí)能量本征值和波函數(shù)3電子的能量本征值與波函數(shù)lmnlYrRrnne

16、ZElmnlnlmn , 2, 1, 01, 2 , 1 , 0),()(),(, 3 , 2 , 122242 是 的共同本征函數(shù)系 ),( rnlm zLLH,2關(guān)于能量簡并度問題，與n的關(guān)系及其條件與力場(chǎng)的關(guān)系波函數(shù)的宇稱問題，具有l(wèi)宇稱。 3.4 氫原子)(22),(),(222221122121rUHrrErrHT 其其中中氫原子外電子的 Schrodinger 方程： )()()()(2)()()()(2221222REERrErrUrTRr 22222),()(zyxrrzezyxUrUs 氫原子外電子的勢(shì)能氫原子相對(duì)運(yùn)動(dòng)定態(tài)Schrodinger方程的解及其意義：),()()(

17、, 3 , 2 , 12224 lmnlnlmnYrRrnneE 氫原子核外電子的概率分布：徑向分布、角分布3.5厄密算符本征函數(shù)的正交性屬于厄米算符的不同本征值的本征函數(shù)相互正交。3. 6 算符與力學(xué)量的關(guān)系可能的測(cè)量值與幾率、平均值的求法。內(nèi)積： mnmndnmmn10* 3.7 算符對(duì)易關(guān)系、兩力學(xué)量同時(shí)可測(cè)的條件、測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系對(duì)易子、（注意順序）基本力學(xué)量算符 的對(duì)易關(guān)系、 2,LLpxiii力學(xué)量同時(shí)有確定值的（必要）條件測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系(不確定原理)（Heisenberg Uncertainty Principle ）4)()()(222kGF 3.8 力學(xué)量隨時(shí)間的變化 守恒律力學(xué)量守恒

18、的條件1 1坐標(biāo)算符、動(dòng)量算符的表示形式及它們間的對(duì)易關(guān)系；坐標(biāo)算符、動(dòng)量算符的表示形式及它們間的對(duì)易關(guān)系；2 2角動(dòng)量算符的表示形式及相關(guān)的對(duì)易關(guān)系；角動(dòng)量算符的表示形式及相關(guān)的對(duì)易關(guān)系；3 3動(dòng)量算符本征函數(shù)的兩種歸一化：箱歸一化和動(dòng)量算符本征函數(shù)的兩種歸一化：箱歸一化和 函數(shù)歸一函數(shù)歸一 化；化；4 4角動(dòng)量算符的共同本征函數(shù)及所對(duì)應(yīng)的本征值；角動(dòng)量算符的共同本征函數(shù)及所對(duì)應(yīng)的本征值；5 5正點(diǎn)電荷庫倉場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的定態(tài)薛定諤方程及其求解的正點(diǎn)電荷庫倉場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的定態(tài)薛定諤方程及其求解的 基本步驟；定態(tài)波函數(shù)的表達(dá)形式；束縛態(tài)的能級(jí)及其簡基本步驟；定態(tài)波函數(shù)的表達(dá)形式；束縛態(tài)的能級(jí)及其

19、簡 并度；氫原子的能級(jí)、光譜線的規(guī)律；電子在核外的概率并度；氫原子的能級(jí)、光譜線的規(guī)律；電子在核外的概率 分布；電離能和里德伯常數(shù)；分布；電離能和里德伯常數(shù)；6 6量子力學(xué)的力學(xué)量與厄米算符的關(guān)系；厄米算符的本征函量子力學(xué)的力學(xué)量與厄米算符的關(guān)系；厄米算符的本征函 數(shù)組成正交完備集；數(shù)組成正交完備集；7 7在什么情況下力學(xué)量具有確定值；力學(xué)量可能值、概率、在什么情況下力學(xué)量具有確定值；力學(xué)量可能值、概率、 平均值的計(jì)算方法，兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件；平均值的計(jì)算方法，兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件；8 8不確定關(guān)系及其應(yīng)用；不確定關(guān)系及其應(yīng)用；9 9守恒量的判斷方法。守恒量的判斷方法。內(nèi)

20、容內(nèi)容一個(gè)基本概念：一個(gè)基本概念：厄米算符（作用及其基本性質(zhì)）；厄米算符（作用及其基本性質(zhì)）；兩個(gè)假設(shè)：兩個(gè)假設(shè)： 力學(xué)量用厄米算符表示；力學(xué)量用厄米算符表示； 狀態(tài)用厄米算符本征態(tài)表示，力學(xué)量狀態(tài)用厄米算符本征態(tài)表示，力學(xué)量 算符的本征值為力學(xué)量的可測(cè)值算符的本征值為力學(xué)量的可測(cè)值三個(gè)力學(xué)量計(jì)算值：三個(gè)力學(xué)量計(jì)算值：確定值、可能值、平均值；確定值、可能值、平均值；四個(gè)力學(xué)量算符的本征態(tài)及本征值：四個(gè)力學(xué)量算符的本征態(tài)及本征值：坐標(biāo)算符，動(dòng)量坐標(biāo)算符，動(dòng)量 算符，角動(dòng)量算符及能量算符（哈密頓算算符，角動(dòng)量算符及能量算符（哈密頓算 符）及它們的本征值。符）及它們的本征值。一個(gè)關(guān)系：一個(gè)關(guān)系：力學(xué)

21、量算符間的對(duì)易關(guān)系（特別是坐標(biāo)力學(xué)量算符間的對(duì)易關(guān)系（特別是坐標(biāo) 算符與動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系，角動(dòng)量算符算符與動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系，角動(dòng)量算符 對(duì)易關(guān)系）對(duì)易關(guān)系）三個(gè)定理三個(gè)定理: : 共同本征態(tài)定理（包括逆定理）共同本征態(tài)定理（包括逆定理） 不確定關(guān)系不確定關(guān)系 力學(xué)量守恒定理力學(xué)量守恒定理重點(diǎn)掌握內(nèi)容重點(diǎn)掌握內(nèi)容展開系數(shù)：任一狀態(tài)可展開：dqxutaxutatxqqnnn)()()()(),( |),(),()()(),()()(*uudxtxxutadxtxxutaqqnn在這樣的表象中， 可以用一個(gè)列矩陣表示： )()()()(21tatatataqn *)(*)(*)(*)(21tat

22、atataqn Hilbert空間：滿足態(tài)迭加原理的狀態(tài)全體構(gòu)成的復(fù)線性空間態(tài)矢量： Hilbert空間中的矢量，即體系的狀態(tài)波函數(shù)視為一個(gè)矢量稱為態(tài)矢量（簡稱態(tài)矢）第四章第四章4.1態(tài)的表象坐 標(biāo) 表象2222xTxipxxx 動(dòng) 量 表 象 22xxxxpTpppix 4.2 算符的矩陣表示 FF顯而易見，對(duì)角矩陣元為實(shí)數(shù)nnnnFF * nQQQQ0000021 )(| )()(),()(),()(*xuFxuxuFxudxxuixFxuFmnmnmxnnm1歸一化條件 1)()()()(*,),(*),(*2121 tatatatatatanm1 )()()()(*,),(*),(*21212