量子力學總復習2014

1、第一公設：波函數公設“一個微觀粒子體系的狀態(tài)，用一個波函數(x, t)來完全描述，它（可以）是粒子的坐標和時間的函數。而且在(x, t)的分布區(qū)域中找到粒子的幾率由dP=dv表示，這里為的復數共軛。從而，(x, t)在其分布區(qū)域中必須處處單值、連續(xù)、可微(除個別點、線、面之外)，對此區(qū)域的任意部分都是平方可積的。”體系的量子態(tài)用Hilbert空間中的 態(tài)矢量表示。 2.1 波函數的統計解釋Hilbert空間中存在不同的力學量表象 4.1態(tài)的表象波函數的歸一化問題波函數的性質，要求流密度的意義與應用波函數的意義，幾率詮釋，性質力學量本征態(tài)在自身表象中的表達波函數的幾率解釋波函數的要求。歸一化 幾

2、率及幾率流密度 束縛態(tài)，非束縛態(tài)態(tài)矢態(tài)疊加原理 希爾伯特空間第二公設：算符公設“各力學量(可觀察的物理量)均分別以線性厄米算符表示。這些算符作用于態(tài)的波函數。在這種由力學量到算符的眾多對應規(guī)則中，基本的規(guī)則是坐標x和動量p向它們算符、的對應。這個對應要求。” ixppx 并不是所有量子力學的力學量算符都有經典力學量與之對應。，例如，量子力學中的自旋 22112211)( AcAcccA iprr prL 22222 pKVVKH 222 3.1表示力學量的算符 3.2動量算符與角動量算符第一公設和第二公設結合：如果有一個特殊的態(tài) 存在，)()(rrnnn )()(rarAnnn 是 的本征值為

3、an的本征函數)(rn )(rn A)(r )(rn A只要 是可觀察力學量，也即 的本征函數構成完備集，則一定可用 的本征函數族將任意態(tài) 展開：)(rn Ex.自由粒子的動量算符的本征態(tài)定態(tài) 本征函數完全系 正交歸一性定態(tài)特點，定態(tài)性質定態(tài)的疊加表象 3.5厄米算符本征函數的正交性力學量算符在表象中的表示第三公設：測量公設或平均值公設 rdrrrdrArA3*3*)()()()( ” rdrArA3*)()( “一個微觀粒子體系處于波函數為 的狀態(tài)，若對它測量可觀測力學量的數值，所測得的的平均值(期望值)為)(r 若(r)是歸一的，則 3.6力學量算符與力學量的關系平均值 的計算第一，平均值

4、是指對大量相同的態(tài) 作多次觀測的平均結果。這里有所謂多次平均測量結果和單次測量結果。)(r 第二，如果 不是算符的本征函數，只要是可觀察力學量，也即 的本征函數構成完備集，則一定可用 的本征函數族 展開：這里 是 的本征值為an的本征函數， )(r )(rn AA)(rn A)()(rrnnn )()(rarAnnn 在單次測量中，測得的數值必定總是的本征值之一，不可能是本征值以外的數值，這是和經典力學測量截然不同之處；得到該力學量某個本征值的幾率是被測態(tài)波函數對該力學量本征態(tài)展式的相應系數的模方。作為決定幾率權重的這些系數隨被測態(tài)的演化可能會隨時間變化。 處于某力學量本征態(tài)下，對該力學量的測

5、量取確定值。 nnnnnaA22 第三，即使在量子力學實驗中，測量的數值總應當是實數(力學量的取值總應當是實數)，所以要求對任一波函數 ， 均為實數。事實上這是被保證了的。因為 是厄米算符，于是有)(r AA *)()()()(rdrArrdrAr 第四，每次測量之后，態(tài) 即受嚴重干擾，并總是向該次測量中所得本征值的本征態(tài)突變過去。就某一單次測量而言(除非 已是該被測力學量的某一本征態(tài))，究竟向哪個本征態(tài)突變，就象測得的本征值一樣，是完全不能預先預言的。就是說，由測量引起的突變總是向被測力學量 的本征態(tài)之一突變，而且這種突變是隨機的、無法預計的、不可逆的、超出量子力學描述范圍的。 )(r )(

6、r A第二公設和第三公設結合：厄米算符 力學量算符矩陣的特點：厄米矩陣第四公設：微觀體系動力學演化公設或Schrdinger方程公設 如果說在“測量公設”中所涉及的狀態(tài)坍縮是隨機的、不可預測的，不符合經典觀念的因果律的話，那么在本公設中完全規(guī)定了狀態(tài)波函數隨空間和時間的變化規(guī)則。這里不存在任何隨機的、不可預測的成分。就是說，描述狀態(tài)的波函數是完全遵循經典觀念下的因果律的。這兩方面態(tài)演化的決定論形式和態(tài)測量的隨機坍縮形式的有機結合就是微觀世界的新的因果律，是de Broglie波達到因果律?！耙粋€微觀粒子體系的狀態(tài)波函數滿足如下薛定諤方程),(),(),(),(),(trirHtrprHttri

7、 這里 為體系的哈密頓算符，又稱為體系的哈密頓量，H”)(2)(2)(222rVrVprVTH 定態(tài)問題2.3 薛定諤(Schrdinger)方程幾個薛定諤方程解析求解的體系：一維無限深勢阱一維線性諧振子庫倫場（氫原子）本征能量22228naEn axaxaxanaxn02sin1)(）（ 本征函數)()(221nnnHeN)()(2221xHeNxnxnn本征函數本征能量nnnEn, 3 , 2 , 1 , 021 lmnlYrRrnneZElmnlnlmn , 2, 1, 01, 2 , 1 , 0),()(),(, 3 , 2 , 122242 2.6一維無限深勢阱2. 7 線性諧振子

8、3.3電子在庫侖場中的運動 3.4氫原子能級的簡并量子力學的第五個公設：全同性原理公設量子力學的第五個公設：全同性原理公設 全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變。描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數只能是對稱的或反對稱的，其對稱性不隨時間改變。如果體系在某一時刻處于對稱（或反對稱）態(tài)上，則它將永遠處于對稱（或反對稱）態(tài)上。2 2 個Fermi 子體系，其反對稱化波函數是以但粒子波函數表示)()()()(21),(),(21),(2121122121qqqqqqqqqqjjiiA 波色子費米子全同粒子 )cos1( mchAhmVm 221第一章第一章黑體輻射譜密度光電發(fā)射

9、康普頓散射 dTkTcdT),(8),(23 KmbbTm 310897. 2 42833424/1067. 5158 KmWhckTE 經典物理理論結構特征 hK絕對黑體：輻射 、反射 、吸收、譜波長紅限 普朗克常數 所有本課提及的物理史的重要實驗1.0 經典物理理論的內容與結構特征1.1 輻射（光）的微粒性波爾原子論（波三點）phhE/ 德布羅意波概念波長與波矢1.3 原子結構穩(wěn)定性的Bohr理論定態(tài)滿足量子化條件：3,2, 1 nnLL其其中中的的整整數數倍倍，即即只只能能取取電電子子的的角角動動量量原子具有能量不連續(xù)的E1,E2,., En （穩(wěn)）定（狀）態(tài)；hEEmnmn 定態(tài)之間存

10、在量子躍遷；同時將發(fā)射（吸收）一個光子。光子的頻率：1.4 德布羅意wave-particle duality假設波粒二象性性的概念與表述，辨析錯誤“顆粒性”+衍射、 干涉；疊加原理成立態(tài)：波函數的統計解釋（ 幾率和幾率密度）、標準條件、歸一化涵義 2.1 波函數的統計解釋2.2 態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理表述，涵義（貫穿所有章節(jié)）混合態(tài)的幾率2.3 薛定諤(Schrdinger)方程意義、形式（自由粒子、勢場中）i的含義2.4粒子流密度和粒子數守恒定律三種密度三種流密度數學形式 2.5 定態(tài)薛定諤方程（能量本征值方程）：所有體系的薛定諤方程：自由粒子、一維無限深勢阱、一維線性諧振子、庫倫場中的電子

11、、氫原子的電子，本征波函數、本征值。定態(tài)薛定諤方程，及其意義、所有體系本征值、本征函數、歸一化、簡并與宇稱第二章第二章勢壘貫穿概念，透射系數及其影響因素 2.6一維無限深勢阱2. 7 線性諧振子本征波函數nnnEn, 3 , 2 , 1 , 021 )exp()(),(tEixtxnnn )(21exp!22221xHtEixnnnn 能量本征值定態(tài)Schrdinger方程： )()(21222222xExxdxd 2.8 勢壘貫穿 axaxnaxanAxn02sin)(為正整數為正整數）（ 本征波函數本征能量：22228naEn （1 1）波函數完全描述粒子的狀態(tài)）波函數完全描述粒子的狀態(tài)3

12、.3.再論波函數的性質再論波函數的性質a. 描寫粒子的波函數(r, t)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即, d(r, t) =|(r, t)|2 d b. 已知 (r, t)， 則任意力學量的平均值、可能值及相應的幾率就都知道了，即，描寫粒子狀態(tài)的一切力學量就都知道了。所以波函數又稱為狀態(tài)波函數或態(tài)函數。c.知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時刻的狀態(tài)。3.1表示力學量的算符厄米算符的定義和性質算符的運算（和、積、等）、共軛 、轉置 、厄密共軛*O*O O通過內積定義 dOdO*)()(*),(),(* OO dOdO *)(*)

13、,(),( OO ),(),(*)(* OOdOdO 或或厄米算符的本征值和平均值為實數OO F本征方程本征方程本征值本征值稱為其稱為其本征函數本征函數力學量算符為線性的厄米算符力學量算符為線性的厄米算符 第三章第三章 3.2動量算符與角動量算符動量算符、角動量算符的本征方程問題動量算符的表達（表象有關）、本征波函數及其歸一化、本征值。角動量算符的構成（坐標系有關）、本征波函數及其Ylm歸一化、本征值。sin1)(sinsin122222 L iLzlmYYlmePNYmlmlmimmllmmlm , 3, 2, 1),()1(),(, 2 , 1 , 0)(cos)1(),(* 的本征值：2

14、L, 2 , 1 , 0) 1(22 lllL 的本征值: L ) 1( llL, 2, 1, 021)( memlimmz （1）球諧函數系 是 與 有共同的本征函數系zL2L ),( lmY（2 2）簡并情況）簡并情況 ),(),(),()1(),(22 lmlmzlmlmYmYLYllYL 的本征值 僅由角量子數l確定，而本征函數 卻由l和 m確定。對于一個l值，可取 ，共有2l+1 個l值相同而m值不同的本征函數與同一個本征值 對應。2L2) 1( lll , 2, 1, 0),( lmY2) 1(ll 即 屬于本征值 的線性獨立本征函數 有2l+1 個。因此, 的本征值 是2l+1度

15、簡并的。 ),( lmY2)1( ll2L2L2)1( ll 3.3電子在庫侖場中的運動輳力場、有心力場、中心力場、庫倫力場的關系。電子受核的吸引，其勢為庫侖勢rZers2)(U ErU )(222庫倫場中電子的力場的Schrodinger方程：ErUrrrr )(sin1)(sinsin1)(12222222YY 222sin1)(sinsin1 0)(2)(12222 rrUEdrdRrdrdr 磁量子數磁量子數 lm , 2, 1, 0角量子數角量子數 1,2, 1,0 nl,3,2,1 n主量子數主量子數電子處在束縛態(tài)時能量本征值和波函數3電子的能量本征值與波函數lmnlYrRrnne

16、ZElmnlnlmn , 2, 1, 01, 2 , 1 , 0),()(),(, 3 , 2 , 122242 是 的共同本征函數系 ),( rnlm zLLH,2關于能量簡并度問題，與n的關系及其條件與力場的關系波函數的宇稱問題，具有l(wèi)宇稱。 3.4 氫原子)(22),(),(222221122121rUHrrErrHT 其其中中氫原子外電子的 Schrodinger 方程： )()()()(2)()()()(2221222REERrErrUrTRr 22222),()(zyxrrzezyxUrUs 氫原子外電子的勢能氫原子相對運動定態(tài)Schrodinger方程的解及其意義：),()()(

17、, 3 , 2 , 12224 lmnlnlmnYrRrnneE 氫原子核外電子的概率分布：徑向分布、角分布3.5厄密算符本征函數的正交性屬于厄米算符的不同本征值的本征函數相互正交。3. 6 算符與力學量的關系可能的測量值與幾率、平均值的求法。內積： mnmndnmmn10* 3.7 算符對易關系、兩力學量同時可測的條件、測不準關系對易子、（注意順序）基本力學量算符 的對易關系、 2,LLpxiii力學量同時有確定值的（必要）條件測不準關系(不確定原理)（Heisenberg Uncertainty Principle ）4)()()(222kGF 3.8 力學量隨時間的變化 守恒律力學量守恒

18、的條件1 1坐標算符、動量算符的表示形式及它們間的對易關系；坐標算符、動量算符的表示形式及它們間的對易關系；2 2角動量算符的表示形式及相關的對易關系；角動量算符的表示形式及相關的對易關系；3 3動量算符本征函數的兩種歸一化：箱歸一化和動量算符本征函數的兩種歸一化：箱歸一化和 函數歸一函數歸一 化；化；4 4角動量算符的共同本征函數及所對應的本征值；角動量算符的共同本征函數及所對應的本征值；5 5正點電荷庫倉場中電子運動的定態(tài)薛定諤方程及其求解的正點電荷庫倉場中電子運動的定態(tài)薛定諤方程及其求解的 基本步驟；定態(tài)波函數的表達形式；束縛態(tài)的能級及其簡基本步驟；定態(tài)波函數的表達形式；束縛態(tài)的能級及其

19、簡 并度；氫原子的能級、光譜線的規(guī)律；電子在核外的概率并度；氫原子的能級、光譜線的規(guī)律；電子在核外的概率 分布；電離能和里德伯常數；分布；電離能和里德伯常數；6 6量子力學的力學量與厄米算符的關系；厄米算符的本征函量子力學的力學量與厄米算符的關系；厄米算符的本征函 數組成正交完備集；數組成正交完備集；7 7在什么情況下力學量具有確定值；力學量可能值、概率、在什么情況下力學量具有確定值；力學量可能值、概率、 平均值的計算方法，兩個力學量同時具有確定值的條件；平均值的計算方法，兩個力學量同時具有確定值的條件；8 8不確定關系及其應用；不確定關系及其應用；9 9守恒量的判斷方法。守恒量的判斷方法。內

20、容內容一個基本概念：一個基本概念：厄米算符（作用及其基本性質）；厄米算符（作用及其基本性質）；兩個假設：兩個假設： 力學量用厄米算符表示；力學量用厄米算符表示； 狀態(tài)用厄米算符本征態(tài)表示，力學量狀態(tài)用厄米算符本征態(tài)表示，力學量 算符的本征值為力學量的可測值算符的本征值為力學量的可測值三個力學量計算值：三個力學量計算值：確定值、可能值、平均值；確定值、可能值、平均值；四個力學量算符的本征態(tài)及本征值：四個力學量算符的本征態(tài)及本征值：坐標算符，動量坐標算符，動量 算符，角動量算符及能量算符（哈密頓算算符，角動量算符及能量算符（哈密頓算 符）及它們的本征值。符）及它們的本征值。一個關系：一個關系：力學

21、量算符間的對易關系（特別是坐標力學量算符間的對易關系（特別是坐標 算符與動量算符的對易關系，角動量算符算符與動量算符的對易關系，角動量算符 對易關系）對易關系）三個定理三個定理: : 共同本征態(tài)定理（包括逆定理）共同本征態(tài)定理（包括逆定理） 不確定關系不確定關系 力學量守恒定理力學量守恒定理重點掌握內容重點掌握內容展開系數：任一狀態(tài)可展開：dqxutaxutatxqqnnn)()()()(),( |),(),()()(),()()(*uudxtxxutadxtxxutaqqnn在這樣的表象中， 可以用一個列矩陣表示： )()()()(21tatatataqn *)(*)(*)(*)(21tat

22、atataqn Hilbert空間：滿足態(tài)迭加原理的狀態(tài)全體構成的復線性空間態(tài)矢量： Hilbert空間中的矢量，即體系的狀態(tài)波函數視為一個矢量稱為態(tài)矢量（簡稱態(tài)矢）第四章第四章4.1態(tài)的表象坐 標 表象2222xTxipxxx 動 量 表 象 22xxxxpTpppix 4.2 算符的矩陣表示 FF顯而易見，對角矩陣元為實數nnnnFF * nQQQQ0000021 )(| )()(),()(),()(*xuFxuxuFxudxxuixFxuFmnmnmxnnm1歸一化條件 1)()()()(*,),(*),(*2121 tatatatatatanm1 )()()()(*,),(*),(*21212