考研數(shù)學(xué)一真題解析-

1、_2010 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué) (一)試卷一、選擇題 (1-8小題 ,每小題 4 分,共 32分 ,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求 ,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)x2x(1) 極限 lim=x ( x a)( x b)(A)1(B) e(C) ea b(D) eb a【考點(diǎn)分析】：考察型不定性極限?！厩蠼膺^(guò)程】：方法一 ：利用求冪指型極限的一般方法：歸結(jié)為求w lim xlnx2( x a)( xb)xlim x ln 1x21x( x a)( x b)lim xx21x (x a)( x b)(ab)xablim xx( xa)( xb)ab因此，選

2、C【基礎(chǔ)回顧】 ：對(duì)于一般的冪指型極限有：limf (x) g( x ) lim eg (x)ln f (x ) elim g( x)ln f ( x )精品資料_方法二 ：利用第二個(gè)重要極限求解x2xx2xI limlim11x(xa)( xb)x( xa)( x b)1 ( ab) xabx( a b) xabxlimlimex( x a)( xb)x( xa)( xb)eab【基礎(chǔ)回顧】：一般地，對(duì)于型極限，均可利用第二個(gè)重要極限求解：設(shè) lim f ( x)1， lim g(x)，則lim f (x) g (x )lim 1 f ( x)g( x )1elim( f ( x) 1) g

3、( x)(2) 設(shè)函數(shù) zz( x, y) 由方程 F ( y ,z) 0 確定 , 其中 F 為可微函數(shù),且 F20, 則xxzzxy=xy(A) x(B) z(C)x(D) z【考點(diǎn)分析】：隱函數(shù)求導(dǎo)【求解過(guò)程】：方法一 ：全微分法方程 F ( y , z )0 兩邊求全微分得：x xF1yz0，即 F1xdy ydxF2xdz zdx0d ( ) F2 d ( )x2x2xx整理得 dzyF1zF2 dxF1 dyxF2F2精品資料_所以，z yF1zF2zF1。代入即可求得zyzx，xz 。選 B.xF2yF2xy方法二 ：隱函數(shù)求導(dǎo)公式法記 G ( x, y, z)Fy , z，對(duì)于

4、隱函數(shù) G( x, y, z) 0,利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式得：x xF1yF2zzG Gx2x2yF1zF21，xxzxF2F2xzGGF11F1xyyzF21F2x代入即可求得xzzyz 。選 B 。xy方法三 ：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法由方程 Fy , z0 可確定 zz( x, y) 。方程 Fy , z0 兩邊分別對(duì)x,y 求偏導(dǎo)，xxxx注意 zz( x, y) 。由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：F1(y)F2z1z對(duì) x 求偏導(dǎo) :x2x2x0x對(duì) y 求偏導(dǎo)：1F21z0xxyF1zyF1zF2zF1解得：xF2F2xy代入即可求得x zyzz 。選 B 。xy【方法總結(jié)】：上述三種方法是求解此類(lèi)問(wèn)題的三

5、種典型方法。要熟悉隱函數(shù)求導(dǎo)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)容易出錯(cuò)，注意多加練習(xí)。精品資料_1 m ln 2 (1x)(3) 設(shè) m, n 為正整數(shù) ,則反常積分nxdx 的收斂性0(A) 僅與 m 取值有關(guān)(B) 僅與 n 取值有關(guān)(C) 與 m, n 取值都有關(guān)(D) 與 m, n 取值都無(wú)關(guān)【考點(diǎn)分析】：反常積分的判斂法則，超綱題【基礎(chǔ)回顧】：利用反常積分的判斂法則對(duì)瑕點(diǎn)為 xb 的瑕積分bf ( x)dx ，設(shè) f (x) 在 a,b) 上連續(xù)，且 f ( x) 0，有如下判a斂準(zhǔn)則：mb 若b xf xkkm 則 f (x)dx收斂；lim()(),0,01,ax bmb 若

6、lim()(),0,1,則發(fā)散。x bb x f x kkmaf (x)dx【求解過(guò)程】：m ln 2 (1x)，所以 x=1因?yàn)?limnx為瑕點(diǎn)。x 1m ln 2 (1 x)22 1而 limlimxm2 1n1lim x m n ，所以 x=0 是否為瑕點(diǎn)取決于是否為x 0xx0xnx 0mn負(fù)數(shù)。1 m ln2(1x)12(1x)2(1 x)Idx2m ln1 m ln0n0ndx1ndxxx2x1 mln2(1x)m2(1 x)21ln僅當(dāng)0ndx 與 1ndx都收斂， I 收斂，否則 I 發(fā)散。x2x1 m ln 2 (1x)dx 的斂散性20nx精品資料_212(1x)11x0

7、時(shí)， m ln2(1 x) x m ，2m lndx 與22 dx 斂散性相同，n10x0xnm1 21121 m ln 2 (1 x)因?yàn)?m,n 均為正整數(shù)， 所以2dx 收斂，n-1,mn若 21n 則 r ( A)r ( AB)m, r ( B)r ( AB)m ，與r ( Am n )min( m, n),r ( Bn m )min(m,n) 矛盾故必是 m X=0, 即 BX=0 有唯一零解，故 r (Bn m )m同理設(shè)方程組AT X0 ，兩邊左乘 BT ，得BT(ATX)(BT AT)X(AB)T XETXEXXBT ( AT X )BT O0X0 ，即 AT X0 有唯一零解

8、，故r ( AT n m )m ，r ( Am n )m ，選 A精品資料_(6)設(shè) A 為 4 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 ,且 A2A0, 若 A 的秩為 3,則 A 相似于1111(A)(B)11001111(C)(D)1100【考點(diǎn)分析】：矩陣特征值的求解，對(duì)稱(chēng)矩陣必相似于對(duì)角陣，相似矩陣的秩相等【求解過(guò)程】：方法一：矩陣多項(xiàng)式方程與矩陣特征值的關(guān)系由 A2A 0 得矩陣的特征值滿足方程20 ，所以0, 1由于為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故可相似對(duì)角化，即A ，對(duì)角陣對(duì)角線上的元素為的特征值由于的秩為，所以的秩也為，所以對(duì)角線上的元素一個(gè)為，其他為。綜上，選 D【基礎(chǔ)回顧】 ：若給定矩陣的多項(xiàng)式方程f ( A)0

9、 ，則的特征值滿足 f ()0 ，由此求得的值為矩陣的全部特征值方法二：用分塊矩陣設(shè)按列分塊為A1, 2, 3 , 4 ，由 r ( A) 3 知的列向量組的極大無(wú)關(guān)組含個(gè)向量，不妨設(shè)1,2 , 3 為的列向量組的極大無(wú)關(guān)組，由于A2A ，即A1,2,3,41,2,3,4即A1,A2,A3,A41,2,3,4精品資料_得 A ii ,i 1,2,3,4由此可知是的特征值，且1 ,2 , 3 是對(duì)應(yīng)的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故是的至少 3 重特征值。而r(A)=34, 所以 0 也是 A 的一個(gè)特征值，于是A 的全部特征值為-1 ，-1 ，-1,0 ；且每個(gè)特征值的重?cái)?shù)等于其對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向

10、量的個(gè)數(shù)。因此A 相似于對(duì)角陣 D=diag(-1,-1,-1,0),選 D0; x0(7) 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù) F ( x)1 ;0x1 ，則PX 1=21 e x; x1(A)0(B)1(C)1e 1(D) 1e 12【考點(diǎn)分析】：由分布函數(shù)求概率【基礎(chǔ)回顧】：利用分布函數(shù)的性質(zhì)：P( Xx)F (x)F ( x )【求解過(guò)程】：P( X1)F (1)F (1 ) , 由分布函數(shù) F(x) 得 F (1)1 e 1 ， F (1 ) lim F (x)1x 12所以， P( X1)1e 1 ，選 C2(8) 設(shè) f1 (x) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度, f2 (x) 為 1,3 上

11、均勻分布的概率密度,精品資料_af1(x)x0f ( x)( x)x(a 0, b 0)bf20為概率密度 ,則 a, b 應(yīng)滿足(A) 2a3b4(B) 3a2b(C) ab1(D) ab2【考點(diǎn)分析】：概率密度的性質(zhì)和正態(tài)分布和均勻分布的性質(zhì)【求解過(guò)程】：01f ( x)dx a f1 (x) dx bf2 (x)dx001由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)得f1 ( x) dx(0)2f 2 ( x)1 , x1,3由均勻分布的性質(zhì)得4，所以f 2 ( x)dx0, x01,3所以，1 a3 b1，即 2a+3b=4, 選 A2443 13。dx404二、填空題 (9-14小題 ,每小題 4 分 ,共

12、 24分 ,請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.)t22ydt(9) 設(shè) x e , yln(1 u )du , 求2=.0dxt 0【考點(diǎn)分析】：參數(shù)方程求導(dǎo)、變上限積分求導(dǎo)【求解過(guò)程】：方法一 ：利用參數(shù)方程求導(dǎo)公式求解精品資料_dydy dtln(1 t 2 )tt2)dxdx dte te ln(1dydyt2)t 2td 2 yd ( dx) d ( dx) dte ln(1 te21 tdx2dxdx dte td 2 y把 t=0 代入上式即可得0 ，填 0；2dxt 0方法二 ：消去參數(shù)再求導(dǎo)數(shù)。由 xe t 得 tln x，且 t=0 時(shí)， x=1 ，則ytu2 ) duln x2

13、 )duln(10ln(1 u0dyln(1ln 2 x)1dxx2yddy112ln x1ddxxln(1 ln2dx2dxx1ln 2 xx)x2d 2 y0，填 0把 x=1 代入上式得dx2 t0【自我總結(jié)】：方法一較常用，方法二僅作為參考。2(10)x cos xdx =.0【考點(diǎn)分析】：定積分的變量替換和分部積分【求解過(guò)程】：令 tx ，則精品資料_2t costdt 22 t2 costdt0x cos xdx002t 2 d sint2t 2 sintsin tdt 200040t sin tdt40td cost4t cost 040costdt4填 4 。(11) 已知曲線

14、 L的方程為 y 1x x 1,1, 起點(diǎn)是 (1,0), 終點(diǎn)是 (1,0),則曲線積分xydxx2dy =.L【考點(diǎn)分析】：第二類(lèi)曲線積分、格林公式【求解過(guò)程】：方法一： 用參數(shù)法求解第二類(lèi)曲線積分y 1 x1x, x0,11x, x1,0)xydxx2dyx(1x)dxx2d (1 x)x(1 x) dx x2 d(1 x)LABBC0x)x2 dx1x) x2 dx x(1 x(1，填 0。100方法二： 加減弧線，利用格林公式求解。添加直線段 L1CA精品資料_如上圖： L ABBC，記 L1 CA。則 LL1 為閉曲線且所圍區(qū)域記為D,此時(shí)， P(x, y) xy, Q( x, y

15、)x2xydxx2dyxydxx2dyxydxx2 dyLP dL L1L1Q0dx1Dxy1xd0D由于積分域 D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，且被積函數(shù)是x 的奇函數(shù)，所以xd0。填 0D方法三： 湊全微分法被積表達(dá)式分為兩部分，一部分易求出原函數(shù)，另一部分直接化為定積分xydx x2dy2 xydxx2 dyxydxLLL，填 0d( x2 y)1x2 y(1,0)x(1 x )dx0 0L1( 1,0)(12) 設(shè)( x, y, z) | x2y2z1, 則的形心的豎坐標(biāo)z =.【考點(diǎn)分析】：三重積分的物理應(yīng)用，形心坐標(biāo)公式【求解過(guò)程】：如圖所示：精品資料_zdxdydz形心公式：zdxdydz

16、三重積分的計(jì)算：方法一： 截面法用先二后一的公式分別求解這兩個(gè)三重積分。與Z 軸垂直的截面區(qū)域 D( z) : x2y2z 的面積為 z 。又zdxdydz1zdxdy1zdz1dzz30D ( z)0dxdydz1dxdy11dzzdz002D ( z)122所以， z313，填32方法二： 柱坐標(biāo)用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分211111z2zdxdydzdrdrr2 zdz2rdr0002r 21( r r 5 )dr302111r 2 ) drdxdydz0drdrr2 dz2r (1002122所以， z313，填32(13) 設(shè) (1,2,1,0)T , (1,1,0,2)T , (2,1

17、,1,)T , 若由 , , 形成的向量空間123123精品資料_的維數(shù)是2,則=.【考點(diǎn)分析】：向量空間維數(shù)的概念【求解過(guò)程】：方法一： 矩陣初等變換因?yàn)?，?, , 形成的向量空間的維數(shù)是2，所以， r (,)2 。對(duì)矩陣 (,)123123123進(jìn)行初等行變換得：112112112(1,2,3)211 013 01310101300a 602a02a000所以， a=6. 填 6方法二： 向量空間與基底1,2 , 3 形成的向量空間的維數(shù)是2，其中1,2 不成比例，線性無(wú)關(guān)，是該向量空間的一組基，所以3 可由1, 2 線性表出，即方程組1, 2 X3 有解。由1 1 21 121121,

18、2|32 1 101301310 1360 100 a0 2 a0 2a000 1, 2X3 有解r ( 1 , 2 )r ( 1, 2 | 3)a 6 ，填 6C2(14) 設(shè)隨機(jī)變量X 概率分布為 P Xk( k0,1,2,), 則 EX=.【考點(diǎn)分析】：概率分布基本性質(zhì)，泊松分布及其性質(zhì)【求解過(guò)程】：精品資料_方法一： 識(shí)記泊松分布的期望和方差根據(jù)概率分布的基本性質(zhì)，可知 1P X kCCe，所以， Ce 1 。即隨機(jī)變k 0k0 k!量 X 服從參數(shù)為1 的泊松分布。則 E(X) D(X)1，所以 E(X2) D(X)E( X )22 ，填 2。方法二： 推導(dǎo)泊松分布的期望和方差同方法一求出 Ce 1 ，若不記得泊松分布的期望與方差的性質(zhì)，可直接計(jì)算EX2k2P( Xk)k2 e 1e1kk !k 1 (k 1)!k 0k 0e 1i 1e 1i1e 11e ，填 2i 0i !i 0 i !i 0 i !i 1 (i1)!e 11ee 1 ee2j 0 j !【方法小結(jié)】：方法一： X 服從參數(shù)為的泊松分布，則其E( X )D ( X )方法二： 推導(dǎo)過(guò)程用到了ex 的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式， 但對(duì)于填空題來(lái)講， 方法一較為快速準(zhǔn)確。精品資料_三、解答題 (15 23 小題 ,共 94 分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)(15