新5-3線性代數(shù)第三節(jié)相似矩陣及實對稱陣的對角化

1、第三節(jié)第三節(jié)相似矩陣及實對稱陣的對角化相似矩陣及實對稱陣的對角化 一、一、相似矩陣與相似變換的概念相似矩陣與相似變換的概念.,., , 111的的相似變換矩陣相似變換矩陣變成變成稱為把稱為把可逆矩陣可逆矩陣進(jìn)行進(jìn)行相似變換相似變換稱為對稱為對行運算行運算進(jìn)進(jìn)對對相似相似與與或說矩陣或說矩陣的的相似矩陣相似矩陣是是則稱則稱使使若有可逆矩陣若有可逆矩陣階方陣階方陣都是都是設(shè)設(shè)定義定義BAPAAPPABAABBAPPPnBA- - -= =說明：說明：矩陣間的相似關(guān)系比等價要求更高。矩陣間的相似關(guān)系比等價要求更高。 等價具有的性質(zhì)，相似之間的矩陣也具等價具有的性質(zhì)，相似之間的矩陣也具有。有。等價關(guān)系

2、：存在可逆矩陣等價關(guān)系：存在可逆矩陣P,QP,Q使得矩陣使得矩陣A A與與B B之間滿之間滿足：足：B=PAQB=PAQ在上式中，在上式中，P P與與Q Q之間不一定是互為可逆的關(guān)系。之間不一定是互為可逆的關(guān)系。即：相似一定等價，但等價不一定相似。即：相似一定等價，但等價不一定相似。所以相似的矩陣間秩相等。所以相似的矩陣間秩相等。1. 等價關(guān)系等價關(guān)系 . 22111211PAPPAPPAAP- - - -= = ., . 3為正整數(shù)為正整數(shù)相似相似與與則則相似相似與與若若mBABAmm二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì).本身相似本身相似與與AA.,相似相似與與則則相似相似與與若若ABBA.,相相似

3、似與與則則相相似似與與相相似似與與若若CACBBA反身性反身性)1()2(對稱性對稱性傳遞性傳遞性)3(證明證明相似與BA) 1 ( PEPAPPEB 11- - - -= =- - PEAP - -= =- -1PEAP - -= =- -1.EA - -= = PAPkPAPkPAkAkP21211122111. 4- - - - = = .,21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kkBAPPP=-1,使得可逆陣.,)2() 1 (:, 1的特征值亦相同與從而的特征多項式相同與則相似與階矩陣若定理BABABABAn=BAPPPAPAPPABAPP=-1111,于是，故相似與BA)2(BAPPP=

4、-1,使得可逆陣注： 的特征值是推論推論 若若 階方陣階方陣A A與對角陣與對角陣n = = n 21.,21個特征值個特征值的的即是即是則則相似相似nAn =n21.,21n利用對角矩陣計算矩陣多項式利用對角矩陣計算矩陣多項式,1PPBA- -= =若若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110 - - - - - - - = = =Ak的多項式的多項式AEaAaAaAaAnnnn = =- - -1110)( .)(1PBP- -= = .1PBPk- -= =則則PEaBaBaBaPnnnn11110)(- - - - = =PPB1- -PPB1- -PPB1- -PPB

5、1- -k個個,1為對角矩陣為對角矩陣使使若可逆矩陣若可逆矩陣特別地特別地 = =- -APPP, 1PPAkk- - = =則則.)()(1PPA- - = = 有有對于對角矩陣對于對角矩陣, ,21 = = knkkk,)()()()(111 = = 利用上述結(jié)論利用上述結(jié)論可以很方便地可以很方便地計算矩陣計算矩陣A 的的多項式多項式 .)(A .)(,)(OAfAf= =則則的特征多項式的特征多項式是矩陣是矩陣設(shè)設(shè) 定理定理證明證明.)(與對角矩陣相似的情形只證明A使使則有可逆矩陣則有可逆矩陣與對角矩陣相似與對角矩陣相似若若,PA),(11 ndiagAPP= = = =- -. 0)(

6、,= = iifA的特征值的特征值為為其中其中有有由由,1PPA- - = =)(Af.1OPPO= = =- -PPf1)(- - = =PffPn11)()(- - = = ., 1可相似對角化就稱方陣為對角陣使若可找到可逆矩陣階方陣對AAPPPAn=-證明證明,1為為對對角角陣陣使使假假設(shè)設(shè)存存在在可可逆逆陣陣 = =- -APPP .,21npppPP= =用用其其列列向向量量表表示示為為把把三、利用相似變換將方陣對角化.)( 2個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量有有的充分必要條件是的充分必要條件是能對角化能對角化即即與對角矩陣相似與對角矩陣相似階矩陣階矩陣定理定理nAAAn =

7、 =nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp = = nnApApAppppA,2121= = ., 2 , 1nipApiii= = = 于于是是有有nnppp,2211=,1 = = = =- -PAPAPP得得由由., 的的特特征征向向量量的的對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可見見iiiApPA .,.,2121nnpppnApppP線性無關(guān)的特征向量個有即線性無關(guān)所以可逆由于從而則有：次為又設(shè)其對應(yīng)的特征值依令個線性無關(guān)的特征向量有若反之)., 2 , 1(.,),(., 212121nipAppppPpppnAiiin

8、nn=.,.),(),(),(1212121221121相似與對角陣故于是可逆，線性無關(guān)，故由于即有=AAPPPpppPAPpppppppppAnnnnnn命題得證命題得證. 如果如果 階矩陣階矩陣 的的 個特征值互不相等，個特征值互不相等，則則 與對角陣相似與對角陣相似推論推論nAAn說明：如果說明：如果 的特征方程有重根，此時不一定有的特征方程有重根，此時不一定有 個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能不一定能對角化，但如果能找到對角化，但如果能找到 個線性無關(guān)的特征向量，個線性無關(guān)的特征向量， 還是能對角化還是能對角化AAnnA（這是因為不同特征值所對應(yīng)的

9、特征向量是線性無關(guān)的）（這是因為不同特征值所對應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的）.)., 2 , 1( 3個線性無關(guān)的特征向量，存在于特征值對相似的充分必要條件是與對角矩陣則的重數(shù)為的特征值階矩陣設(shè)定理iiiinArinAn=可以證明：下面結(jié)論成立注：定理中的條件即是A的有重根的全部特征值所對應(yīng)的齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系中應(yīng)含有 個解向量.0)(=-xEAiin例例1 1 判斷下列實矩陣能否化為對角陣？判斷下列實矩陣能否化為對角陣？ - - - - -= =242422221)1(A - - - - -= =201335212)2(A解解EA - -由由)1( 722 - - -= = 0= = -

10、 - - - - - - -= =242422221. 7, 2321- -= = = = 得得 得方程組得方程組代入代入將將, 02121= =- -= = =EA = =- - = = - - -= = - - -04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.110,10221 = = = = , 0, 73= =- - -= =xEA 由由對對求得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系2, 2 , 13-=T, 0211210102 | ),( | 321=由于.,321線線性性無無關(guān)關(guān)所所以以 .,3 化化可對角可對角因而因而個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征

11、向量有有即即AA,同理同理 - - - - - - - -= =- -201335212EA 31 - -= = - - - - -= =201335212)2(A. 1321- -= = = = 的特征值為的特征值為所以所以A , 01= =- - -= =xEA 代入代入把把解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,) 1, 1 , 1 (- -= =T 故故 不能化為對角矩陣不能化為對角矩陣.A - - - - -= =163053064A設(shè)設(shè)(1)A能否對角化？若能對角能否對角化？若能對角,P則則求求出出可可逆逆矩矩陣陣化化例例2 2.1為為對對角角陣陣使使APP- -99)2(A求解解(1) -

12、 - - - - - - -= =- -163053064EA 212 - - -= = . 2, 1321- -= = = = 的全部特征值為的全部特征值為所以所以A 得方程組得方程組代入代入將將0121= =- -= = =xEA = =- - -= =- - -= = 063063063212121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,0121 - -= = .1002 = = 解解系系得得方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)代代入入將將, 02 3= =- - -= =xEA .1 , 1 , 13- -= =T .,321線線性性無無關(guān)關(guān)由由于于 - - -= = =110101102, 3

13、21 P令令.200010001 1 - -= =- -APP則則有有所以所以 可對角化可對角化.A-=ZkPPAPPAAPPkk, ) 2(111從而，故由-=-=kkkkk) 2(00010001) 2(00010001 而)(110101102200010001110101102)2(00010001 19919999計算量大大減少！故=-=-=-PPA注意注意 , ,213 = = = P若令若令111- -012- -100. 1 = =- -APP則有則有00 00002- -11即矩陣即矩陣 的列向量和對角矩陣中特征值的位置的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)要相互對應(yīng)P例

14、例3,30014011=tA設(shè)矩陣.,)2(.) 1 (1100=-APPPAtA使，及可逆陣，并求出相似于對角陣使確定的特征值求解(1) 1()3(300140112-=-=-tEAA的特征多項式為. 113:, 13100100100100321=-），（即為的特征值，的特征值為則iAA時，當(dāng)3)2(21-=-00000021100024012)3(ttEAr.021,10020)3(, 1)3(,021=-=-ppxEAEARt個的解：的基礎(chǔ)解系中有故方程組時當(dāng).可對角化故A時，當(dāng)13-0001000211)(rEA.02110)(, 2)(,3-=pxEAEAR個的解：的基礎(chǔ)解系中有故

15、方程組此時-=-=-100030003001220110),(1321APPpppP則故可令定理定理4 4實對稱矩陣的特征值為實數(shù)實對稱矩陣的特征值為實數(shù). .證明證明(略略), 對應(yīng)的特征向量為復(fù)向量的特征值為對稱矩陣設(shè)復(fù)數(shù)xA. 0, = =xxAx 即即, 的的表示表示用用 共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)xAxA= = 則則 .xxAx = = = =四、四、(實實)對稱矩陣的性質(zhì)對稱矩陣的性質(zhì)說明說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指明，均指實對稱矩陣實對稱矩陣, 的的表示表示xx共軛復(fù)向量共軛復(fù)向量于是有于是有AxxTAxxT 及及 AxxT= =xxT

16、= =,xxT = = xAxTT= = xxAT= = xxT = =.xxT = =兩式相減，得兩式相減，得 . 0= =- -xxT , 0 x但因為但因為 , 0= =- - , = =即即.是實數(shù)由此可得, 0 121 = = = = = =niiniiiTxxxxx所以所以定理定理4 4的意義的意義.,0,0)( , 以取實向量以取實向量從而對應(yīng)的特征向量可從而對應(yīng)的特征向量可系系知必有實的基礎(chǔ)解知必有實的基礎(chǔ)解由由是實系數(shù)方程組是實系數(shù)方程組線性方程組線性方程組所以齊次所以齊次為實數(shù)為實數(shù)的特征值的特征值由于對稱矩陣由于對稱矩陣= =- -= =- -EAxEAAiii ., 5

17、21212121正交與則若是對應(yīng)的特征向量的兩個特征值是對稱矩陣設(shè)定理ppppA證明證明,21222111 = = =AppApp,AAAT= =對稱對稱 TTTAppp11111= = = ,11ApApTTT= = =于是于是 22121211ppAppppTTT = = =,212ppT = = . 0 2121= =- -ppT ,21 .21正交正交與與即即pp. 021= =ppT. , 71素的對角矩陣個特征值為對角元的是以其中使則必有正交矩陣階對稱矩陣為設(shè)定理nAAPPPnA=-證明證明,21s 它們的重數(shù)依次為它們的重數(shù)依次為srrr,21. ,)( , , 6個線性無關(guān)的特

18、征向量恰有對應(yīng)特征值從而的秩則矩陣重根的特征方程的是階對稱矩陣為設(shè)定理rrnEAREArAnA-=-).(21nrrrs= = 根據(jù)定理根據(jù)定理4（對稱矩陣的特征值為實數(shù)對稱矩陣的特征值為實數(shù)）和定）和定理理6( 如上如上)可得：可得：設(shè)設(shè) 的互不相等的特征值為的互不相等的特征值為A（即：A為對稱陣，則A必定能相似對角化）可以證明：,21知知由由nrrrs= = 由定理由定理5知知對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 單位正交的特征向量單位正交的特征向量個個即得即得把它們正交化并單位化把它們正交化并單位化關(guān)的實特征向量關(guān)的實特征向量個線性無個線

19、性無恰有恰有對應(yīng)特征值對應(yīng)特征值rrsiiii= = =-APPAPPT1.,11個特征值個特征值的的是是恰恰個個個個的對角元素含的對角元素含其中對角矩陣其中對角矩陣nArrss 這樣的特征向量共可得這樣的特征向量共可得 個個.n故這故這 個單位特征向量兩兩正交個單位特征向量兩兩正交.n以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 ，則，則P根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為對角矩陣，其具體步驟為：為：五、用正交矩陣將對稱矩陣對角五、用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法化的方法將特征向量正交化將特征向量正交化;3.將特征向量

20、單位化將特征向量單位化.4.2. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi= =- - 1.;的特征值的特征值求求A將標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組構(gòu)成正交矩陣將標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組構(gòu)成正交矩陣5. 注：該過程略顯復(fù)雜，包含了前面所學(xué)的很多知識，要細(xì)細(xì)體會。A為實對稱陣求A的特征值求每個特征值對應(yīng)的特征向量特征向量正交化特征向量單位化正交單位向量組構(gòu)成正交矩陣（即為所求的矩陣特征值構(gòu)成對角陣（即為A的相似對角陣解解 - - - - - - - -= =- -20212022EA 214 - - -= = 0= =. 2, 1, 4321- -= = = = 得得,020212022)1( - -

21、- - -= =A = =310130004)2(A例例4 4 對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣 ，使使 為對角陣并求出該對角陣為對角陣并求出該對角陣.APP1- -P(1)第一步：第一步： 求求 的特征值的特征值A(chǔ) 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxEAi, 0= =- - 得得由由對對, 04, 41= =- -= =xEA = = = = = = 04202320223232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 .1221 - - -= = 得得由由對對, 0, 12= =- -= =xEA = = = = = = - -

22、0202202323121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2122 - -= = 得得由由對對, 02, 23= = - -= =xEA = =- -= = - -= = - -02202320243232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2213 = = 第三步第三步 將特征向量正交化將特征向量正交化.,3, 321321故它們必兩兩正交故它們必兩兩正交的特征向量的特征向量個不同特征值個不同特征值的的是屬于是屬于由于由于 A第四步第四步 將特征向量單位化將特征向量單位化. 3 , 2 , 1,= = =iiii 令令,3132321 - - -= = 得得,3231

23、322 - -= = .3232313 = = ,22121212231,321 - - - -= = = P作作.200010004 1 - -= =- -APP則則 = =310130004)2(A - - - -= =- -310130004EA ,422 - - -= =. 4, 2321= = = = 得特征值得特征值 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系由由對對, 02, 21= =- -= =xEA - -= =1101 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系由由對對, 04, 432= =- -= = =xEA .110,00132 = = = = ,32恰恰好好正正交交與與 .,321兩兩兩兩正正交交所所以以

24、 得得令令單位化單位化再將再將3 , 2 , 1,321= = =iiii ,212101 - -= = ,0012 = = .212103 = = 14)141.(.3232例參見教材化正交與施密特方法將不正交，則要用，若P于是得正交陣于是得正交陣 - -= = =2102121021010,321 P.400040002 1 = =- -APP則則注：相似對角化中的正交矩陣的特征向量就對注：相似對角化中的正交矩陣的特征向量就對應(yīng)后面對角陣中的特征值（位置對應(yīng)）應(yīng)后面對角陣中的特征值（位置對應(yīng)）1.對稱矩陣的性質(zhì)：對稱矩陣的性質(zhì)：六、小結(jié) (1)(1)特征值為實數(shù)；特征值為實數(shù)； (2)(2

25、)屬于不同特征值的特征向量正交；屬于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重數(shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征值的重數(shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)相等；特征向量的個數(shù)相等； (4)(4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值且對角矩陣對角元素即為特征值2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)將特征向?qū)⑻卣飨蛄繂挝换涣繂挝换?4)最后正交化最后正交化3相似矩陣相似矩陣 相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好的性質(zhì)，如：良好的性質(zhì)，如：);det()det(,)1(BABA= =則則相似相似與與;,)2( 11相似相似與與且且也可逆也可逆則則可逆可逆且且相似相似與與若若- - -BABABA;,)3( 為為常常數(shù)數(shù)相相似似與與則則相相似似與與kkBkABA.)()(,)(,)4( 相似相似與與則則是一多項式是一多項式而而相似相似與與若若BfAfxfBA4 4相似變換與相似變換矩陣相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種簡化對矩陣的