有理數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

1、第二章?有理數(shù)及其運(yùn)算?知識(shí)梳理正數(shù)和負(fù)數(shù)1正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念負(fù)數(shù)：比0小的數(shù)正數(shù)：比0大的數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)注意：字母a可以表示任意數(shù)，當(dāng) a表示正數(shù)時(shí)，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí)，-a是正數(shù)；當(dāng)a表 示0時(shí)，-a仍是0。如果出判斷題為：帶正號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶負(fù)號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)，這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的， 例如+a,-a就不能做出簡(jiǎn)單判斷 正數(shù)有時(shí)也可以在前面加“+，有時(shí)“ +省略不寫(xiě)。所以省略“ +的正數(shù)的符號(hào)是正號(hào)。2. 具有相反意義的量假設(shè)正數(shù)表示某種意義的量，那么負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比方： 零上8C表示為：+8C ；零下8 C表示為：-8 C3.0表示的意義0表示“沒(méi)有，如

2、教室里有0個(gè)人，就是說(shuō)教室里沒(méi)有人；0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線(xiàn)，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。如：有理數(shù)1. 有理數(shù)的概念正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為整數(shù)0和正整數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為自然數(shù)正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為分?jǐn)?shù)正整數(shù)，0,負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱(chēng)為有理數(shù)。理解：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。n是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。 有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。注意：引入負(fù)數(shù)以后，2.有理數(shù)的分類(lèi)按有理數(shù)的意義分類(lèi)*正整數(shù)r整數(shù)* 0I負(fù)整數(shù)，像 -2,-4,-6,-8也是偶數(shù)，-1,-3,-5 也是奇數(shù)。按正、負(fù)來(lái)分正整數(shù) r正有理數(shù)斗正分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)有理數(shù)/

3、 00不能無(wú)視r(shí)負(fù)整數(shù).負(fù)有理數(shù)珂負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)總結(jié)：正整數(shù)、0統(tǒng)稱(chēng)為非負(fù)整數(shù)也叫自然數(shù) 負(fù)整數(shù)、0統(tǒng)稱(chēng)為非正整數(shù) 正有理數(shù)、0統(tǒng)稱(chēng)為非負(fù)有理數(shù) 負(fù)有理數(shù)、0統(tǒng)稱(chēng)為非正有理數(shù)數(shù)軸數(shù)軸的概念規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度的直線(xiàn)叫做數(shù)軸。注意：數(shù)軸是一條向兩端無(wú)限延伸的直線(xiàn)；原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不 可；同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度要統(tǒng)一；數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的。2. 數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，正有理數(shù)可用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)，也就

4、是說(shuō)，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)不是對(duì)應(yīng)關(guān)系。如，數(shù)軸上的點(diǎn)n不是有理數(shù)3. 利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小在數(shù)軸上數(shù)的大小比擬，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；正數(shù)都大于 0,負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比擬，距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小。4. 數(shù)軸上特殊的最大小數(shù)最小的自然數(shù)是 0,無(wú)最大的自然數(shù)；最小的正整數(shù)是 1,無(wú)最大的正整數(shù)；最大的負(fù)整數(shù)是-1，無(wú)最小的負(fù)整數(shù)5. a可以表示什么數(shù)a>0表示a是正數(shù)；反之，a是正數(shù)，那么a>0；a<0表示a是負(fù)數(shù)；反之，a是負(fù)數(shù)，貝U a<0a=0表示a是0;反之，a是0,，貝U a=06. 數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)，向左移動(dòng)幾個(gè)單

5、位長(zhǎng)度那么減去幾，向右移動(dòng)幾個(gè)單位長(zhǎng)度那么加上幾，從而得到所需的點(diǎn)的位置。相反數(shù)1相反數(shù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。注意：相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的；相反數(shù)只有符號(hào)不同，假設(shè)一個(gè)為正，那么另一個(gè)為負(fù)；0的相反數(shù)是它本身；相反數(shù)為本身的數(shù)是0。2. 相反數(shù)的性質(zhì)與判定任何數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個(gè)；0的相反數(shù)是0;互為相反數(shù)的兩數(shù)和為 0，和為0的兩數(shù)互為相反數(shù)，即 a, b互為相反數(shù)，那么 a+b=0互為相反數(shù)的非零兩數(shù)商為負(fù)1,即a, b互為相反數(shù)，那么 =-1a0,b 0b3. 相反數(shù)的幾何意義在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)，是互為相反數(shù)；

6、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)0除外在原點(diǎn)兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等。0的相反數(shù)對(duì)應(yīng)原點(diǎn)；原點(diǎn)表示0的相反數(shù)。說(shuō)明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。4. 相反數(shù)的求法求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號(hào)“-即可求得如：5的相反數(shù)是-5 ；求多個(gè)數(shù)的和或差的相反數(shù)是，要用括號(hào)括起來(lái)再添 “-，然后化簡(jiǎn)如; 5a+b的相反數(shù)是-5a+b。化簡(jiǎn)得-5a-b ；求前面帶“-的單個(gè)數(shù)，也應(yīng)先用括號(hào)括起來(lái)再添“-，然后化簡(jiǎn)如：-5的相反數(shù)是-5 ，化簡(jiǎn)得55. 相反數(shù)的表示方法一般地，數(shù)a的相反數(shù)是-a，其中a是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。當(dāng)a>0時(shí)，-a<0 正

7、數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)當(dāng)a<0時(shí)，-a>0 負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)當(dāng)a=0時(shí)，-a=0 , 0的相反數(shù)是06. 多重符號(hào)的化簡(jiǎn)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)規(guī)律：“ +號(hào)的個(gè)數(shù)不影響化簡(jiǎn)的結(jié)果，可以直接省略；“-號(hào)的個(gè)數(shù)決定最后化簡(jiǎn)結(jié)果；即：“-的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為負(fù)，“-的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為正。絕對(duì)值1. 絕對(duì)值的幾何定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù) a 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做 a 的絕對(duì)值，記作 |a| 。2. 絕對(duì)值的代數(shù)定義一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身； 一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0 的絕對(duì)值是 0.可用字母表示為： 如果a>0,那么|a|=a ; 如果a<0,那么|a|=-a ; 如果a=0

8、,那么|a|=0 ?？蓺w納為：a>0, < > |a|=a(非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于本身；絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。) aw 0, < > |a|=-a(非正數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù)；絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。)3. 絕對(duì)值的性質(zhì)任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù),也就是說(shuō)絕對(duì)值具有非負(fù)性。所以,a 取任何有理數(shù),都有 |a|> 0。即0的絕對(duì)值是0;絕對(duì)值是0的數(shù)是0.即：a=0 < 一> |a|=0 ;一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值最小的數(shù)是0.即：|a| > 0;任何數(shù)的絕對(duì)值都不小于原數(shù)。即：|a| > a;絕對(duì)值是相同正數(shù)的數(shù)

9、有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。即：假設(shè)|x|=a (a>0),那么x= ± a;互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對(duì)值相等。即：|-a|=|a| 或假設(shè)a+b=0,那么|a|=|b| ;絕對(duì)值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b| ，那么a=b或a=-b ;假設(shè)幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和等于0,那么這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為 0。即 |a|+|b|=0 ,那么 a=0 且 b=0。(非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：假設(shè)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 0,那么有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為 0)4. 有理數(shù)大小的比擬利用數(shù)軸比擬兩個(gè)數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個(gè)數(shù)相比擬，左邊的總比右邊的??；利用絕對(duì)值比擬兩個(gè)負(fù)數(shù)的大?。簝蓚€(gè)負(fù)數(shù)比擬大小，絕對(duì)值大的

10、反而小；異號(hào)兩數(shù)比擬大小，正數(shù) 大于負(fù)數(shù)。5. 絕對(duì)值的化簡(jiǎn)當(dāng)a?0時(shí)，|a|=a;當(dāng)a w 0時(shí)，|a|=-a6. 一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值,求這個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離， 一般地，絕對(duì)值為同一個(gè)正數(shù)的有理數(shù)有兩個(gè),它們互為相反數(shù),絕對(duì)值為 0 的數(shù)是 0,沒(méi)有絕對(duì)值為負(fù)數(shù)的數(shù)。有理數(shù)的加減法1. 有理數(shù)的加法法那么同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值; 互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)。2. 有理數(shù)加法的運(yùn)算律加法交換律： a+b=b+a加法結(jié)合律： (

11、a+b)+c=a+(b+c)在運(yùn)用運(yùn)算律時(shí),一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用,以到達(dá)化簡(jiǎn)的目的,通常有以下規(guī)律： 互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加“相反數(shù)結(jié)合法； 符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)先相加“同號(hào)結(jié)合法； 分母相同的數(shù)先相加“同分母結(jié)合法； 幾個(gè)數(shù)相加得到整數(shù)，先相加“湊整法 ； 整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加“同形結(jié)合法。0 后的和等于原數(shù)。即：當(dāng) b=0 時(shí), a+b=aa-b=a+(-b) 。3. 加法性質(zhì) 一個(gè)數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大；加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)??；加當(dāng) b>0 時(shí), a+b>a當(dāng) b<0 時(shí), a+b<a4. 有理數(shù)減法法那么減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：5.

12、 有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中，根據(jù)有理數(shù)減法法那么， 可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加法法那么進(jìn)行計(jì)算。在和式里，通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略不寫(xiě)，寫(xiě)成省略加號(hào)的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的讀法：按這個(gè)式子表示的意義讀作“負(fù)8、負(fù)7、負(fù)6、正5的和按運(yùn)算意義讀作“負(fù)8減7減6加5有理數(shù)的乘除法1. 有理數(shù)的乘法法那么法那么一：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；(“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)專(zhuān)指“兩數(shù)相乘的情況，如果因數(shù)超過(guò)兩個(gè)，就必須運(yùn)用法那么三)法那么二：任何數(shù)同 0相乘，都得0；法那么三：幾個(gè)不是0的數(shù)

13、相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)；法那么四：幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,那么積等于0.2. 倒數(shù)1乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a -=1 (0),就是a111說(shuō)a和丄互為倒數(shù)，即a是-的倒數(shù)，-是a的倒數(shù)。aaa注意：0沒(méi)有倒數(shù)； 求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母點(diǎn)顛倒位置即可；求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置； 正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，不改變這個(gè)數(shù)的性質(zhì))； 倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1,不包括0。3. 有理數(shù)的乘法運(yùn)算律乘法交換律：一

14、般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即ab=ba乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。即(ab)c=a(bc).乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，在把積相加。即a(b+c)=ab+ac4有理數(shù)的除法法那么(1) 除以一個(gè)不等0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。(2) 兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于 0的數(shù)，都得05有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算(1) 乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。(2) 有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無(wú)括號(hào)指出先做什么運(yùn)算，那么按照先乘除后加減的順序進(jìn)行。有理數(shù)的乘方1乘方的概念求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕。在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。2乘方的性質(zhì)(1) 負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，