第十章數(shù)項級數(shù)

1、第十章 數(shù)項級數(shù)研究級數(shù)的目的1 借助級數(shù)表示很多有用的非初等函數(shù)。2 解微分方程。3 利用多項式來逼近一般的函數(shù)。4 實數(shù)的近似計算。2!3!n!111e11例223!n!111ln21234x x2 x3xn例 1 ex 1 x數(shù)值級數(shù)一 收斂與發(fā)散概念1）若數(shù)列 un ，即 u1,u2,u3, un,將（ 1）的項依次用加號連接起來，即 u1 u2 u3un（2）簡寫為un 稱為數(shù)值級數(shù)，簡稱級數(shù)。 u1,u2, ,un, 稱為級數(shù)（ 2）的項， un稱為（ 2）的n1第 n 項與通項。有限和是我們熟知的， 但無限和對我們是陌生的。 怎樣來計算無限和呢？無限和叫做什么？ 因此，元很多個數(shù)

2、的和是一個未知的新概念，它是有限和的推廣。級數(shù)的定義n考察前 n 項部分和 Sn u1 u2un或 Snuk 。于是，級數(shù)（ 2）對應(yīng)k1著一個部分和數(shù)列，即S1 u1,S2u1 u2,S3 u1 u2 u3,Sn u1 u2un定義如果級數(shù)（ 2）的部分和數(shù)列 Sn 收斂，即 lim Sn S ，稱級數(shù)（ 2）收斂，并稱 S 是級數(shù)（ 2）的和。記為 Sun u1 u2 u3u nn1如果部分和數(shù)列 Sn 發(fā)散，稱級數(shù)（ 2）發(fā)散，此時級數(shù)（ 2）沒有和。 這樣，級數(shù)的收斂與發(fā)散轉(zhuǎn)化為它的部分和數(shù)列的收斂與發(fā)散。于是，級數(shù)的各種性質(zhì)轉(zhuǎn)化 為它的部分和數(shù)列的各種性質(zhì)來討論。實質(zhì)：級數(shù)及其和正是

3、數(shù)列及其極限的一種新的形式。例 1 以等比數(shù)列為通項的幾何級數(shù) ar n a ar ar 2ar n的斂散性。其中n1a 0,r 是公比。解： 1）當 r 1時，幾何級數(shù)的部分和 Sn 是n2a ar arn 1 a ar ar1ri）當1時，極限 lim Snnn a ar lim n 1 ra1r因此，當 r 1時幾何級數(shù)收斂，其和是a1r，即 arn1n1a1rii ）當 r 1時，極限 lim Sn nn a ar 1r因此，當 r 1時，幾何級數(shù)發(fā)散。2) 當 r 1時(i) r 1 時，幾何級數(shù)是 a a a aSn a a a a nalim Sn lim na a 0 n n

4、n即部分和數(shù)列 Sn 發(fā)散。ii ）當 r=1 時，幾何級數(shù)是a a a a 1n 1aSn 0，當 n 是偶數(shù)； Sn a，當 n是奇數(shù)。即部分和數(shù)列 Sn 發(fā)散。un由此，（ 1）當2）Sn1時，幾何級數(shù)收斂。1時，幾何級數(shù)發(fā)散。n1nn1 11 2 2 3 3 411nn1111n1于是 lim Sn nn11 1 1 1 1 1 1 1 1 1434n12233111n1n111例 3 證明級數(shù) 1 11 6 6 11111 165n 4 5n 1收斂，并求其和。證明： 通項 un 可改寫為un5n 4 5n 1 5 5n 4 5n 1Sn116 6 1115n 15n 4 5n 1

5、5 6 61111 11 1615n 4 5n 1于是lnim Sn limn 5 5n 1 51 114 證明：調(diào)和級數(shù) 1 1 11是發(fā)散的。23證明：由于 un 都是正數(shù)，所以部分和數(shù)列Sn 是嚴格增加的，討論子數(shù)列 S2m ：S2,S4,S8, ,S2m ,S2m11567811211m 1 1 2m 1 2 2m222m 11341112m 1 1lim Sm2m671 2m 1 2 lim 1 2 mm11881118882m2m1112m 2即 lim S2m，m2n 2, 唯一的自然數(shù) m使2m 1 n 2m，且有S2m 1SnS2m當 n時，有，則 lim Sn nn，即調(diào)和

6、級數(shù)發(fā)散。收斂級數(shù)的性質(zhì)Th 1（柯西收斂準則）級數(shù) un 收斂的充要條件是：0, N當 n N 時，對任意 p ，有un 1 un 2un p數(shù)列 Sn 存在極限，是指對 0, N ，當nN 時，對任給的自然數(shù) pSn Sn p推論 1 若級數(shù) un 收斂，n1則 lim un 0 n等價命題是：如果lim un n0 ，則級數(shù)un發(fā)散。n1例n100n 1lim un limn n n 100n 1 10011 0, 則級數(shù)100n 1發(fā)散。注意：lnim un 0僅是級數(shù)n1un 收斂的必要條件，而不是充分條件，即lnim unnun 也可以發(fā)散。 n1111例 111123n0，有 l

7、im un lim 1 0 ，而調(diào)和級數(shù) 1 卻是發(fā)散的。 n n n從柯西收斂準則知，級數(shù) un 收斂等價于級數(shù)un 的充分遠 （即 n N ）的任意片段 （即n1n1對任意 p,un 1 un 2un p ）的絕對值可以任意小，由些可見，un 的斂散性僅與n1級數(shù)充分遠的任意片段有關(guān)，與級數(shù)un 任意指定的有限和無關(guān)，從而我們有n1推論 2若去掉，增添或改變級數(shù) un 的有限項，則不改變級數(shù)un 的斂散性。n1n1n1例如去掉幾何級數(shù)的前 100 項， arn 1 仍收斂。去掉調(diào)和級數(shù)的前 100 項，n1n 1 100 n 101 1021 1 1 仍發(fā)散。100 n數(shù)列去掉前有限項仍具

8、有收斂性與發(fā)散性）根據(jù)數(shù)列的運算定理，可得到級數(shù)的運算定理：定理 2 若級數(shù) un 收斂，其和是 S，則級數(shù)cun cu1 cu2cun也收斂， 其和n1n1是 cS ，其中 c 是常數(shù)。證明：設(shè) 級 數(shù)un 與 cun 的 n 項 部 分 和 分 別 是 Sn 與 Sn ， 有n1n1Sncu1 cu2cun c u1 u2un cSn已知 lim Sn S，有 lim Sn lim cSn cS ，即級數(shù)cun 收斂，其和是 cSTh 2 可寫為cun cS c unn1即收斂級數(shù)具有分配性。Th 3 若級數(shù)un 與 vn收斂，其和分別是 A 和 B，則級數(shù)un vnu1 v1u2 v2u

9、n vn也收斂。其和是 A B4n3nn 112n11nn3n4nn13 n 141123同號級數(shù)同號級數(shù)是指級數(shù)u1 u2un的每一項 un 的符號是非負或非正。如果12un 0 n 1,2, ，稱級數(shù) un 是正項級數(shù)；如果 un 0 n 1,2, n1般形式：0，討論下列級數(shù)的收斂型例 12：設(shè) a n 串，單調(diào)下降趨于1) an sinnx n12）an cosnxn1解（ 1） 當解 x2k時 （kZ）nsin nx的部分和 snsinkx 。由三角公式n1 k 1x112 sin kxsin cos(k )x cos(k )x222令 k 1、2、 3 n，分別有x 1 32sin

10、 xsin cos x cos x22 sin 2xsin x22235 cos x cos x222sin nxsin x211 cos(n )x cos(n )x22x112sin (sin x xin2x sin nx ) cos x cos(n )x222當 x 2k時，有cos1 x cos(n sn (sinx xin2x sin nx) 212sin x2sn (sin x xin2xsin nx)1cos x2112sin x2sin x2221 cos(n )x2x sin即當 x2k時，部分和 sn 有界，有 Dirichlid 判別法知收斂。當 x2k時，sinnx 0，

11、于是對？收斂an sin nx 收斂。n1五 絕對收斂的性質(zhì)Th12 若級數(shù)an 收斂 ,其和是 S，則，按順序結(jié)合在一起，構(gòu)成的新級數(shù)n1(u1 u2un ) (un 1 un 2u2n) (u2n u2n 2u3n)也收斂，其和是 SSk' 滿足結(jié)合律，滿足交換律( 1)n 1 1nn11A 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 ( 1)n 1n1 1/2 1/4 (1/3 1/6) 1/8 1/5 1/10 1/12 1/7 1/14(1 1/2) 1/4 (1/3 1/6) 1/8 (1/5 1/10) 1/12 (1/7 1/14 1/2 1/4 1/6 1/8 1/1

12、0 1/1211/2(1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 ) A2 級數(shù)為什么會滿足交換性呢？這是因為它是條件收斂的。Riemann 證明了它一般的結(jié)果：級數(shù) an 條件收斂 （）則運算交換級數(shù)an ，可使交換后的新級數(shù)收斂到 （）。n 1 n 1（一致收斂的級數(shù)滿足交換律）Th13 級 un 絕對，其和為 S，則的各項， ，其和也是 S。 n1證明：設(shè)級數(shù) un 的部分和是 l im Sn S 有 un 收斂。n1 n n n n 1 n,NNpSN S 與ukkNpukun 中出現(xiàn) u1，n1u2，kN1級數(shù) un 的前 N 項 u1， u2， un必都在新級數(shù) n1un，在新的數(shù)

13、串 unk1，unk2， unkh ,令k1,k2, ,kh 顯然 i>=N ， >=i 時薪級數(shù)的部分和mmunkn1中包含mmunk qn1nSSnSq于是（ >=a 時）有nSSnSq2其他證明 un 絕對收斂，n1mun 級數(shù)的 Pmunn1 k 1j = maxn 1 ,n2 , nm mmPmunkun kk 1 n1un 絕對收斂。n1即正項級數(shù)un 的部分和數(shù)列 有上界則新級數(shù)n1兩個級數(shù)的乘積，級數(shù)乘積的定義，an 與 bn 的乘積是所有乘積（） ，即 n 1 n 1an ）（bn ）anbkn 1 n 1 n,k 1a1b1 a2b1 a3b1a2b2a2b2 a3b2a1b