三角形的重心與其它“三心”的統(tǒng)一的向量形式

1、#-三角形的重心與其它“三心”的統(tǒng)一的向量形式內(nèi)容提示：三角形“四心”的統(tǒng)一的向量形式關(guān)鍵詞：三角形“四心”向量形式作者：西盟一中 武功曉參考資料：數(shù)學(xué)必修4（人教版）普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修4（人教版）P113頁 習(xí)題2.5A組第2題， ABC中，D、E、F分別是AB , BC , CA的中點，BF與CD交于點I，設(shè)AB = a , AC = b證明A，1，E三點在同一直線上，且A呻=豈=2 (2)用a , b表示向量AI圖1解：(1)易知： IFD s IBCDF = 1BC2所以，BI = 2BF3AI = BI - BA=2 bf + a3=2 (-b- a) +a32=-(

2、a + b )3AIIE(2)因為 AE = - ( b + a )所以R = |AE，因此A、E三點在同一直線上，而且2,同理可證 邑=2、CL = 2,所以巴=B1 = CL = 2 IFIDIE IF ID此題即為三角形的重心概念及性質(zhì)： ABC的三條中線 AE、BF、CD相交于一點I，如圖1，并且春=曙=CD = 2除此之外，還有兩條重要的性質(zhì)：(1) I是厶ABC的重心的重要條件是：Saib = Sabic = Saic3 ABC證明：因為I是厶ABC的重心，所以BI = 2bf，CI=2cd，等底等高的三角形面積相等，又因為 Sa bie = 12sin / BIE = 1 I B

3、F II BI II AE I1 I BF I1I AE I2 339S aif=1 I AIII IF I sin / BIF = 1 2223sin/ BIF =19I AE II BF I sin / BIF/ BIE=/ AIF所以，Sa bie =Sa aifSaaif = Sa cie , Sa aid = Sa bid , Sa BIE = Sa CIEEI I sin/ BIE = sin/ BIEI AE I 1 I BF I3所以：Saaib = Sabic= S aic =3Saabc 成立，反之亦成立。同理:Sa eic= Sa aid(2) I是厶ABC的重心的充要條

4、件是： IA + IB + IC = 0證明：因為I是厶ABC的重心，所以iA = - 1( Ab + ac), ib = - -(Be + BA), iC =- -(Cb 333+ CA),*A*-*-*IA + IB + IC = 1 ( AB + AC + BC + BA + CB + CA) = 03所以IA + lB + IC = 0成立，反之亦成立。3-三角形除重心外，還有其它“三心”,內(nèi)心、外心、垂心，這“三心”的向量形式與三角形的重心向量形式有什么關(guān)系呢？下面我們證明它們有統(tǒng)一的向量形式1、I ABC內(nèi)心的充要條件是 aIA + bIB + cIC = 0（其中：a、b、c分別

5、為 ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊長)或(sinA) IA +( sinB) IB +( sinC) IC = 0。證明：設(shè)I是厶ABC的內(nèi)心，如圖2作向量 rA = a!A , IB =, IC =cIC，連結(jié) A'、B'、C；得到 A'B'C； 圖為I ABC內(nèi)心，所以內(nèi)心到 ABC 各邊的距離為 ABC 的內(nèi)切圓 的半徑，設(shè)為r。Saib c ；= 1 I IB II IC | sin/ B 1C =1 b | IB | c | IC | sin / B IC、=2*bc| IB | IC | sin/ BIC = |abcr圖2同理可得Sa |a b

6、 = 1abcrSa IC A ,=1abcr2所以，Sa IB C ,=Sa IC A，=圖32、I為厶ABC外心的充要條件是(sin2A) IA +( sin2B) IB+ ( sin 2C) IC = 0。證明，設(shè)I是厶ABC的外心，圖3,作 向量 IA = (sin 2A ) IA , IB = ( sin 2B) IB , sin 2C) E，連結(jié) A'、B'、C；得 / A、因為I ABC外心，所以，外 心I到厶ABC各頂點的距離為 ABC的外接圓的半徑，設(shè)為 R,且/ BIC = 2AIBC ,= A B C 的重心，有 IA + IB + IC = 0 ,即 I

7、 ABC 外心有(sin 2A) IA +(sin 2B) IB +( sin 2C) IC =0 ,反之亦成立。先證三角形垂心的一條性質(zhì)，若I是非直角三角形ABC的三條高AD、BE、CF的交點 (即垂心)，如圖4,則| AD | = | ID | tanB tanC,| BE | = | IB IC J sin / B IC ；=1 sin 2B 丨 IB | sin 2C 丨 IC | sin 2A=iR2 sin 2B sin 2C sin 2A2同理可得Sa ia b = 1 R2 sin 2A sin 2B sin 2C21 2Saia c、= 1R sin 2A sin 2B si

8、n 2C圖46-所以Saia b，= SaIB C ,= SaIC A，=1Sa3圖4#-DC圖4#-I IE | tanA tanC,| CF | = | IF | tanA tanB。證明：因為I為厶ABC垂心，所以/ BID =Z ACB，/ CID =/ ABC，/ BIF =Z BAC所以有| BD| = | ID | tan / BID =| ID| tanC ,| CD | =| ID | tan/ CID=| ID | tanB，又因為 |AD| = | BD | tanB,| AD | =| CD |tanC，所以 | AD | 2 =|BD | CD | tanB tanC

9、=| ID | 2 (tanB tanC) 2,即 | AD | = |ID |tanB tanC。同理可證| BE | = | IE | tanA tanC,CF | = | IF |tanA tanB。3、I為非直角 ABC垂心的充要條件是(tanA) IA +(tanB) IB +(tanC) IC = 0證明：設(shè)I是厶ABC的垂心，如圖5,作向量IA = (tanA) IA ,IB =( tanB ) IB ,IC = ( tanC) IC，連結(jié) A、IB，c= 1 | B | | C I| sin / B I=1 (tanB) | IB |( tanC)| IC |2sin / BI

10、 C=tanB tanC SIBC=tanB tanC 寸 | BC丨 ID |AD |= Sa abCA'、B '、C；得到C'冋理可得 Sa ia B= Sa ABC , S IA C= S ABC ,所以，Sa|A b = SaIB ' = Sa |Ac '= 1 Saa b ' , A B' 的重心， 3從而 IA + IB + IC = 0，即 I ABC 的垂心，有（tanA） IA +(tanB) IB +( tanC) IC = 0成立，反之亦成立。由此，我們得到，I為厶ABC “心”的統(tǒng)一的向量形式 xIA +y IB + zIC = 0I 為重心時，x= y= z= 1, I 為外心時，x= sin 2A , y= sin 2B ,z= sin 2C， I 為垂心時，x= tanA，y= tanB，z= tanC，I 為內(nèi)心時，I BC I, y=|