直線與圓的方程的應用教案(共6頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上4.2.3 直線與圓的方程的應用（一）教學目標1知識與技能（1）理解掌握，直線與圓的方程在實際生活中的應用.（2）會用“數(shù)形結合”的數(shù)學思想解決問題.2過程與方法用坐標法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何結論.3情態(tài)與價值觀讓學生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的方程的應用，培養(yǎng)學生分析問題與解決問題的能力.（二）教學重點、難點重點與難點：直線與圓的方程的應用.教學環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計意圖復習引入你能說出兩點間

2、的距離公式直線方程的四種形式及圓的方程的兩種形式嗎？學生思考后作答教師再引入課題現(xiàn)在我們通過幾個例子說明直線與圓的方程在實際生活以及平面幾何中的應用.啟發(fā)并引導學生回顧，從而引入新課.應用舉例3閱讀并思考教科書上的例4，你將選擇什么方法解決例4的問題？例4 圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個圓的圓拱跨度AB = 20m，拱高OP = 4m，建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度(精確到0.01m).解析：建立圖所示的直角坐標系，使圓心在y軸上.設圓心的坐標是(0，b)，圓的半徑是r，那么圓的方程是x2 + (y b)2 = r2.下面確定b和r的值.因為P、B都在圓上，所以

3、它們的坐標(0，4)，(10，0)都滿足方程x2 + (y b)2 = r2.于是，得到方程組解得b = 10.5，r2 = 14.52所以，圓的方程是x2 + (y + 10.5)2 = 14.52.把點P2的橫坐標x = 2代入圓的方程，得(2)2 + (y + 10.5)2 = 14.52，取(P2的縱坐標y0平方根取正值).所以14.36 10.5=3.86(m)師：指導學生觀察教科書上的圖形特征，利用平面坐標系求解.生：自學例4，并完成練習題1、2.師：分析例4并展示解題過程，啟發(fā)學生利用坐標法求，注意給學生留有總結思考的時間.指導學生從直觀認識過渡到數(shù)學思想方法的選擇.4你能分析一

4、下確定一個圓的方程的要點嗎？教師引導學生分析圓的方程中，若橫坐標確定，如何求出縱坐標的值.使學生加深對圓的方程的認識.5你能利用“坐標法”解決例5嗎？例5 已知內接于圓的四邊形的對角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半.師：引導學生建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示相應的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題.生：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，探求解決問題的方法.證明：如圖，以四邊形ABCD互直垂直的對角線CA，DB所在直線分別為x軸，y軸，建立直角坐標系.設A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(0，d).過四邊形ABCD外接圓的圓心O分別作AC、BD、AD的垂線，

5、垂足分別為M、N、E分別是線段AC、BD、AD的中點.由線段的中點坐標公式，得所以又所以.鞏固“坐標法”，培養(yǎng)學生分析問題與解決問題的能力.6完成教科書第140頁的練習題2、3、4.練習2 趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為7.2m.求這座圓拱橋的拱圓的方程. 練習3 某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m.現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過？ 練習4 等邊ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，且，|CE| = |CA|，AD、BE相交于點P.求證APCP.教師指導學生閱讀教材，并解決課本第140頁的練習題2、3、4，教師要注意引導學生思考平面幾何問題與代數(shù)問題相互轉化的

6、依據(jù).練習2解：建立如圖所示的直角坐標系.|OP| = 7.2m，|AB| = 37.4m.即有A(18.7，0)，B (18.7，0)，C(0，7.2) .設所求圓的方程是(x a)2 + (y b)2 = r2.于是有解此方程組，得a = 0，b = 20.7，r = 27.9.所以這這圓拱橋的拱圓的方程是x2 + (y + 20.7)2 = 27.92 (0y7.2)練習3解：建立如圖所示的坐標系.依題意，有A(10，0)，B (10，0)，P(0，4)，D(5，0)，E(5，0).設所求圓的方程是(x a)2 + (y b)2 = r2.于是有解此方程組，得a = 0，b = 10.5

7、，r = 14.5.所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2 + (y + 10.5)2 = 14.52 (0y4).把點D的橫坐標x = 5代入上式，得y = 3.1.由于船在水面以上高3m，33.1，所以該船可以從橋下穿過.練習4解： 以B為原點，BC邊所在直線為x軸，線段BC長的為單位長，建立如圖所示的坐標系.則.由已知，得D(2,0)，.直線AD的方程為.直線BE的方程為.解以上兩方程聯(lián)立成的方程組，得.所以，點P的坐標是.直線PC的斜率.因為，所以，APCP.使學生熟悉平面幾何問題與代數(shù)問題的轉化，加深“坐標法”的解題步驟.練習題 直角ABC的斜邊為定長m，以斜邊的中點O為圓心作半徑為長定長

8、n的圓，BC的延長線交此圓于P、Q兩點，求證|AP|2 + |AQ|2 + |PQ|2為定值.7你能說出練習題蘊含了什么思想方法嗎？學生獨立解決練習題，教師組織學生討論交流.證明：如圖， 以O為原點，分別以直線PQ為x軸，建立直角坐標系.于是有，設A(x，y)，由已知，點A在圓上.AP2 + AQ2 + PQ2= =(定值)反饋學生掌握“坐標法”解決問題的情況，鞏固所學知識.歸納總結8小結：（1）利用“坐標法”解決問題的需要準備什么工作？（2）如何建立直角坐標系，才能易于解決平面幾何問題？（3）你認為學好“坐標法”解決問題的關鍵是什么？（4）建立不同的平面直角坐標系，對解決問題有什么直接的影響

9、呢？師：指導學生完成練習題.生：閱讀教科書的例3，并完成.教師引導學生自己歸納總結所學過的知識，組織學生討論、交流、探究.對知識進行歸納概括，體會利用“坐標法”解決實際問題的作用.課后作業(yè)布置作業(yè)習案4.2第2課時學生獨立完成鞏固所學知識備選例題例1 一圓形拱橋，現(xiàn)時的水面寬為22米，拱高為9米，一艘船高7.5米，船頂寬4米的船，能從橋下通過嗎？【解析】建立坐標系如圖所示：C(11，0 )，D(11，0)，M(0，9)可求得過C、D、M三點的圓的方程是故A點坐標是(2，y1)，則得y18.82，(取y10)y17.5，因此船不能從橋下通過.例2 設半徑為3km的圓形村落，A、B兩人同時從村落中

10、心出發(fā)，A向東，B向北，A出村后不久改變前進方向，斜著沿切于村落圓周的方向前進，后來恰好與B相遇，設A、B兩人的速度一定，其比為3:1，問A、B兩人在何處相遇.【解析】由題意以村中心為原點，正東方向為x軸的正方向，正北為y軸的正方向，建立直角坐標系，設A、B兩人的速度分別的為3vkm/h，vkm/h，設A出發(fā)ah，在P處改變方向，又經(jīng)過bh到達相遇點Q，則P(3av，0)Q (0，(a + b)v)，則|PQ| = 3bv，|OP| = 3av，|OQ| = （a + b）v在RtOPQ中|PQ|2 = |OP|2 + |OQ|2 得5a = 4b設直線PQ方程為由PQ與圓x2 + y2 = 9相切，解得故A、B兩人相遇在正北方離村落中心km.例3 有一種商品，A、B兩地均有售且價格相同，但某居住地的居民從兩地往回運時，每單位距離A地的運費是B地運費的3倍.已知A、B相距10km，問這個居民應如何選擇A地或B地購買此種商品最合算？(僅從運費的多少來考慮)【解析】以AB所在的直線為x軸，AB的中點為原點建立直角坐標系.|AB| = 10，所以A(5，0)，B(5，0)設P(x，y)是區(qū)域分界線上的任一點