固體物理模擬試題參考答案

1、模擬試題參考答案一、名詞解釋1 .基矢、布拉伐格子為了表示晶格的周期性，可以取任一格點(diǎn)為原點(diǎn)，由原點(diǎn)到最近鄰的格點(diǎn)可得三個(gè)獨(dú)立 的矢量 ai、a2、a3,則布拉伐格子中的任一格點(diǎn)的位置可以由原點(diǎn)到該格點(diǎn)的矢量Ri（RlI1ai12323,ii、ai3為整數(shù)）來表示，這樣常稱ai、a2、a3為基矢。由于整個(gè)晶體可以看成是基元（組成晶體的最小單元）的周期性重復(fù)排列構(gòu)成，為了研究晶體的周期性，常常把基元抽象成一個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)稱為格點(diǎn)（或結(jié)點(diǎn)），由這些格點(diǎn)在空間周期性的重復(fù)排列而構(gòu)成的陣列叫布拉格點(diǎn)陣（或布拉伐格子）。2 .晶列、晶面在布拉伐格子中，所有格點(diǎn)均可看成分列在一系列相互平行的直線上，這族直線

2、稱之為晶列，一個(gè)布拉伐格子可以有無限多族方向不同的晶列。布拉伐格子中的所有格點(diǎn)也可看成分列在一系列相互平行的平面上，這族相互平行的平面稱為晶面。一個(gè)布拉伐格子也可以看成有無限多族方向不同的晶面。為了標(biāo)志各個(gè)不問族的晶面。3 、格波與聲子晶格振動(dòng)模式具有波的形式，稱為格波。在簡(jiǎn)諧近似下格波矢相互獨(dú)立的，這樣晶格振動(dòng)的能量是量子化的，聲子就是格波的能量量子，它不是真實(shí)存在的粒子，它反映的是晶格原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元。4 .能帶晶體中的電子，在零級(jí)近似中，被看成是自由電子，能量本征值E0作為k的函數(shù)，具有拋物線的形式。晶格周期起伏勢(shì)的微擾，使得 k狀態(tài)與k 2n /a （ n為任意整數(shù)）狀態(tài)相互

3、作用，這個(gè)作用的結(jié)果使得拋物線在2n /a處斷開而形成一個(gè)個(gè)的帶，這些就稱為能帶。5 . Bloch 函數(shù)晶體中電子的波函數(shù)具有這樣的形式，（r） eik ru（；）,其中u（； Rn） u（r）是具晶格周期性的函數(shù)。此處白（；）就是Bloch函數(shù)。因此，Bloch函數(shù)是一個(gè)平面波和一個(gè)晶格周期函數(shù)的乘積6 .施主，N型半導(dǎo)體在帶隙中提供帶有電子的能級(jí)的雜質(zhì)稱為施主。主要含施主雜質(zhì)的半導(dǎo)體，導(dǎo)電幾乎完全依靠由施主熱激發(fā)到導(dǎo)帶的電子。這種主要依靠電子導(dǎo)電的半導(dǎo)體，稱為N型半導(dǎo)體。二簡(jiǎn)答題1 能帶理論的三種近似分別是什么？怎樣定義的？答： 絕熱近似、單電子近似和周期場(chǎng)近似絕熱近似： 由于原子核質(zhì)量

4、比電子的質(zhì)量大得多， 電子的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)大于原子核的運(yùn)動(dòng)速度，即原子核的運(yùn)動(dòng)跟不上電子的運(yùn)動(dòng)。所以在考慮電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，認(rèn)為原子實(shí)不動(dòng)。單電子近似： 一 個(gè)電子在離子實(shí)和其它電子所形成的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。又稱hartree-Fock 自洽場(chǎng)近似周期場(chǎng)近似：原子實(shí)和電子所形成的勢(shì)場(chǎng)是周期性的2原子結(jié)合成固體有哪幾種基本形式？其本質(zhì)是什么？答： 原子結(jié)合成固體時(shí)主要有四種基本形式，即離子性結(jié)合、共價(jià)結(jié)合、金屬性結(jié)合和范德瓦爾結(jié)合。它們的結(jié)合本質(zhì)為，離子性結(jié)合，庫侖吸引作用和重疊排斥作用（泡利不相容原理） ；共價(jià)結(jié)合， 兩原子通過共有自旋相反的一對(duì)電子相互結(jié)合； 金屬性結(jié)合， 價(jià)電子離化形成的共有化負(fù)電子云與

5、處在其中的正離子實(shí)通過庫侖作用相互束縛； 范德瓦爾結(jié)合， 與電子分布起伏有關(guān)的瞬時(shí)電偶極矩的感應(yīng)作用使具有球?qū)ΨQ電子分布的中性分子或原子聚合。3. 晶格熱容的愛因斯坦模型和德拜模型各自的假設(shè)是什么？兩個(gè)模型各自的優(yōu)缺點(diǎn)分別是什么？答： 愛因斯坦模型假設(shè)晶格振動(dòng)的 3N 個(gè)頻率相等；德拜模型則把晶格看作連續(xù)媒質(zhì)。愛因斯坦模型的優(yōu)點(diǎn)是第一次從非經(jīng)典物理學(xué)的角度解釋了固體的熱容問題， 所得的理論結(jié)果在能與實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性的相符。 缺點(diǎn)是在低溫下理論值下降的太快； 德拜模型的優(yōu)點(diǎn)是在低溫下是嚴(yán)格正確的，缺點(diǎn)是在高溫下理論完全失效。4畫出面心立方晶格的單元結(jié)構(gòu)，并用陰影表示出（110）晶面，畫出該晶面上原子

6、分布。5、能帶理論中的近自由電子近似和緊束縛近似的基本假設(shè)各是什么？兩種近似方法分別適合何種對(duì)象？答：近自由電子近似的基本假設(shè)：1）、電子在晶格中受到的作用用一個(gè)周期勢(shì)場(chǎng)來表征；2）、該周期勢(shì)場(chǎng)的起伏很小， 電子可以在整個(gè)晶體內(nèi)運(yùn)動(dòng)，理論上可以用量子力學(xué)中圍繞論來處理。緊束縛近似的基本假設(shè)：1）、電子被束縛在單個(gè)原子內(nèi)，幾乎不能在整個(gè)晶體內(nèi)運(yùn)動(dòng)；2）、電子在晶體中的軌道是該電子的原子軌道的線性組合。近自由電子近似適合于金屬晶體；緊束縛近似適合于半導(dǎo)體、絕緣體等。三.解答與計(jì)算題（共40分）1、寫出倒格子定義并證明面心立方晶格的倒格子是體心立方。（10分）證：倒格子基矢定義為：b 22a3hb2

7、 2-a二b3 2 /丁已a(bǔ)1 a2 a3a1 a2 a3a1 a2 a3面心立方格子原胞基矢a1 a（j k）/2,a2 a（k）/2,a3 a（i j）/2故其倒格子基矢為：一a° a&2 一 一“2”一（ i j k）a1 a2 a3a同理，b2 （P jk）； b32-（；j k）oaa可見由6,EE為基矢構(gòu)成的格子為體心立方格子。證明完畢。2.考慮一維雙原子鏈， 鏈上最近鄰原子間的力常數(shù)交錯(cuò)地等于和10 ,令兩種原子的質(zhì)量相等并且最近鄰的間距為 a/2。試求在q = 0和q = /a處的（q）,并粗略地畫出色散關(guān)系曲 線。（15分）解：a/210X2n-1X2nX2

8、n+2X2n+1d X2n mdt2d2X2n 1m2dt210 (X2n 1X2n)(X2nX2n 1 )(X2n 2 X2n 1 )10 (X2n 1X2n)i (2n 1)qa tX2n 1 Ae 2i (2n)qa tX2n Be11m代入方程組，可以得到iqa /2 iqa / 2 .A - 10eq e q B 0miqa / 2iqa / 211一 eq 10e q A mm令從A、20mB有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得211 ；2410dqe iqa/2 eiqa/2 10eiqa/2 0可得22 11 . 20cosqa_101q 0時(shí)，cosqa 1,222 0 ,0

9、q 時(shí)，cosqa 1, v20 0,<2 0a2 713.設(shè)一維晶體的電子能帶可以寫出E(k)2(coskacos2ka)ma 88其中a為晶格常數(shù)，計(jì)算1)能帶的寬度；2)電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度；3)能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量。(15分)271斛：D能干的范度的計(jì)算 E(k) 2( coska -cos2ka)ma 88能帶底部k 0E(0) 0能帶頂部2方22ma2方2能帶寬度 E E(-) E(0) 一2 ama2)電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度,一，-1 dE(k)方1電子的速度：v(k)(sin ka sin 2ka)dkma43)能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量護(hù)71

10、E(k) 2( coska cos2ka)ma 88電子的有效質(zhì)量m方2/2ek"coska (1/2)cos2ka能帶底部k 0有效質(zhì)量2m2 m. 3 . . . . *能帶頂部k/a有效質(zhì)量m第一章晶體結(jié)構(gòu)1 .試述晶態(tài)、非晶態(tài)、準(zhǔn)晶、多晶和單晶的特征性質(zhì)。解：晶態(tài)固體材料中的原子有規(guī)律的周期性排列，或稱為長程有序。非晶態(tài)固體材料中的原子不是長程有序地排列，但在幾個(gè)原子的范圍內(nèi)保持著有序性， 或稱為短程有序。準(zhǔn)晶態(tài)是介于晶態(tài)和非晶態(tài)之間的固體材料，其特點(diǎn)是原子有 序排列，但不具有平移周期性。另外，晶體又分為單晶體和多晶體：整塊晶體內(nèi)原子排列的規(guī)律完全一致的 晶體稱為單晶體；而多

11、晶體則是由許多取向不同的單晶體顆粒無規(guī)則堆積而成 的。2 .品格點(diǎn)陣與實(shí)際晶體有何區(qū)別和聯(lián)系？解：晶體點(diǎn)陣是一種數(shù)學(xué)抽象，其中的格點(diǎn)代表基元中某個(gè)原子的位置或基 元質(zhì)心的位置，也可以是基元中任意一個(gè)等價(jià)的點(diǎn)。當(dāng)品格點(diǎn)陣中的格點(diǎn)被具體 的基元代替后才形成實(shí)際的晶體結(jié)構(gòu)。晶格點(diǎn)陣與實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系可總結(jié) 為：品格點(diǎn)陣+基元=實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)3 .晶體結(jié)構(gòu)可分為Bravais格子和復(fù)式格子嗎？解：晶體結(jié)構(gòu)可以分為Bravais格子和復(fù)式格子，當(dāng)基元只含一個(gè)原子時(shí)，每 個(gè)原子的周圍情況完全相同，格點(diǎn)就代表該原子，這種晶體結(jié)構(gòu)就稱為簡(jiǎn)單格子 或Bravais格子；當(dāng)基元包含2個(gè)或2個(gè)以上的原子時(shí)，各基元中

12、相應(yīng)的原子組 成與格點(diǎn)相同的網(wǎng)格，這些格子相互錯(cuò)開一定距離套構(gòu)在一起， 這類晶體結(jié)構(gòu)叫 做復(fù)式格子。4 .圖1.34所示的點(diǎn)陣是布喇菲點(diǎn)陣（格子）嗎？為什么？如果是，指明它屬于那 類布喇菲格子？如果不是，請(qǐng)說明這種復(fù)式格子的布喇菲格子屬哪類？(a)(b)(c)(d)(a) “面心+體心”立方；(b) “邊心”立方；(c) “邊心+體心”立方；(d)面 心四方解：(a) “面心+體心”立方不是布喇菲格子。從“面心+體心”立方體的任一頂角上的格點(diǎn)看，與它最鄰近的有12個(gè)格點(diǎn)；從面心任一點(diǎn)看來，與它最鄰近的也是 12個(gè)格點(diǎn)；但是從體心那點(diǎn)來看， 與它最鄰近的有6個(gè)格點(diǎn)，所以頂角、面心的格點(diǎn)與體心的格

13、點(diǎn)所處的幾何環(huán)境 不同，即不滿足所有格點(diǎn)完全等價(jià)的條件，因此不是布喇菲格子，而是復(fù)式格子， 此復(fù)式格子屬于簡(jiǎn)立方布喇菲格子。(b) “邊心”立方不是布喇菲格子。從“邊心”立方體豎直邊心任一點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有八個(gè)；從“邊 心”立方體水平邊心任一點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子也有八個(gè)。雖然兩者最鄰近 的點(diǎn)數(shù)相同，距離相等，但他們各自具有不同的排列。豎直邊心點(diǎn)的最鄰近的點(diǎn) 子處于相互平行、橫放的兩個(gè)平面上，而水平邊心點(diǎn)的最鄰近的點(diǎn)子處于相互平 行、豎放的兩個(gè)平面上，顯然這兩種點(diǎn)所處的幾何環(huán)境不同， 即不滿足所有格點(diǎn) 完全等價(jià)的條件，因此不是布喇菲格子，而是復(fù)式格子，此復(fù)式格子屬于簡(jiǎn)立方 布喇菲格子

14、。(c) “邊心+體心”立方不是布喇菲格子。從“邊心+體心”立方任一頂點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有 6個(gè)；從邊心任 一點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有 2個(gè)；從體心點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有 12 個(gè)。顯然這三種點(diǎn)所處的幾何環(huán)境不同， 因而也不是布喇菲格子，而是屬于復(fù)式 格子，此復(fù)式格子屬于簡(jiǎn)立方布喇菲格子。(d) “面心四方”從“面心四方”任一頂點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有 4個(gè)，次最鄰近點(diǎn)子有 8個(gè)；從“面心四方”任一面心點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有 4個(gè)，次最鄰近點(diǎn) 子有8個(gè)，并且在空間的排列位置與頂點(diǎn)的相同，即所有格點(diǎn)完全等價(jià)，因此“面 心四方”格子是布喇菲格子，它屬于體心四方布喇菲格子。5.以二

15、維有心長方晶格為例，畫出固體物理學(xué)原胞、結(jié)晶學(xué)原胞，并說出它們各 自的特點(diǎn)。解：以下給出了了二維有心長方品格示意圖：由上圖，我們可給出其固體物理學(xué)原胞如下圖（ a）所示，結(jié)晶學(xué)原胞如下 圖（b）所示：（a）（b）從上圖（a）和（b）可以看出，在固體物理學(xué)原胞中，只能在頂點(diǎn)上存在結(jié) 點(diǎn)，而在結(jié)晶學(xué)原胞中，既可在頂點(diǎn)上存在結(jié)點(diǎn)，也可在面心位置上存在結(jié)點(diǎn)。6 .倒格子的實(shí)際意義是什么？ 一種晶體的正格矢和相應(yīng)的倒格矢是否有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系？解：倒格子的實(shí)際意義是由倒格子組成的空間實(shí)際上是狀態(tài)空間（波矢K空間），在晶體的X射線衍射照片上的斑點(diǎn)實(shí)際上就是倒格子所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)子。設(shè)一種晶體的正格基矢為ai、a2

16、、a3,根據(jù)倒格子基矢的定義：bi2 a? a3b?2 a3 aib32 ai a?式中 是晶格原胞的體積，即a1 a2 a3,由此可以唯一地確定相應(yīng)的倒格子空間。同樣，反過來由倒格矢也可唯一地確定正格矢。 所以一種晶體的正 格矢和相應(yīng)的倒格矢有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。7 .為什么說晶面指數(shù)（卜2卜3）和Miller指數(shù)（hkl ）都能反映一個(gè)平行晶面族的 方向？解：晶面指數(shù)（hih2h3）是以固體物理學(xué)原胞的基矢ai、a2、a3為坐標(biāo)軸來表示面指數(shù)的，而Miller指數(shù)（hkl）是以結(jié)晶學(xué)原胞的基矢a、b、c為坐標(biāo)軸 來表示面指數(shù)的，但它們都是以平行晶面族在坐標(biāo)軸上的截距的倒數(shù)來表示的， 而這三個(gè)截

17、距的倒數(shù)之比就等于晶面族的法線與三個(gè)基矢的夾角余弦之比，從而反映了一個(gè)平行晶面族的方向。8 .試畫出體心立方、面心立方的（100）, （110）和（111）面上的格點(diǎn)分布。解：體心立方（100）, （110）和（111）面上的格點(diǎn)分布為：體心立方（100）面體心立方（110）面體心立方（111）面9 .一個(gè)物體或體系的對(duì)稱性高低如何判斷？有何物理意義？ 一個(gè)正八面體（見圖1.35）有哪些對(duì)稱操作？解：對(duì)于一個(gè)物體或體系，我們首先必須對(duì)其經(jīng)過測(cè)角和投影以后， 才可對(duì)它的 對(duì)稱規(guī)律，進(jìn)行分析研究。如果一個(gè)物體或體系含有的對(duì)稱操作元素越多， 則其 對(duì)稱性越高；反之，含有的對(duì)稱操作元素越少，則其對(duì)稱性

18、越低。晶體的許多宏觀物理性質(zhì)都與物體的對(duì)稱性有關(guān)，例如六角對(duì)稱的晶體有雙 折射現(xiàn)象。而立方晶體，從光學(xué)性質(zhì) 來講，是各向同性的。正八面體中有3個(gè)4度軸，其中任意 2個(gè)位于同一個(gè)面內(nèi)，而另一個(gè)則垂 直于這個(gè)面；6個(gè)2度軸；6個(gè)與2 度軸垂直的對(duì)稱面；3個(gè)與4度軸垂 直的對(duì)稱面及一個(gè)對(duì)稱中心。10.各類晶體的配位數(shù)（最近鄰原子數(shù)）是多少？解：7種典型的晶體結(jié)構(gòu)的配位數(shù)如下表 1.1所示:晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)面心立力 六角密積12氯化鈉型結(jié)構(gòu)6體心立力8氯化葩型結(jié)構(gòu)8間乂力6金剛右型結(jié)構(gòu)411利用剛球密堆模型，求證球可能占據(jù)的最大體積與總體積之比為(1)簡(jiǎn)單立方(2)體心立方 ： 3/ c、

19、77Tl、丁. - 2;(3)面心立方 (4)六角密積;(5)金剛石今。解：(1)在簡(jiǎn)立方的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為 R,則原胞的晶體學(xué)常數(shù)1 4 R3 1 R33a2R,則簡(jiǎn)立方的致密度(即球可能占據(jù)的最大體積與總體積之比)為：1 R(4R/ ,3)38 3(2R)266一() (46/3)R 1 R3_(2R)36(2)在體心立方的結(jié)晶學(xué)原胞中,設(shè)原子半徑為R ,則原胞的晶體學(xué)常數(shù)432 - R33a(3)在面心立方的結(jié)晶學(xué)原胞中,設(shè)原子半徑為R ,則原胞的晶體學(xué)常數(shù)4R/V3,則體心立方的致密度為:4323 R =434 R33a2V2R,則面心立方的致密度為:4323 R 二(2.2

20、R)36(4)在六角密積的結(jié)晶學(xué)原胞中,設(shè)原子半徑為R ,則原胞的晶體學(xué)常數(shù)2R,436 R3c . 3a26 c4c (2V6/3)a (4<,6/3)R,則六角密積的致密度為:(5)在金剛石的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為R ,則原胞的晶體學(xué)常數(shù)(8/e)R,則金剛石的致密度為:8 f R38 R33aR3(8/ 3)3R31612.試證明體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。 解：我們知體心立方格子的基矢為：ai 2（ i j k）a22（i j k）a3 2（i j k）根據(jù)倒格子基矢的定義，我們很容易可求出體心立方格子的倒格子基矢為：h2 a2 a3 21、bi -（j k）a2

21、 a3 a12 /b2 （i k）a-2 ai a22.、b3（i j）a由此可知，體心立方格子的倒格子為一面心立方格子。同理可得出面心立方 格子的倒格子為一體心立方格子，所以體心立方格子和面心立方格子互為正倒格 子。13.對(duì)于六角密積結(jié)構(gòu)，固體物理學(xué)原胞基矢為a . 3 .a1 i ai22a .、3 .a2 i aj22a3試求倒格子基矢。解：根據(jù)倒格子基矢的定義可知:b12 a2 a32ai a2 a3b2 2 a3 a12ai a2 a3(21cka 3(-i 萬aj) (ck)a . 3 a 3(萬i萬可)(35刈(Ml、3ac. ac.Q2"1 "2j2 .2

22、.2 -J =一(i R)3 2a . 3a c2a 3(ck) ( 2i 5可).3 a 3萬利)(2 萬aj) (ck)3ac. ac.萬3 2a c2-2(i 3j)3b32aa2Q a2a3a a .3(i aj)22(ii3-aj) (ck).32.a k23 2a c214.夾角晶體原胞基矢大小1010 m1010 m10c 8 10 m ,基矢間解:90(D(2)(3)120 。試求:倒格子基矢的大?。?正、倒格子原胞的體積； 正格子(210)晶面族的面間距。(1)由題意可知，該晶體的原胞基矢為:a1ai由此可知:b1a2 a3=2a2a3.3 bcib(ckb2a3 a c=2

23、a1 a2 asb3a a2 =21 、2j)蟲abc2acj .2qabc23Tj)(i2 ;3jT3j)"k23abc2所以bi12241011.8138 10 mb241.2092 1010m 1,3bb322一12c2=一 0.7854 c10110 m(2)正格子原胞的體積為:1a1 a2 a3 = (ai) b(二i 23Tj),3283二一abc 1.6628 10 m 2倒格子原胞的體積為:b1 b2 b3= (i-=a , 3j)2(k) c316303=1.4918 10 m.3abc(3)根據(jù)倒格子矢量與正格子晶面族的關(guān)系可知, 距為：正格子(210)晶面族的面

24、問dh24101.4412 10 10 m15.如圖1.36所示，試求:(1)晶列ED , FD和OF的晶列指數(shù);(2) 晶面AGK ,FGIH和MNLK的密勒指數(shù);(3)畫出品面(720), (131)。Dz 4x解：（1）根據(jù)晶列指數(shù)的定義易求得晶列 ED的晶列指數(shù)為111,晶列FD的 晶列指數(shù)為110,晶列OF的晶列指數(shù)為011 o（2）根據(jù)晶面密勒指數(shù)的定義晶面AGK在x , y和z三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距依次為1, -1和1,則其倒數(shù)之比為1:1：1 1:1:1 ,故該晶面的密勒指數(shù)為（111）。11 1晶面FGIH在x, y和z三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距依次為1/2, oo和1,則其倒數(shù)、，11

25、 1之比為:-:- 2:0:1,故該晶面的密勒指數(shù)為（201）。1/21晶面MNLK在x , y和z三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距依次為 1/2, -1和則其倒 數(shù)之比為工：上：12:1:0,故該晶面的密勒指數(shù)為（210）。1/21（3）晶面（20）（131）分別如下圖中晶面 AMLk和晶面ABC所示：z.dhkla, b , c構(gòu)成簡(jiǎn)單正交系。證明晶面族（hkl）的面間距為/ h2/k2/l 2()(,)()a b c解：由題意可知該簡(jiǎn)單正交系的物理學(xué)原胞的基矢為:a1 aia2 bja3 ck由此可求得其倒格子基矢為:a1a2a3 2a 3a1a1a2a32aa2bib2b32 a2 a3ai a2a

26、32 abc(bci)2 / .、 -(acj) abc2-(abk) abc2 .TJkc根據(jù)倒格子矢量的性質(zhì)有:dhkl2_K hkl2hb1 kb2 lb32(h)2(k)2a b(l)2c3j , a3 1.5(i J k)。試求:222hi kj Ik17.設(shè)有一簡(jiǎn)單格子，它的基矢分別為ai 3i,a2(1)此晶體屬于什么晶系，屬于哪種類型的布喇菲格子？(2)該晶體的倒格子基矢；(3)密勒指數(shù)為(121)晶面族的面間距；(4)原子最密集的晶面族的密勒指數(shù)是多少？(5) 111與111晶列之間的夾角余弦為多少？解：(1)由題意易知該晶體屬于立方晶系，并屬于體心立方布喇菲格子。(2)由倒

27、格子基矢的定義可知：b2a2a3a1a2a3b22a3a1a1a2a3b32aa2a1a2a32 4.5(i k)13.52 4.5(j k)13.52 9k 2 k13.51.52323(I(Jk)k)(3)根據(jù)倒格矢的性質(zhì)，可求得密勒指數(shù)為(121)晶面族的面間距為(4)由于面密度d1212K12121 b1 2b2 b3d ,其中d是面間距， 是體密度。對(duì)布喇菲格子,等于常數(shù)。因此，我們可設(shè)原子最密集的晶面族的密勒指數(shù)為(%h2h3),則該晶面族的面間距dh卻應(yīng)為最大值，所以有d hih2h32K 加卜2卜3|hibih2b2h3b32-hii h2j (2h3 hi h2)k3h1i

28、h2j (2h3 h1 h2)kmax由此可知，對(duì)面指數(shù)為(100)、(010)、(101)、(011)和(111)有最大面間距3/J2 ,因而這些面即為原子排列最緊密的晶面族。(5) 111與111晶列之間的夾角余弦為Rm R111a2a3)a2a3)arccos-：|R1111Kli1a1a2a3a1a2a3arccos48.53(4.5i 4.5j 1.5k) (1.5i 1.5j 1.5k)4.5i 4.5j 1.5k 1.5i 1.5j 1.5k|X10-10m。試求：(1)品格常數(shù)；(2)固體物理學(xué)原胞基矢和倒格子基矢；(3)密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距；(4)密勒指數(shù)為(1

29、10)和(1彳1)晶面法向方向間的夾角。7Ga原子4。NAs原子故 a rd r 2.45一 10 _ 1010 m = 5.59 10 m解：(1)由題意可知，GaAs的晶格為復(fù)式面心立 方品格，其原胞包含一個(gè) Ga原子和一個(gè)As原子， 其中Ga原子處于面心立方位置上，而As原子則處 于立方單元體對(duì)角線上距離Ga原子1/4體對(duì)角線長 的位置上，如左圖所示： 由此可知：(2)由于GaAs的空間點(diǎn)陣為面心立方結(jié)構(gòu)，故其固體物理學(xué)原胞基矢為:a1 a(j k) 2.795 10 10(j k)a2 a(k i) 2.795 10 10(k i)2a_ 10a3 2(i j) 2.795 1010(

30、i j)其倒格子基矢為：2iobi ( i j k) 1.124 10 ( i j k) a2iob2 一(i j k) 1.124 10 (i j k) a2b3 一(i j k) 1.124 10 10(i j k) a(3)密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距為：22ad110 r 2 2.795 10 mK110I 1 b1 1 b2 0 b3|2(4)根據(jù)倒格子矢的性質(zhì)可知，密勒指數(shù)為(110)和(1彳1)晶面法向方向間的火K110 Km arccosK110I Km角即為倒格子矢Ku。和K111之間的夾角，設(shè)為 ,則有：(1 b11b20 b3) (1b11b21 b3)1 b11b

31、2 0 b3| |1b11b21 b3= arccos( 0.3015) 107.5519.如圖1.37所示，設(shè)二維正三角形晶格相鄰原子間距為a,試求：(1)正格子基矢和倒格子基矢；(2)畫出第一布里淵區(qū)，并求出第一布里 淵區(qū)的內(nèi)接圓半徑。解：(1)取該二維正三角形晶格中任意相鄰的兩邊為基矢，并使 a1的方向和i的方向相同，于是有:3a . vja1ai一a.a2 i2那么有:b12b22a2 ka1 (a2 k)k a1a1 (a2 k)21一(i j)a 34 :3aj(2)根據(jù)第一布里淵區(qū)的定義，可作圖如下所示:/a /a上圖中的陰影部分即為第一布里淵區(qū)，且由圖中可以求出第一布里淵區(qū)的內(nèi)

32、接圓半徑為: _2_2. 3a20.試求面心立方結(jié)構(gòu)、體心立方結(jié)構(gòu)和金剛石結(jié)構(gòu)的幾何結(jié)構(gòu)因子；并討論其 衍射相消條件。解：(1)在面心立方結(jié)構(gòu)的原胞中包含有 4個(gè)原子，其坐標(biāo)為00 0,1 1八01022由此可知，其幾何結(jié)構(gòu)因子為F hkli2_S Rjfjefjei2 n( hUj kVjlWj )由于 h、Fhkl '由此可知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)Fhkli n(h k) eein(h l)i n(k l) ef21 cos n(hsin n(h k)k)sincos n(h l)n(h l) sin2cos n(k l)n(k l)l和n都為整數(shù)，所以上式中的正弦項(xiàng)為2 ,f 1 cos

33、n(h k) cos n(h l)nh、nk和nl奇偶混雜時(shí),即nh、0,即出現(xiàn)衍射相消。cos n(k00于是有l(wèi))2nk和nl不同為奇數(shù)或偶數(shù)(2)在體心立方結(jié)構(gòu)的原胞中包含有 2個(gè)原子，其坐標(biāo)為 1 1 10 0 0 和2 2 2由此可知，其幾何結(jié)構(gòu)因子為由于 h、k、F hklF hkli2 fjeSRjn (hk l)cos n(hi2 n(huj kvj lWj) fjek l) 2 sin n(hl和n都為整數(shù)，所以上式中的正弦項(xiàng)為_ 22f 1 cos n(h k l)由此可知，當(dāng)n(h k l)為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)有(3)在金剛石結(jié)構(gòu)的原胞中含有 8個(gè)原子,000, 1 1 1 ,

34、 110,4 4 42 210-, 0 -F hkll)2于是有0,即出現(xiàn)衍射相消。其坐標(biāo)為1 3 33 32 ,4 4 43234 4 4由此可知，其幾何結(jié)構(gòu)因子為F hkli2_SR fjei n(he 2i n(he 2cosn(h由此可知,時(shí)或者當(dāng)nh、l)l)eifjen(h k)i n(h ei 2 n(hUj kVji n(h l) ek)cos n(h2l) cos n(klWj )ei n(h l)2k l)i n(k l)i n(k el)i-n(3h 3k e 2sin n(h22l) sin n(h k)sinl)i-n(3h k 3l) 22l) 1n(h l)i-n

35、(h 3k 3l) e 2cos n(h k)2sin n(k l)k、l和n都為整數(shù)，所以上式中的正弦項(xiàng)為 00于是有22 cos n(h k l) 1 cos n(h k) cos n(h l) cos n(k l)當(dāng)nh、nk和nl奇偶混雜時(shí)，即nh、nk和nl不同為奇數(shù)或偶數(shù)nk和nl全為偶數(shù)，且n(h k l) 4(2m 1)(其中m為整數(shù))時(shí),有有FhkJ20,即出現(xiàn)衍射相消,已知NaCl晶胞中Na卡與Cl X10-103。求:(1) X射線的波長；(2)阿伏加德羅常數(shù)解：(1)由題意可知NaCl晶胞的晶胞參數(shù)a 2 2.82 10 10 5.64 10 10m,又應(yīng)為NaCl晶胞

36、為面心立方結(jié)構(gòu)，根據(jù)面心立方結(jié)構(gòu)的消光規(guī)律可知，其一級(jí) 反射所對(duì)應(yīng)的晶面族的面指數(shù)為(111),而又易求得此品面族的面間距為10,a5.64 10 1010d111- 3.26 10 m>2 .2.2, 1113又根據(jù)布拉格定律可知：2d111sin2 3.26 1010 sin5.9 6.702 10 9mNa(2)由題意有以下式子成立M NaClNa4M NaCl3a4 58.5(5.64 10 10)3 2.16 1066.038 1023第一章晶體的結(jié)構(gòu)測(cè)試題1 .以堆積模型計(jì)算由同種原子構(gòu)成的同體積的體心和面心立方晶體中的原子數(shù)目之比2 .解理面是面指數(shù)低的晶面還是面指數(shù)高的晶

37、面？為什么？3 .與晶列"1"1垂直的倒格面的面指數(shù)是什么？4 .高指數(shù)的晶面族與低指數(shù)的晶面族相比，對(duì)于同級(jí)衍射，哪一晶面族衍射光弱？為什么？5 .以剛性原子球堆積模型，計(jì)算以下各結(jié)構(gòu)的致密度分別為：(1)簡(jiǎn)立方，汽/6(2)體心立方,記(3)面心立方，6 ；72工(4)六角密積，6耳(5)金剛石結(jié)構(gòu)，16。6 .試證面心立方晶格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方 招：以二了 百：&二7Q =-GJ - Jq i? -fTJ 4 "- J' C ck7 .六角晶胞的基矢2222. 求其倒格基矢。8.求晶格長數(shù)為a的面心立方和體心立方晶體晶面

38、族(A她)的面間距.第一章晶體的結(jié)構(gòu)習(xí)題解答1 .解答4R，亞,晶胞的體積為(4即同/4,單位體積晶設(shè)原子的半徑為R,體心立方晶胞的空間對(duì)角線為 4R,胞的邊長為4月,晶胞的體積為(裝/白):一個(gè)晶胞包含兩個(gè)原子，一個(gè)原子占的體積為,單位體積晶體中的原子數(shù)為 24'"")1面心立方晶胞的邊長為(4五/ 72)一個(gè)晶胞包含四個(gè)原子，一個(gè)原子占的體積為體中的原子數(shù)為向.因此，同體積的體心和面心立方體晶體中原子數(shù)之比 為：(屈尸2309。2 .解答晶體容易沿解理面劈裂， 說名平行于解理面的原子層之間的結(jié)合力弱，即平行解理面的原子層的間距大。因?yàn)槊骈g距大的晶體晶面族的指數(shù)低

39、， 所以解理面是面指數(shù)低的晶面。3 .解答正格子與倒格子互為倒格子。正格子晶面 沖他）與倒格式»>k川=岫+岫+岫垂直，則倒格晶面與正格矢瑞二4al+3 +加正交。即晶列卬/與倒格面UH）垂直。4 .解答對(duì)于同級(jí)衍射，高指數(shù)的晶面族衍射光弱，低指數(shù)的晶面族衍射光強(qiáng)。低指數(shù)的晶面族間距大，晶面上的 原子密度大，這樣的晶面對(duì)射線的反射（衍射）作用強(qiáng)。相反，高指數(shù)的晶面族面間距小，晶面上的原子 密度小。另外，由布拉格反射公式2dh k i s in 8 =n 入可知，面間距d h k i大的晶面，對(duì)應(yīng)一個(gè)小的光的掠射角0面間距d h k i小的晶面，對(duì)應(yīng)一個(gè)大的光的掠射角e。e 越大，光的透射能力就越強(qiáng)，反射能力就越弱。5 .解答設(shè)想晶體是由剛性原子球堆積而成。 一個(gè)晶胞中剛性原子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比 值稱為結(jié)構(gòu)的致密度。設(shè)n為一個(gè)晶胞中剛性原子球數(shù)，r表示剛性原子球半徑，表示晶胞體積，則致密度（1）對(duì)簡(jiǎn)立方晶體，任一個(gè)原子有 6個(gè)最近鄰，若原子以剛球堆積，如圖 2所示, 中心在1, 2, 3, 4處的原子球?qū)⒁来蜗嗲?。因?yàn)?a=2r, V=a3,晶