上海工程技術大學-概率論作業(yè)答案

1、習題一1 .設 A,8,C 是三個事件，且 P(A) = P(8) = P(C) = 1 , P(AB) = P(BC) = O ,4P(AC) = -,求4,8,C中至少有一個發(fā)生的概率.8解” P(AB) = 0. P(ABC) = 0.C) = P( A) + P(3) + P(C) P(AB) - P(BC) 一 P( AC) + P(ABC)=l+l+l-o-o-i+o=2 .設事件A,B及AuB的概率分別為p,q及，求：P(AB), P(AB), P(AB)及P(AB).解：P(AB) = P(A) + 0(8) P(A u 8) = + q P(AB)=尸(A) -P(AB) =

2、 r-qP(AB) = P(B)- P(AB) = r-p11-3.設P(A) = , P(B)=一,試分別在以下三種情況下求P(M)的值: 32(1)A, 8互不相容:3Q)解：1 ) P(AB) = P(B) = -2一 1 1 1(2 ) P(AB) = P(B) - P(A) = - = -2 3 6一1 1 3(3 ) P(AB) = P(B) - P(AB) = - = -2 8 84.盒子中裝有同型號的電子元件100個，其中有4個是次品.從盒子中任取4個，求: (1)4個全是正品的概率；(2)恰有一個是次品的概率：(3)至少有兩個是次品的概率.解：Q) “ = * = 0.847

3、2。100(2) = 0.1458Coo(3) p = 1-0.8472 -0.1458 = 0.0070 或 p =c；g；+cJg；6+c：= 0.00715.從45件正品5件次品的產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求其中有次品的概率.C解：p = 一-芋= 0.27606.從一副撲克牌(52張)中任取4張，求4張牌的花色各不相同的概率.解:134= 0.10557.某城市的號碼由8個數(shù)字組成，第一位為5或6.求(1)隨機抽取的一個號碼為不重復的八位數(shù)的概率；(2)隨機抽取的一個號碼末位數(shù)是8的概率.2 -P7 解： =-3 = 0.0181 2-107(2) P =2-1062-107= 0.18.房

4、間里有4人，求：(1)這4人的生日不在同一個月的概率：(2)至少有2人的生日在同一個月的概率.1?解： =1一= 0.99941乙(2) p = lQ = 0.42719 . P(A) = , P(8IA) = 1, P(AB) = -,求尸(4u8).432解：P(A8) = P(A)P(8IA) = AP(A 0 8)=尸(A) + P(8) 尸(A8) = ； + ： A = g10 .擲兩顆骰子，兩顆骰子點數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點的概率. 解：設A：其中一顆為1點，B：點數(shù)之和為7,那么尸二白4尸(附嗯，尸加鬻或 8 = (1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4)

5、,(4,3),那么尸(AI8) = 3 = ?6 311 .某個家庭中有兩個小孩，其中一個是女孩，試問另一個也是女孩的概率是多少?解：其中一個是女孩的樣本空間為：(男，女)，(女，男)，(女，女) 故所求概率為:12 . 一盒子中裝有7只晶體管，其中5只是正品，2只是次品，從中抽取兩次，每次任取一 只不放回，求：(1)Q)(4)兩次都取得正品的概率：第一次取得正品，第二次取得次品的概率; 一次取得正品，另一次取得次品的概率； 第二次取得正品的概率.解：(1) p = - - = 7 6 21,、5 2 5(2) p 7 6 21,、5 2 2 5 10(3) = 一 + 一 =7 6 7 6

6、21,、5 4 2 5 57 6 7 6 713 .袋中有紅球和白球共100個，其中白球有10個.每次從袋中任取一球不放回，求第三 次才取到紅球的概率.解：設4表示事件“第i次取到白球"，i = L2,3_in 9 90那么所求概率為：P(A44) = P(4 )P(4 I 4)P(A3 14A2)=而而冢=0.008314 .某人忘記了 號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地撥號，求他拔號不超過三次而撥對 所需 的概率.假設最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少?19 19 8 13= 一 一=10 10 9 10 9 8 103解：(1) p = 一 或10p=315 .兩臺車床加工同樣

7、的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率為0.03,第二臺出現(xiàn)廢品的概率為 0.02.加工出來的零件放在一起，并且第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍，求任 意取出的一件產(chǎn)品是合格品的概率.解：設事件A：取得的產(chǎn)品是合格品，事件耳：取得的產(chǎn)品由第i臺車床加工，i = l,221那么所求概率為：P(A) = P(q)P(A)+ P(B2)P(A I 約)=二 0.97 + - 0.98 = 0.973316 .設有甲、乙兩個口袋，甲袋中裝有只白球，6只紅球，乙袋中裝有N只白球，M只 紅球.現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任意取一球，問：(1)取到白球的概率是多少？(2)假設取到白球，那么原先是從甲

8、袋中取得白球放入乙袋的概率是多少？解：設事件A：從乙袋取到白球，事件B：從甲袋取到白球 所求概率為：P(A) = P(B)P(A IB) + P(B)P(A I B)n N + 1 m NnN + n + mN=-H=m + n M + N + l m + n M + N + 1 (7 + )(M+N + 1) 所求概率為：P(3IA) = 如也P(A)n . N + l /= m + n' M +N + /_ N + / nN + n + mNnN + Z7 + mN/+ N + 1)17 .設8支槍中有3支未經(jīng)試射校正，5只已經(jīng)試射校正.一射手用校正的槍射擊時，中靶 的概率為0.8

9、,而用未校正過的槍射擊時，中靶的概率為0.3.現(xiàn)假定從8支槍中任取一支進 行射擊，結果中靶，求所用的槍是己校正過的概率.解：設事件A：射擊中靶，事件B：所用的槍是已校正過的那么所求概率為：PA)=研瑞磊翳砌-0.8 8-0.8 + -0.3 8840 = 0.8163491718 .盒子中放有12個乒乓球，其中有9個是新的.第一次比賽時從中任取3個來使用，比 賽后仍放回盒中，第二次比賽時再從盒中任取3個，求第二次取出的球都是新球的概率. 解：設事件A：第二次取出的球全是新球3那么所求概率為：P(A) = ZP(4)P(Alg)事件與：第一次取出的球當中有i個新球，i = 012,3r-0廠0廠

10、3廠3廠1廠2廠3廠2廠103廠303=匕 44193 .匕.y=0 145833333033r3C!2C12C12C12C12C12C12C1219 .設事件A與8相互獨立，且P(A) = ,P(8)=q.求以下事件的概率:(1) P(A 0 8)；(2) P(AoB)： (3) P(A B).解：(1) P(AU B) = P(A) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = p + qpq(2) P(AjB) = P(A) + P(B)-P(A)P(B) = p + (-q)-p(i-q) = -q + pq(3) = P(AB) = 1-P(AB

11、) = 1-P(A)P(B) = -pq20 .甲、乙兩人獨立地向同一目標射擊，甲擊中目標的概率是09乙擊中目標的概率是0.8.甲、 乙兩人各射擊一次，求此目標被擊中的概率.解：設事件A：甲擊中目標，事件B：乙擊中目標那么所求概率為：P(AU8)=尸(A) + 尸(8)-尸(A)尸(8) = 0.9 + 0.8-0.9- 0.8 = 0.9821 .設每一門高射炮(發(fā)射一發(fā))擊中飛機的概率為0.6,現(xiàn)假設干門炮同時發(fā)射(每炮射 一發(fā))，假設欲以99%的把握擊中來犯的一架飛機，問至少需配備幾門高射炮？解：事件4：第i門炮擊中飛機，那么p(0 A) = 1 -尸(0 4) = 1 -尸(R .)=

12、1T P(4)r = 1 - 04” > 0.99i-lr-1Z-llog。4 c).01=5.026所以至少配備6門高射炮。22 .如圖，三個元件分別記作A,8,C,且三個元件能否正常工作是相互獨立的.設三個元件正常工作的概率分別為0.7, 0£和0.8,求該電路發(fā)生故障的概率.I B |一A 一-1 c |解：設事件48, C分別表示元件48,C正常工作那么所求概率為： =1 一(1 一P(B)P(C)- P(A) = l-(l-0.2-0.2)-0.7 = 0.328或 =P(A) + P(ABC) =0.34-0.7- 0.2 -0.2 = 0.32823. 一大樓有5

13、個同類型的供水設備，調(diào)查說明在任一時刻每個設備被使用的概率為0, 問在同一時刻(1)恰有2個設備被使用的概率；(2)至少有3個設備被使用的概率.解： 鳥(2)=技QI)2(0.9)3 =0.0729(2) = E(3) + G(4) + G(5)=點(0.爐(0.9)2 + C(0.1)4 (0.9)1 + 以(0.1 日(0.9)° = 0.0085624.某人獨立射擊10次，每次射擊的命中率均為0.6,求：(1)擊中三次的概率：(2)至少有一次未擊中的概率.解： p = %(3) =或(0.6)3(04)7 =0.0425 p = l-/1o(lO) = Cjo(O.6),o(O

14、.4)° =0.9940習題二1.設隨機變量X的分布律為PX =攵=:，k = 1,2,2k(1)確定常數(shù)(2)求PX>3.1Xw-Cl解：由標準性：ZA =1得：Zl = 2r = a = l。=1IA-1 2 2(2) PX>3(=l-PX=l)-PX=2)-PX=3) = l-l-l = 12.設在15只同類型的零件中有2只次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣.以 X表示取出次品的只數(shù)，求X的分布律.解：PX=O =鼻TCi5 J?尸X = l =害-12Ci535PX=2 =等4CI5 "X的分布律為:X012P2222J_3535353. 一

15、射手每次射擊的命中率為0.2,試問必須進行多少次獨立射擊才能使至少擊中一次的概 率不小于0.9?解：設X表示次射擊中擊中的次數(shù)，那么X8(,0.2)PX>l = l-PX=0 = l-0.8n >0.9/.77>11.,必須進行11次獨立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于094. 一批產(chǎn)品中有20%的次品，進行重復抽樣檢查，共抽取5件樣品，計算這5件樣品中恰 好有3件次品、至多有3件次品的概率.解：設X表示5件樣品中次品的件數(shù)，那么X8(5,0.2)那么恰好有3件次品的概率為：PX = 3 = C，(0.2)3 .OX? =0.0512至多有3件次品的概率為：PX<3)

16、 = 1-P(X=4)-P(X=5=1 一煤(0.2)4 一以(0.2)5 -0.8° = 0.99335 .某高速公路每天有大量汽車通過，設每輛汽車在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001, 在某天的該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少？(利用 泊松定理計算)解：2 = ,?/7 = 1000 x 0.0001 =0.1PX >2 = 1-PX =Q-PX =1= 1-CK)O-0.0001° .O.9999,(XX) -C短-0.00011 0.99999"0.1° -OJ 0.11d7elee = U.004

17、 /0!1!6 .某交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求:(1)每分鐘恰有8次呼喚的概率：(2)每分鐘的呼喚次數(shù)超過10次的概率.解：尸X=8 = 二=0.029830型 PX>10) = 2；-人1 k,=0.002840X -1 1 27 .設隨機變量X的分布律為 一 Pk求X的分布函數(shù).解：F(x) =0£4341x<-ll<x<2x>28 . 一口袋中裝有5只球，編號為1, 2, 3, 4,5.從袋中同時取3只，以X表示取出的三只球中的最大號碼，求隨機變量X的分布律和分布函數(shù), 解：X的可能取值為3, 4, 51r1C1PX =3=0

18、.1, PX=4 =*= 0.3,尸X=5 = * = 0.6x的分布律為:3450.1 0.3 0.60x<3,0.1 3<x<4X的分布函數(shù)為：F(x) = <0.4 4<x<51x>59.設隨機變量X的概率密度為“x)=kcosx, |a-|<|, 。， 其它.求：系數(shù)k； (2) X的分布函數(shù)尸(x)： (3) P0<X<：£££I解：(1) J 2 A cos xdx = 2k cos xdx = 2k sin x|J =2k = ：.k =冗 冗r.v 1i(2)當一一WxW時，F(xiàn)(x) =

19、jcostdt = (sinx +1)22-5 22.X的分布函數(shù)為：F(x) = <|(sinx+l)x< 2 <x< x>(3)P0 <x<7t = F -F(0) = 1-1 = 1 2 210.設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為，0,F(x) = < kx11,x < 0,0<x<l,x > 1.求：(1)系數(shù)k ： (2) PO.3<X<1.3： (3)概率密度/(x).解：(1) lim F(x) = lim kx2 = k = lim F(x) = 1:.k = X->rXTl.(2)P0.3

20、v x v 03 = F(1.3) - F(0.3) = 1-O.32 = 0.91(3)/*) =2x 0<x<l0 其他11.設K在(1,6)上服從均勻分布，求方程+Kx+ 1 = 0有實根的概率.解：方程有實根，即=攵2一420, k>2ork<-26-24所求的概率為：=尸伙22 +尸伙W -2= + 0 = - 6 1512.設某種電子元件的使用壽命X (以小時計)的概率密度為100")=片x>10Qx<10Q某儀器內(nèi)裝有3個這樣的電子元件(設各電子元件損壞與否相互獨立)，試求：(1)使用的最初150小時內(nèi)沒有一個電子元件損壞的概率：(2

21、)這段時間內(nèi)只有一個電子元件損壞的概率.f15O 1001解：最初150小時內(nèi)一個電子元件損壞的概率為：PX<150= 川00廠3設Y：最初150小時內(nèi)電子元件損壞的個數(shù)，那么丫8(3-)/ 1 0 / 7 V R故叩=。=%) 口=藥 PY = 1 = C； .囚停、1 3八 5,13 .設隨機變量X在(2,5)上服從均勻分布.現(xiàn)對X進行三次獨立觀測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率.解:HX>3 =言2設Y：三次觀測中觀測值大于3的次數(shù)，那么y8(3, Q)故所求概率為:PY>2 = C14 .設乂 N(1J6),試求：(1) PX>-1.5； (2) P|X|&l

22、t;4)； (3) P|X-1|>1).-1 5 + 1解：PX >-1.5 = 1 -0()= 1-(1-0(0.125) = 0.5498 4 P兇 v 4=(1.25)-(-0.75) = 0(1.25)+(0.75) -1 = 0.6678(3)P|X-l|>l = PX>2orX<0 = l- 0(0.75) + (0.25) = 0.825315.某產(chǎn)品的質(zhì)量指標X N(16Qb?),假設要求P120vX <20030.8,允許b最大為多少？404040解：尸120< X < 200=(一)一<D()= 20()-1> 0

23、.8CT(7<74040(一)>0.9>1.28(1.29), a <31.25(31.01)16.測量至某一目標的距離時發(fā)生的隨機誤差X (米)的概率密度為1.«刈2f (x) =e 32(K> ,(oo <x < -ho)40V2i求在三次測量中至少有一次誤差的絕對值不超過30米的概率.解：X-N(20,4()2)一次測量誤差的絕對值不超過30米的概率為：P|X|<30 =(0.25) -孰一1.25) = 0.4931設Y：在三次測量中誤差的絕對值不超過30米的次數(shù)，那么丫8(3,0.4931)所求概率為：Pr>l = l-

24、Py = O = l-(l-0.4931)3 = 0.869817.設隨機變量X的分布律為X-2-1013*>)111111Pk5651530試求：(1)匕=2X； (2)與二乂？的分布律.解：r, = -2X-6-2024pk£££1115651530y2 =X201491118.設隨機變量XN(0,l),求:£ _30530(1) 丫 = arctan X的概率密度:(2)y=|x|的概率密度.1 -解：X 的概率密度為：fx(x) = -=e 2 (-oc <x<+qo) J21(1 ) y = g(x) = arctan x,

25、y9 = -> 0,，g(+8)= g1 +廠且 x = h(y) = tan y, hr(y) = tan y, = - - 2故由定理可得，Y = airtan X的概率密度為:_lan- ye 2 -sec2 y丸冗 < y < 2 .2其他(2) Y的分布函數(shù)為：鳥()，)=尸因田=-'用A"A"edx = l=(dxJo后0y >0y<0.y的概率密度為：4(y) = &(丁)=怎19.設隨機變量X在(0,1)上服從均勻分布,求：(1)丫 = 6、的概率密度：(2) Y = -21nX的概率密度.解：x的概率密度為：/

26、x(x)= f 工:0 具他(1)y = g(x) = e y = e = h(y) = e 2, /?'(>)=一;L g(o)= , g=0 > 0,且x = h(y) = ny. hr(y) = , g(0) = L g=e yY < y <e故由定理可得，y = e'的概率密度為：fY(y) = yo 其他2(2)-/ y = g(x) = -2 In q y'=v 0,且x故由定理可得，丫=2EX的概率密度為：fY(y) = 2e 2 V>° . 0習題三1 . 一口袋中裝有四個球，它們依次標有數(shù)字122,3.從這袋中任

27、取一球后，不放回袋中, 再從袋中任取一球，設每次取球時袋中每個球被取到的可能性相同.以x,y分別表示第一、二次取得的球上標有的數(shù)字，試寫出隨機變量x和y的聯(lián)合分布律. 解：2 .設隨機變量(x,y)的概率密度為k(6-x- y)0,0 < x < 2,2 < y < 4,其它，(1)確定常數(shù)A：(2)求PX<l,y<3： (3)求PX<L5： (4)求PX + Y<4.解：(1) J J f(x, ydxdy =£ axj, k(6x y)dy = kJ。(6-2x)dx = 8k =1 k = g2 2) P X < 1, y

28、< 3 = J；"(67 y)dy = . (1 -x)dx = | PX < 1.5 = £J" |(6 - x - y)dy =5 (6 - 2x)dx =(4)尸X + y K4 = J；dxj；(6-x-y)dy = gJ；(；x2-4x + 6)Jx = |3 .設二維隨機變量(x,y)具有概率密度、"2),x>0,y>0,/Uy)=0,其它，(1)求分布函數(shù)尸(蒼y)：(2)求概率PYX.解：(1) F(x, y)= f f(u. v)dudvJ-oc J-00當 X > 0, y > 0 時，F(xiàn)(x, y

29、) = ££ 2euv>dudv = 21I呵；U 小=(1 一)(1-e-2y)當取其他值時，尸（x,y） = O/(x, y)=(l-e'r)(l-e<v) x>0,y>00其他(2) PY<X = JJdxJ；2e2ydy =e(e2x)dx =.0004 .求第i題中隨機變量（x,y）的邊緣分布律.解：5 .設隨機變量（X,y）的概率密度為了（%,），）=+?求關于X0其它和關于y的邊緣概率密度。解：人（%）=匚 /（%, y）力=。+ 3 "0<x<l其他萬()')=f f(x> y)dx=

30、<J-co0<y<2其他6 .設隨機變量（x,y）具有概率密度、卜-二 Ovx2=。，失求邊緣概率密度fxWJY（y）., 嚴, 廣6->由=1 %>0解:fx（x） = L /（x，y）dy=rx，y<07 .設隨機變量X和丫的聯(lián)合分布律為試問：當。,月取何值時，x與y相互獨立？解：X與Y相互獨立，那么有1112% = 2由即g =（g+a）3."§3舄*G+叫 ”V8 .設隨機變量（X,y）在區(qū)域G上服從均勻分布，其中G由直線），=乂），=一乂），=2所圍 成.（1）求x與丫的聯(lián)合概率密度；（2）求x、y的邊緣概率密度;（3）問x與丫

31、相互獨立嗎？為什么？x<y.0<y<2其他lxl<2其他解：（DG的面積A =：4-2 = 4£x與y的聯(lián)合概率密度為：/（x,>-）= 40f2 119 2) fx (x) = J x / (x, ydy = Jw 4 ' 4 -01 1fy (y) = J- f(x, y)4x = , L 4 - 2，°" 2f0 其他 不是相互獨立的。因為不恒成立/（乂），）=人。）人（），）9.設x和y是兩個相互獨立的隨機變量，x在（0）上服從均勻分布，丫的概率密度為1 -工網(wǎng)）卡工、>口o, y< 0.（1）求（X,y）

32、的概率密度/（x,y）：（2）設含有，的二次方程為+2Xf + y = 0,求，有實根的概率.解：fxM = 1 0<x<l0 其他1 -二c 2 0Vxvl v>0, X 與 Y 相互獨立，/(工,y) = Zv(x)/r(y)= 2'00 其他(2)方程有實根， = (2')24丫20即x2>y：.所求概率為：PX >Y =/(x, y)dxdy = £Zx£ ；e 2dy = )(1 -e 2 )dx1i .Z=1-石f2dx = 1 -(0(1)-0(0) = 0.1445Jo10.設X和丫是兩個相互獨立的隨機變量，其分

33、布律分別為X01Y-101Pk0.60.4Pk0.2030.5試分別求Z1 = X + y和Z、= max（X,K）的分布律.解：0.120.18030.080.120.2（x,y）(0,-1)(0.0)(0,1)(1,-1)(1-0)(1,1)z, = x+r-101012Z2 = max(X,y)001111.Zi=x+y的分布律為：Z2=max(X,y)的分布律為Z-1012z701一Pk0.120.180.420.21”030.7ii.設x和丫是兩個相互獨立的隨機變量，x在(o,o.2)上服從均勻分布，丫的概率密度5,尸 y>0, 0, y< 0.試求z = x + y的概

34、率密度.5 0<x<0.20 其他0,Z<o,=<5 5e-5iz-xdx = 5（1 - ef）, 0 v z < g,0.2I£ 55e-"'-v'"x = 5（e-l）e" z > -.12.設隨機變量x和y相互獨立，x在(o,i)上服從均勻分布，丫在(o,2)上服從均勻分布,求 Z| =max(X,y)和 Z2 =min(X,y)的概率密度.0解：Fx（X）= x1x<00 < x < 1x>0y<0?。?，） =0<y<21y>20 z <0

35、20<<l小仁）=&仁）弓 Q）=< f三 <z<221z>2Z O<z<l&（z） = K=J 1<Z<20 其它z<ol-(l-z)(l-|) = |z-1z2 O<Z<1乙 乙乙1Z>10<z< t其它.E(X ) = 1 f0If 1 36 4 611 35f4一=124 243_ /min(Z)=6'un(Z)= < 2"0,習題四1 .設隨機變量X的分布律為X -1 0 - 1221-1iirPk 5 6 64求七(X),E(X+1),E(X2).

36、解：E(x)= (-1).1 + 0-1 +11 + 2-1 = -36 2 6124 3E(-X+1) = 2-1 +1-1 + 1-1 + 0- + (-1)-1 = -36 2 6124 32. 一口袋中共有8只球，其中5只白球，2只紅球和1只黑球.從中隨機地取出3只球，以X表示這三只球中所含紅球數(shù)，試求E(X).解：X的分布律為:X012Pk墟=9空=" C© _ 3C； 1428C； 28oao5153 3J E(X) = 0 + 1+ 2- -=-142828 4x, 0 < x < 1,3 .設隨機變量X的概率密度為/(x) = 2 x, 1 &l

37、t; x < 2,求風X),4X2).0, 其它，解：E(X) = J*xfx)dx = £x- xdx +1x (2-x)dx = 1E(X2) = j x2f(x')dx = x2 - xdx + j(2-x)dx = 4 .某車間生產(chǎn)的圓盤其直徑在區(qū)間伍力)內(nèi)服從均勻分布，試求圓盤面積的數(shù)學期望.解：圓盤直徑的概率密度為：f(x) = <b-a0 其他.圓盤面積的數(shù)學期望為：E(S)=匚乃 ('"(x)4x = (1dx = " + 心 + )5 .設隨機變量X的概率密度為, Q, x>o,/。)= c;0, x <

38、0,求11) K=2X, (2)與=e-2x的數(shù)學期望.解：£(/1) = | 2xfxdx = £ 2x- exdx = -2(x+1)6-v=2后(丫2)= J：e'2xfxdx = P-2' exdx = !-830312y 2, 0 < v < x < 16.設二維隨機變量(XI)的概率密度為/(x,y)=)' 一匕二一0, 其匕，求石(XX),石(乂2+產(chǎn)).解：E(xr)=匚匚xyfix, ydxdy = J：可'12y'dy = £3x'dx = 1鳳 x 2 + y 2)=匚匚(/

39、+ V)/(尤 y MW，=工可：,+ y 2). 12 /JV = J', xlx = 117 .設隨機變量X1,X?相互獨立，它們的概率密度分別為fM = 0,0W1,其它；x > 5,x < 5,求石(X|X2).解：E( X)=匚切(x)dx = J； x , 2xdx = |-E(X2) =匚 xf2Wdx = Jx e-g久a = _(x +1)/7)/=6E(X1X2) = E(X1)E(X,) = |-6 = 48 .計算第1題，第3題中隨機變量X的方差及標準差.9772/ 、2解：第 1 題方差：D(X) = E(X2)-£(X)2標準差：cr(

40、X) = 75(X)=第 3 題方差：D(X) = E(X2)-E(X)2 =:一/=!標準差：b(X) = JD(X)=史 6669 .設隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，Z = 3X-2,求E(Z),0(Z).解：石(X) = 2,O(X) = 2 E(Z) = E(3X 2) = 3E(X) 2 = 4D(Z) = O(3X-2) = 32£)(X) = 1810 .設隨機變量x與y相互獨立,且石(X)= £(r)= 1,£>(%)= 2, £>(丫)=4,求e(x+丫尸.解：E(X+r)= E(X) + E(r)= 2, D(X+Y)

41、 = D(X) + D(Y) = 6,E(X + Y)2 = D(X +y)+E(X + y)2 = 1011 .設隨機變量X與y相互獨立，且X N(72Q 302), yN(64Q 25?) .設Z = X - 丫， 求z的概率分布，并求概率Px>y.解：E(x-/) = £(%)-E(y)= 80, D(X-y)= D(X) + £)(r)= 1525ZN(80,1525):.PX >Y = PX-Y>0 = PZ>0 = i-= 0(2.05) = 0.9798 V152512 .試證明：如果x與y相互獨立，那么有D(XY) = D(X)D(Y

42、) + E(X)2D(K) + E(Y) 2 D(X).解：等式右邊=。(丫)七(乂2)+石(丫)。(乂)=E(r2)-E(y)2£(x2)+E(r)2E(x2)-l(x)2)=E(X2Y2)-E(X)fE(Y)2 = 3( XV)=等式左邊13 .正常男性成人血液中，每亳升白細胞平均數(shù)是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每亳升含白細胞數(shù)在52009400之間的概率p.解：設X：每亳升血液中含白細胞數(shù)所求概率 p = P5200 <X< 9400 = P-21OO<X- 7300 <2100PIX-7300l<2100)>l-7002

43、2100214.設隨機變量Z的分布律為:Z7t207T2Pk0.30.40.325且設x=sinz,y = cosz,試驗證x和y是不相關的，但x和y不是相互獨立的.X-101Pk030.40.3解：X的分布律為:XY = sinZcosZ, XY的分布律為：Y010.60.4Y的分布律為:XYPkE(X) = 0, E(Y) = 0.4, E(XY) = 0,1 cov(X,y)= E(XY) - E(X)E(Y) = 0.Pxy = :=0.x和y不相關Jo（x）o（y）另一方面：x和y的聯(lián)合概率密度為：顯然尸x=_i,y = owPx = _iPy=o.x和丫不相互獨立X01-10300

44、00.4103015 .設。(*) = 25,0(丫)= 340口=04,試求 0(X + Y)以及。(X-y).解：D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X,Y) = D(X) + D(Y)+2pxyD(X>)D(Y) = 25 + 36+2.04 后十=850( x - y)=。( x)+。( y)- 2 cov( x, y)= 3716 .設二維隨機變量(X, 丫)在G上服從均勻分布，其中G = (x,)，)10cx < 1,0 <)，v x, 試求相關系數(shù)Pxy.2 0<x<l,0<y<x其他E(X) = Ja£V2

45、=|E(y)= jA-£2Wy=l E(XY) = f'dx2y =；鳳X 2) = £ “ 2/4，=1EH) = £ 時;2y 沁=112 11.cov(x,r)= E(xr)-E(x)E(y)=，2丫11f 1V1d(x)= £(x2)-e(x)j2=- - =- D(r)= E(r2)-(r)2=-=-2)1 oo i)Iocov(x,y) ipvy =-，.=g(X)D(Y) 217 .試證:Cov(X + YyX-Y) = D(X)-D(Y).證：cov(X +Y,X-Y) = cov(X,X-Y) + cov(T,X-Y)= cov(x,x)covocy)+covkx)covy,y)= o(x) £)(y)習題五1.根據(jù)以往的經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機取16