2019初中數(shù)學(xué)輔助線專項(xiàng)突破專題1——中點(diǎn)專題中點(diǎn)常見輔助線的作法

1、第一章 中點(diǎn)專題三角形是初中幾何的重要內(nèi)容之一，也是歷年中考命題的熱點(diǎn)。其中，三角形 各邊的中點(diǎn)、中線及中位線的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，是中考的必考內(nèi)容，歷年多以計(jì)算 和證明題的形式出現(xiàn)。我們預(yù)計(jì)與中點(diǎn)有關(guān)的操作性試題和綜合性的探究題將是今 后幾年中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)題型。方法技巧提煉與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線，我們總結(jié)下列四種類型：類型一見中線，可倍長1 .倍長中線或類中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形或平行四邊形2 .有些幾何題在利用“倍長中線”證完一次全等三角形后，還需再證一次全等三角形，即 “二次 全等”.在證明第二次全等時(shí)，難點(diǎn)通常會體現(xiàn)在倒角上.常見的倒角方法有：“8”字型（如圖 1-8）;平行線；

2、180° （平角；三角形內(nèi)角和）；360° （周角；四邊形內(nèi)角和）；小旗子（三角形外角）；90° （互余角）圖18類型二見等腰三角形，想“三線合一”已知等腰三角形底邊的中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接，用“三線合一”類型三見斜邊，想中線已知直角三角形斜邊的中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線，目的是得到三條等線段和兩對等角 .類型四見多個(gè)中點(diǎn)，想中位線已知三角形的兩邊有中點(diǎn)，可以連接這兩個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造中位線；已知一邊中點(diǎn)，可以在另一邊上取 中點(diǎn)，連接構(gòu)造中位線；已知一邊中點(diǎn)，過中點(diǎn)作平行線可構(gòu)造相似三角形精題精講精練類型一見中線可倍長例題1.如圖1-9 ,在？ABC中，AD是BC邊上的

3、中線，E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于點(diǎn)F, AF=EF 求證：AC=BE.【思路提示】AD是中線，可考慮倍長中線.變式.如圖1-10,在？ABC中，AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EF/AD交CA的延長線于點(diǎn)F, 交AB于點(diǎn)G若AD為三角形ABC的角平分線，求證：BG=CF./?E D圖T 10例題2.如目1-11，在Rt ZXABC中，/BAC=90，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別為AB,AC上的點(diǎn)，且ED±FD,以線段BE、EF、FC為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角 形還是鈍角三角形？【思路提示】倍長中線DF,造全等三角形圖111變式1.如圖1-

4、12,已知點(diǎn)M為4ABC中BC邊上的中點(diǎn)，/ AMB, / AMC勺平分線分別交 AB, AC 于點(diǎn)E, F,連接EF.求證：BE+CF>EF.A圖 1-12變式2.如圖1-13,在ABCt,點(diǎn)D 是BC的中點(diǎn)，DMLDN如果bM+C認(rèn)dM+dN 求證：AE2=-(AB2+AC2).4圖1 13例題3.(豐臺一模)已知ABCffi4人£皿兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中 BA= BC DA= DE, 連接EC,取EC的中點(diǎn)M 連接BMW DM.如圖1-14 (1),如果點(diǎn)D, E分別在邊AC AB上，那么BM DM勺數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是 ; 將圖1-14 (1)中的4AD歐點(diǎn)A

5、旋轉(zhuǎn)到圖1-14 (2)的位置，判斷(1)中的結(jié)論是否依然成立，并說明理由.【思路提示】見到中點(diǎn)可考慮倍長中線證全等，得到線段相等和平行線，再證二次全等即可(2)圖1 14檢測1:如圖1-15,在AABC中，若AB=10 AC = 6,求邊上的中線AD的取值范圍.DB圖 1-15檢測2:如圖1-16 ,在 ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE，DF于點(diǎn)D, DE交AB于點(diǎn)E:, DF交AC 于點(diǎn)F,連接EF.求證：BE + CF>EF.圖 1-1610類型二見等腰三角形，想“三線合一”例題4.如圖1-17, 一副三角板如圖放置，等腰直角三角板ABCSI定不動，另一塊三角板的直角頂 點(diǎn)放在等

6、腰直角三角形的斜邊中點(diǎn) D處，且可以繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩直角邊的交點(diǎn) G, H始終在邊AB,BC上.(1)在旋轉(zhuǎn)過程中線段和CH大小有何關(guān)系？證明你的結(jié)論.(2)若AB=BC=4cm在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形的面積是否改變？若不變，求出它的值；若改變，求出 它的取值范圍.(3)若交點(diǎn)G, H分別在邊AB, BC的延長線上，則(1)中的結(jié)論仍然成立嗎？請畫出相應(yīng)的圖 形，直接寫出結(jié)論.【思路提示】見到中點(diǎn)D,而且在等腰直角三角形的底邊上，可以想“三線合一”，再證全等.AE仃B圄 1-17例題5.如圖1-18,點(diǎn)P是等腰RtAABC®邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn) E, F,設(shè)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn).求證

7、：ADEF是等腰直角三角形.【思路提示】欲證明WEF是等腰直角三角形，需證明DEF -ADAF即可1單決.P作BA, AC的垂線，垂足分別為點(diǎn)DE=DF/kDEF =90° ,故只要證明檢測1:如圖1-19, AABC是等腰直角三角形，AB=AC D是斜邊BC的中點(diǎn)，E, F分別是AB, AC 邊上的點(diǎn)，且DE, DF.(1)請說明：DE=DF(2)請說明：B=+ CF2= EF2;(3)若BE=q CF=8求 DEF勺面積.(直接寫結(jié)果)B圖 1-19類型三見斜邊，想中線例題6.如圖1-20, AABC中，若/ B=2/ C, AD± BC E為BC邊的中點(diǎn).求證：AB=

8、2DE.【思路提示】取斜邊AC或AB的中點(diǎn)，利用斜邊中線性質(zhì)和中位線性質(zhì).A例題7.如圖1-21,在RtAABC中，/ACB = 90°，點(diǎn)D, E分別是AB, AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的 延長線上，且/CEF±A.求證：DE=CF.【思路提示】點(diǎn)D, E分別是直角三角形ABC斜邊和直角邊的中點(diǎn)，利用斜邊中線的性質(zhì)和中位線 解題.圖1 21E, F分別是AC, BC延長線檢測1:如圖1-22,在RtAABC中,/ACB = 90° , M是AB的中點(diǎn),上的點(diǎn)，且CE=CF1AB,則/EMF的度數(shù)為多少？2檢測2:如圖1-23,在RtAACB中,C為直角頂點(diǎn)，/ AB

9、C=25 ,。為斜邊中點(diǎn).將OA繞 著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a (0 ° <6<180° )至op當(dāng)abcp恰為軸對稱圖形時(shí)，e的值為多少？類型四見多個(gè)中點(diǎn)，想中位線例題8.問題一：如圖1-24 (1),在四邊形ABCDfr, AB=CD E, F分別是BC AD的中點(diǎn)，連接EF 并延長，分別與 BAA CD的延長線交于點(diǎn) M N.求證：NBMEHCNE.問題二：如圖1-24 (2),在四邊形ADBOt, AB與CD相交于點(diǎn)O, AB=CD E, F分別是BC, AD 的中點(diǎn)，連接EF,分別交DC AB于點(diǎn)M N,判斷AOMN的形狀，請直接寫出結(jié)論.問題三：如圖1-24 (3),在AABC中，AC>AB點(diǎn)D在AC上，AB=CD E, F分別是BC AD的中點(diǎn)， 連接EF并延長，與BA的延長線交于點(diǎn)G,連接GD若/ EFC=60 ,判斷AAGD的形狀并證明.【思路提示】見到兩個(gè)中點(diǎn)，想到中位線；又人8, CD相等不共點(diǎn)，想到可以通過平移轉(zhuǎn)移使它們共端點(diǎn)，這個(gè)可由取中點(diǎn)構(gòu)造中位線實(shí)現(xiàn)圖1Q例題9.如圖1-25,已知AABC中，AB=AC CE是AB邊上的中線，延長 AB到點(diǎn)D,使BD=AB求證: CD=2CE.【思路提示】點(diǎn)B, E都是中點(diǎn)，可以嘗試倍長中線，或構(gòu)造中位線檢測1:如圖1-26,在 ABC中，點(diǎn)。是重