將軍飲馬問題的11個模型及例題(1)

1、將軍飲馬問題路徑最短、線段和最小、線段差最大、周長最小等一系列最值問題方法原理1.兩點之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;3.中垂線上的點到線段兩端點的距離相等；4.垂線段最短.基本模型1.已知：如圖，定點 A、B分布在定直線l兩側(cè)；要求：在直線l上找一點P,使PA+PB的值最小解：連接AB交直線l于點巳點P即為所求，PA+PB的最小值即為線段AB由：在l上任取異于點P的一點P,連接AP、BP,在AABF3 中,AP+BPAR 即 AP+BPAP+BP的長度理fi2.（或4ABP的周長最?。?.P為直線 AB與直線l的交點時，PA+PB最小.已知：如圖，定點 A和

2、定點B在定直線l的同側(cè)要求：在直線l上找一點P,使得PA+PB值最小解：作點A關(guān)于直線l的對稱點A 連接A B交l于P,點P即為所求；理由：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)知直線l為線段AA的中垂線，由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA,要使PA+PB最小，則需PA+PB值最小，從而轉(zhuǎn)化為模型1.3.已知：如圖，定點 A、B分布在定直線l的同側(cè)（A、B兩點到l的距離不相等）要求：在直線l上找一點P,使I PA-PB I的值最大解：連接BA并延長，交直線l于點P,點P即為所求；理由：此時I PA-PB I =AB,在l上任取異于點P的一點P,連接AP、BP,由三角形的三邊關(guān)系知I PA-PB| AR即 | PA-PB

3、| | PA-PB |已知：如圖，定點A、B分布在定直線l的兩側(cè)（A、B兩 點到l的距離不相等）要求：在直線l上找一點P,使I PA-PBI的值最大解：作點B關(guān)于直線l的對稱點B,連接BA并延長交 于點P,點P即為所求；理由：根據(jù)對稱的性質(zhì)知 l為線段BB的中垂線，由中垂 線的性質(zhì)得：PB=PB,要使I PA-PBI最大，則需I PA-PB |值最大，從而轉(zhuǎn)化為模型 3.典型例題1-12如圖，直線 y=_x+4與x軸、y軸分別交于點 A和點B,點C、 3別為線段AR OB的中點，點P為OA-動點，當(dāng)PC+PDt小時，點P的坐標(biāo)為,此時PC+P而最小值為 .【分析】符合基本模型2的特征，作點D關(guān)

4、于x軸的對稱點D,連 接CD交x軸于點P,此時PC+PD值最小，由條件知 CD為 BAO的中位線，OP為 4CDD的中位線，易求 OP長，從 而求出P點坐標(biāo)；PC+PD的最小值即CD長，可用勾股定理 （或兩點之間的距離公式，實質(zhì)相同）計算 .【解答】連接CD,作點D關(guān)于x軸的對稱點 D,連接 CD交x于點P ,此時PC+PD值最小.令 y=2x+4中x=0 ,則y=4 ,3，點B坐標(biāo)（0, 4）;令y=2x+4中y=0,則2x+4=0,解得：x=-6,點A的坐標(biāo) 33為（-6, 0）.二點C、D分別為線段AB、OB的中點，CD為 BAO的中位線，.CD/x 軸，且 CD=12AO=3點D和點D

5、關(guān)于x軸對稱，為DD的中點， D（0, -1 ）,，OP 為CDD 的中位線，OP=CDI, 2點P的坐標(biāo)為（-3, 0）.在Rt CED，中， 2CD = JCD2 DD 2 = ,32 42 =5,即 PC+PD 的最小值為 5.【小結(jié)】還可用中點坐標(biāo)公式先后求出點C、點P坐標(biāo)；若題型變化，C D不是AB和OB中點時，則先求直線 CD的解析式，再 求其與x軸的交點P的坐標(biāo).典型例題1-2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點 A的坐標(biāo)為（0, 1）,點B的坐標(biāo)為（3, - 2）,點P在直線y=-x上運(yùn)動，當(dāng)|PA - PB|最 1f大時點P的坐標(biāo)為 , |PA-PB|的最大值是 . -I杼、1

6、-2 一*二【分析】符合基本模型4的特征，作A關(guān)于直線y= -x對稱點C,.廠 7連接BC,可得直線BC的方程；求得BC與直線y= - x的 T - 交點P的坐標(biāo)；此時|PA- PB|=|PC - PB|二BC取得最大值， 再用兩點之間的距離公式求此最大值.【解答】作A關(guān)于直線y= -x對稱點C,易得C的坐標(biāo)為（-1, 0）;連接BC,可得直線BC的方程為y= - x -工，與直線y= -x聯(lián)立解得交點坐標(biāo)P為（4, - 4）;此時|PA 55-PB|=|PC - PB|=BC 取得最大值，最大值 BC= （1 1）2 （ 2）2 W ;【小結(jié)】“兩點一線”大多考查基本模型2和4,需作一次對稱

7、點，連線得交點.變式訓(xùn)練1-1已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點 A （5, 0）, OB=4v5，點P是對角線OB上的一個動點，D （0, 1）,當(dāng)CP+DP最短 時，點P的坐標(biāo)為（）A. （0, 0） B .（1,1）C. （6., ?） D .（巴 5）25577變式訓(xùn)練1-2如圖，菱形 ABCM,對角線 AC和BD交于點O, AC=2BD=2v3,E為AB的中點，P為對角線AC上一動點，則PE+PB的最 小值為.變式訓(xùn)練1-3如圖，已知直線 y=_1x+1與y軸交于點A,與x軸交于點D,拋物線y= 1x2+bx+c與直線交于22A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點

8、坐標(biāo)為(1, 0).(1)求該拋物線的解析式；M的坐標(biāo).(2)在拋物線的對稱軸上找一點M,使|AM-MC|的值最大，求出點已知：如圖，A為銳角/ MON7卜一定點；要求：在射線 OM上找一點P,在射線ON上找一點Q,使AP+PQ的值最小.解：過點A作AQLON于點Q, AQ與OM相交于點P,此時，AP+PQ最小;理由：AP+P母AQ當(dāng)且僅當(dāng) A、P、Q三點共線時，AP+PQ取得最小值A(chǔ)Q,根據(jù)垂線段最短，當(dāng)AQL ON時，AQ最小.已知：如圖，A為銳角/ MON內(nèi)一定點；要求：在射線OM上找一點P ,在射線ON上找一點Q,使AP+PQ的值最小.解：作點A關(guān)于OM的對稱點 A ,過點 A彳AQL

9、 ON于點Q, A Q交OM于點P,此時AP+PQ最小;理由：由軸對稱的性質(zhì)知 AP=A巳 要使AP+PQ最小，只需A P+PQ最小，從而轉(zhuǎn)化為拓展模型1已知：如圖，A為銳角/ MON內(nèi)一定點；要求：在射線 OM上找一點P,在射線ON上找一點Q,使 APQ的周長最小解：分別作A點關(guān)于直線OM的對稱點Ai,關(guān)于ON的對稱點A2,連接A1A2交OM于點P ,交ON于點Q,點P和點Q即為所求，此時 APQ周長最小，最小值即為線段A1A2的長度；理由：由軸對稱的性質(zhì)知 AP=AiP, AQ=AQ APQ的周長AP+PQ+AQ=A+PQ+AQ,當(dāng) Ai、P、Q A2 四點共線時，其值最小.已知：如圖，A

10、 B為銳角/MON內(nèi)兩個定點；要求：在OM上找一點P,在ON上找一點Q,使四邊形 APQB的周長最小解：作點A關(guān)于直線OM的對稱點A,作點B關(guān)于直線 ON的對稱點B 連接A B交OM于P,交ON于Q, 則點P、點Q即為所求，此時四邊形 APQB周長的 最小值即為線段AB和AB的長度之和；理由：AB長為定值，由基本模型將PA轉(zhuǎn)化為PA,將QB轉(zhuǎn)化為QB,當(dāng)A、P、Q B四點共線時，PA+P QB的值最小，即PA+PQf QB的值最小.5.搭橋模型 已知：如圖，直線m/ n,A、B分別為m上方和n下方的定點，（直線AB不與m垂直）要求：在 m、n之間求作垂線段 PQ,使得AP+PQ+BQ最小 分析

11、：PQ為定值，只需AP+BQ最小，可通過平移，使P、Q “接頭”，轉(zhuǎn)化為基本模型解：如圖，將點A沿著平行于PQ的方向，向下平移至點A ,使得 AA =PQ連接 A B交直線n于點Q 過點Q作PQL n,交直線m于點P,線段PQ即為所 求，此時AP+PQ+BQt小.理由：易知四邊形 QPAA為平行四邊形，則 QA =PA當(dāng)B、。A三點共線時，QA +BQ 最小，即AP+BQ 最小，PQ長為定值，此時AP+PQ+BQM小.6 .已知：如圖，定點 A、B分布于直線l兩側(cè)，長度為a（a 為定值）的線段PQ 在l 上移動（P在 要求：確定PQ的位置，使得AP+PQ+Q撮小分析：PQ為定值，只需AP+QB

12、的值最小，可通過平移，使P、Q “接頭”，轉(zhuǎn)化為基本模型解：將點A沿著平行于l的方向，向右移至A,使 AA=PQ=a,連接AB交直線l于點Q,在l上截取PQ=a （P在Q左邊），則線段PQ即為所求，此時AP+PQ+QB 最小值為 AB+PQ 即 AB+a理由：易知四邊形 APQA為平行四邊形，則 PA=QA, 當(dāng)A、Q B三點共線時，QAf+QB最小，即PA+QB 最小，又PQ長為定值此時 PA+PQ+QB值最小.Q 左邊）7 .已知：如圖，定點 A、B分布于直線l的同側(cè)，長度a（a為定值）的線段PQ在l上移動（P在Q左邊）要求：確定PQ的位置，使得四邊形APQB周長最小分析：AB長度確定，只

13、需 AP+PQ+QBM小，通過作 A點關(guān)于l的對稱點，轉(zhuǎn)化為上述模型3解：作A點關(guān)于l的對稱點A,將點A 沿著平行于l的方向，向右移至 A,使A A，=PQ=a連*B交l于Q,在l上截取QP=a （ P在Q左邊），線段PQ即為所求，此時四邊形 APQB周長的最小值為AB+AB+PQ 即 AB+AB+a典型例題2-1如圖，在矩形 ABCD中，AB=10, BC=5若點M、N分別是線段AB上的兩個動點，則 BM+MN的最小值為【分析】符合拓展模型2的特征，作點B關(guān)于AC的對稱點E,再過 點E作AB的垂線段，該垂線段的長即 BM+MN的最小值，借助等面積法和相似可求其長度.【解答】作點B關(guān)于AC的對

14、稱點E,再過點E作ENLAB于N,則BM+MN=EM+MN其最小值即EN長； AB=10 BC=5,.AC=VaB2 BC2 =5 /1), 四邊形 ABCO是平行四邊形，AB=OC=6.DB=6-2=4, B ( 4, 2后(2)如圖，連接OP. EF垂直平分線段OD, PML OC / PEOW EOM = PMO=90 ,四邊形OMPE是矩形,.PM=O=V3,OE=OE ,PM=OE, PM/ OE ,四邊形 OPM E是平行四邊形，OP=EM PM是定值，PB+ME =OP+PB勺值最小時，BP+PM+ME勺長度最小,當(dāng)。P、B共線時，BP+PM+ME勺長度最小，二,直線OB的解析式

15、為 P (2,畬).【小結(jié)】求沒有公共端點的兩條線段之和的最小值，一般通過作對稱和平移(構(gòu)造平行四邊 形)的方法，轉(zhuǎn)化為基本模型 .典型例題2-4如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAAOB 的頂點坐標(biāo)分別為 A ( - 2, 0) , O (0, 0) , B (0, 4),把 AOB 繞點 O按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90 ,得到 COD(1)求C、D兩點的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的解析式；(3)在(2)中拋物線的對稱軸上取兩點 E、F (點E在點F的上方)，且EF=1,使四邊形ACEF的周長最小，求出E、F兩點的坐標(biāo).【分析】符合拓展模型7的特征，通過作對稱、平移、連線, 解析式和

16、拋物線的對稱軸可解出 E、F坐標(biāo).【解答】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OC=OA=2OD=OB=4；C標(biāo)是(0, 2), D點的坐標(biāo)是(4, 0),(2)設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax 2+bx+c,4a-2b+c=0 j由題意，得 16a+4b+c=0c=4 I解得 a=-J , b=1, c=4,所求拋物線的解析式為y=- 1x2 + x + 4 ;2可找出 E、F點，結(jié)合直線的點的坐2(3)只需AF+CE最短，拋物線y=- 1x2 + x + 4的對稱軸為x=1 ,2將點A向上平移至Ai ( - 2, 1),則AF=AE,彳A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點A2 (4, 1),連接A2C, A2c與

17、對稱軸交于點E, E為所求，可求得A2c的解析式為y=-1x + 2,當(dāng)x=1時，y=J，點E的坐標(biāo)為(1, 7),點F的坐標(biāo)為(1,3).4444【小結(jié)】解決此類題的套路是“對稱、平移、連線”；其中，作對稱和平移的順序可互換變式訓(xùn)練2-1幾何模型：條件：如圖1 , A, B是直線l同旁的兩個定點.問題：在直線l上確定一點P,使PA+PB的值最小.方法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A,連接A B交l于點P,即為所求.(不必證明) 模型應(yīng)用：(1)如圖2,已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點 A (0, -1)和B (2, -1), P為x軸上一動 點，則當(dāng)PA+PB的值最小是點P的橫坐標(biāo)是此時PA+PB=.

18、(2)如圖3,正方形ABCD的邊長為4, E為AB的中點，P是AC上一動點，連接BD,由 正方形對稱性可知， B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小 值是一(3)如圖4,在菱形ABCD中，AB=1Q / DAB=60 , P是對角線AC上一動點，E, F分別 是線段AB和BC上的動點，則PE+PF的最小值是(4)如圖5,在菱形ABCD中，AB=6, Z B=60，點 G是邊CD邊的中點，點 E. F分別是 AQ AD上的兩個動點，則EF+ED的最小值是 .變式訓(xùn)練2-2如圖，矩形 ABCD中，AD=15, AB=10, E為AB邊上一點，且DE=2AE連接CE與對角線B

19、D交于F;若P、Q分別為AB邊和 BC邊上的動點，連接 ER PQ和QF;則四邊形EPQF周長的最 小值是.變式訓(xùn)練2-3如圖，已知直線l 1 / 12, 11、l 2之間的距離為8 ,點P到直線l 1的離為6,點Q到直線1 2的距離為 J而，在直線 11 上有一動 點A,直線12上有一動點B,滿足 ABX12,且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=.變式訓(xùn)練2-4如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形 OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2 OC=3過點B作BDL BQ交 OA于點D,將/ DBC繞點B按順 時針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x

20、軸的正半軸于點E和F.（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）當(dāng)BE經(jīng)過（1）中拋物線的頂點時，求 CF的長；（3）在拋物線的對稱軸上取兩點P、Q （點Q在點P的上方），且PQ=1,要使四邊形BCPQ的周長最小，求出 P、Q兩點的坐標(biāo).中考真題1 .要在街道旁建奶站，向居民區(qū) A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使 A、B到它的 距離之和最短？小聰以街道為 x軸，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A點坐標(biāo)為（0,3）, B點坐標(biāo)為（6, 5）,則A、B兩點到奶站距離之和的最小值是 .2 .如圖，矩形ABOC的頂點A的坐標(biāo)為（-4, 5）, D是OB的中點，E是OC上的一點，當(dāng)ADE

21、的周長最小時，點 E的坐標(biāo)是（）A. (0,當(dāng)0B. (0,)C. (0, 2)3.如圖，在矩形 ABCD中，AB=5 AD=3動點P滿足 S apae=3D. （0,孚矩形ABCD, 則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值為（）A. . - ：iB. . 一 |C. 5 ,二4.已知拋物線x2+1具有如下性質(zhì)：該拋物線上任意一點到定點4F （0, 2）的距離與到x軸的距離始終相等，如圖，點M的坐標(biāo)為（ 病3）, P是拋物線y=-x2+1上一個動點,4則4PMF周長的最小值是（）A. 3D. 6C. 5B. 45.如圖，點A （a, 3）, B （b, 1）都在雙曲線yq上，點C, D,

22、分別是x軸，y軸上的動點,則四邊形ABCD周長的最小值為（）C.*10+句2D. |&/26.如圖，在 RtABC中，/ C=90 , AC=3, BC=4 的最小值為（）D、E分別是AB、BC邊上的動點，則 AE+DE12r24C.B.D.57.如圖，RtAABC則DA+DE的最小值為分別是邊BC , ACA中6,點 D , E上的動點,8 .如圖，等腰 ABC的底邊BC=20,面積為120，點F在邊BC上，且BF=3FC, 垂直平分線，若點D在EG上運(yùn)動，則 CDF周長的最小值為EG是腰AC的9 .如圖，菱形 ABCD的邊長為6 , Z ABC=120 , M是BC邊的一個三等分點, 上的

23、動點，當(dāng)PB+PM的值最小時，PM的長是（）P是對角線ACA.B.C.10 .如圖，在 RtABC 中，/ACB=90 , AC=q BC=3 AD 平分/ CAB 交 BC 于 D 點，E, F 分 另是AR AC上的動點，則CE+EF的最小值為() B:B.4C.24D. 611 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 反比例函數(shù) (x0)的圖象與邊長是 6的正方形OABCJ兩邊AB, BC分別相交于M, N兩點.4OMN的面積為10.若動點P在x軸上，則PM+PN勺最小值是()A. 6 二B. 10C. 2 ,二D. 2 二12.如圖， ABC中, 的形狀是形， 的最小值是.AC=BC=2 AB=

24、1,將它沿AB翻折得至1 ABD貝U四邊形ADBCP、E、F分別為線段 AB、AR DB上的任意點，則 PE+PF13.如圖，已知拋物線27x +bx+c與直線II 三X+3交于A, B兩點，交x軸于C、D兩點，連接 AG BC,已知 A (0, 3), C ( -3, 0).(1)求此拋物線的解析式；(2)在拋物線對稱軸l上找一點M,使|MB- MD|的值最大，并求出這個最 大值；(3)點P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接PA,過點P作PQL PA交y軸 于點Q,問：是否存在點P,使得以A, P, Q為頂點的三角形與 ABC 相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

25、14 .如圖，在四邊形 ABCD 中，Z B=Z C=90 , AB C口 AD=AB+CD(1)用尺規(guī)作/ ADC的平分線DE,交BC于點E,連接AE (保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)的條件下，證明：AE1DE，若CD=2, AB=4,點M, N分別是AE, AB上的動點，求 BM+MN的最小值.15 .如圖，拋物線 y=ax2+bx+c (aw0)經(jīng)過點 A (- 1, 0), B (3, 0), C (0, 3)三點.(1)求拋物線的解析式及頂點 M的坐標(biāo);(2)連接AC、BC, N為拋物線上的點且在第四象限，當(dāng)Sanbc=Saabc時，求N點的坐標(biāo)；(3)在(2)問的條件下，過

26、點 C作直線l /x軸，動點P (mq 3)在直線l上，動點Q (m,0)在x軸上，連接PM、PQ NQ當(dāng)m為何值時，PM+PQ+QNJ和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值.16 .如圖，直線 y=5x+5交x軸于點 A,交y 軸于點C,過A, C兩點的二次函數(shù) y=ax 2+4x+c 的圖象交x軸于另一點B .(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接BC,點N是線段BC上的動點，作 NDLx軸交二次函數(shù)的圖象于點D,求線段ND長度的最大值；(3)若點H為二次函數(shù)y=ax2+4x+c圖象的頂點，點M (4, m)是該二次函數(shù)圖象上一點， 在x軸、y軸上分別找點F, E,使四邊形HEFM的周

27、長最小，求出點F, E的坐標(biāo).17 .如圖1,已知拋物線y= (x-2) (x+a) (a0)與x軸從左至右交于 A, B兩點，與y a軸交于點C.(1)若拋物線過點T (1,求拋物線的解析式；4(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上是否存在點D,使得以A、B D三點為頂點的三角形與ABC相似？若存在，求 a的值；若不存在，請說明理由.(3)如圖2,在(1)的條件下，點P的坐標(biāo)為(-1, 1),點Q (6, t)是拋物線上的點，在x軸上，從左至右有M、N兩點，且MN=2問MN在x軸上移動到何處時，四邊形 PQNM的周長最??？請直接寫出符合條件的點M的坐標(biāo).18 .如圖，對稱軸為直線 x=2的拋物線經(jīng)過A (-1, 0), C (0, 5)兩點，與x軸另一交點 為B.已知M (0, 1), E (a, 0), F(a+1, 0), P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點.(1)求此拋物線的解析式；(2)當(dāng)a=1時，求四邊形 MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標(biāo)；(3)若4PCM是以點P為頂點的等腰