(完整版)高數(shù)_大一_上學(xué)期知識(shí)要點(diǎn)

1、總復(fù)習(xí)(上)-、求極限的方法：1、利用運(yùn)算法則與基本初等函數(shù)的極限；、定理若lim f(x) A,lim g(x) B,則(加減運(yùn)算)(乘法運(yùn)算)(除法運(yùn)算)limf(x) g(x) A B lim f (x)gg(x) ABf (x) A右 B 0,lim g(x) B9推論 1： lim f (x) A,lim f(x)n lim f(x)nAn ( n為正整數(shù))推論 2： lim cf (x) clim f (x)a0結(jié)論i：，當(dāng)m nbbomm 1axaxLam iXamlim nnn 0, 芻 m nxbxbxLbn iXbn,當(dāng)m n結(jié)論2: f (X)是基本初等函數(shù)，其定義區(qū)間為

2、 D,若X。 D ,則lim f (x) f (xo)x X。2、利用等價(jià)無窮小代換及無窮小的性質(zhì)；定義 1：若 lim f (x) 0或(lim f (x) 0)x Xox則稱f (x)是當(dāng)xX。(或x)時(shí)的無窮小.定義2:, 是自變量在同一變化過程中的無窮小若lim 1,則稱 與 是等價(jià)無窮小，記為性質(zhì)1：有限個(gè)無窮小的和也是無窮小.性質(zhì)2：有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小推論1：常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小推論2：有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小定理2(等價(jià)無窮小替換定理)設(shè) 且lim 一存在，則limlimlim lim (因式替換原則)常用等價(jià)無窮小：x,sin x x, tan x x,

3、arcsinx x, arctanx x, 1 cosx 2x2,ex 1 x, 1 x 1 x,ln 1 x ax 1 xln a, x 03、利用夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則;準(zhǔn)則1(夾逼準(zhǔn)則)若數(shù)列xn, yn, zn(n=1,2,)滿足下列條件 ynxnzn(n1,2,3,L );(2) lim yn lim 4 a, nn則數(shù)列xn的極限存在，且lim x”a.n準(zhǔn)則II:單調(diào)有界數(shù)列必有極限.4、利用兩個(gè)重要極限。1 sin x1 、.lim1 lim(1 x)x e lim(1 -)x 0 xx 0xx5、利用洛必達(dá)法則。0未定式為0,1,0,0類型.0定理(x a時(shí)的0型)：設(shè)l

4、im F(x) 0; x ao(2)在某U(a,)內(nèi),f (x)及F(x)都存在且F(x)0;f (x)F (x)則/存在（或?yàn)闊o窮大）則，lim -f-() lim x a F(x) x a0.8, 8-8, 0,8型二、求導(dǎo)數(shù)和微分:1.定義導(dǎo)數(shù)：函數(shù)y”*）在* x0處的導(dǎo)數(shù):f (x) f(x0)f(x0x) f(x0)f (x0) lim lim .x xox x0 x oxdydx函數(shù)y f (x)在區(qū)間i上的導(dǎo)函數(shù)：f (x x) f (x)f (x) lim x 0 x函數(shù)的微分：dy f (x)dx.2.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則（須記住P140導(dǎo)數(shù)公式） 函數(shù)和差積商求導(dǎo)法則：函數(shù)u（x

5、）、v（x）可導(dǎo)，則:(u(x) v(x) u (x) v(x)(u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v(x).(v(x) 0)u v uv2v反函數(shù)求導(dǎo)法則：若x(y)的導(dǎo)數(shù)存在且(y) 0 ,則反函數(shù)yf (x)的導(dǎo)數(shù)也存在且為f (x)1(y)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(鏈?zhǔn)椒▌t)：u (x)可導(dǎo),f (u)可導(dǎo),則y f ( (x)可導(dǎo)，且dy dy du.dx du dx隱函數(shù)求導(dǎo)法則：F(x9y) = 0兩邊對(duì)x求導(dǎo)V)= 0 (含件數(shù)/的方程) dx參數(shù)方程求導(dǎo)法則x (t), y (t)dy 若0則最，d2y dx2d(dy)dxdxd(t)dt1dxdt3.微分運(yùn)算法則設(shè)心)

6、，v(x)均可微,則Ld( 士 v)=由士dv 2. d(Cn) = Cdzi(C為常數(shù))3. d(?7v) = vd?/ + udv 4. d( _(v 0)V v-愛合函數(shù)的微分(微分形式不變性)三、求積分：1 .概念：原函數(shù)、不定積分。定積分是一個(gè)數(shù)，是一個(gè)和的極限形式。 bn性質(zhì)i ：性質(zhì)2:性質(zhì)3:性質(zhì)a f (x)dx limai 1f( i) Xiaf (x)dx 0,abf (x) g(x)dxaf (x)dxbf (x)dxaba f(x)dxba g(x)dxbkf (x)dxab4:f (x)dxabf (x)dx,acf(x)dxa(k是常數(shù)).bf (x)dx (去絕

7、對(duì)值,分段函 c數(shù)積分)b性質(zhì)5:dx ba2 .計(jì)算公式：P186基本積分表；P203常用積分公式；第一換元法(湊微分)：u (x)f( (x) (x)dx f( (x)d (x) f (u)duu (x)常用的幾種湊微分形式：(1) J/(OT + 6)dr - - Jdax + b)(3) J/*d/(4) J /(sin 或)cos xdx - J /,(sin x) dsin(5) J/(cosx)sin xdx- - J/(cosx) dcosx(6) J/(tanx)sec2 dx = j/(tanx) dtanxj/(Inx)dx = jy(lnx) dlinx-1dx d a

8、rcsin x1 x24 dx xd(1),x1dx xd arccosx,2d、.X.第二換元法:x2. f (x)dx(t)f(t) (t)dt第二類換元常見類型(三角，倒代換，根式，指數(shù)，萬能，雙曲:(1) J/(X 用(XT+ 8 )dx ?令 t = ax + b ; , 根式代換(X，禹)小令“磊J(3) (f(xa2 -x2 )dx :令 x =sin, 或 x-acost三角代換(4) J/(Ha? + X? )dr ,令 X 二 atanf(5) J-,令 x= asect(/)&，令指數(shù)代換 分母次數(shù)較高，倒代換第二換元涉及的重要恒等式sin* f + cos2 / = 1

9、, sec21 -tan2 r = lf cht -sh21-1分部積分法：3. u(x)v(x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dxudv uv vdu (反對(duì)事指三”，前u ,后v)分部化簡(jiǎn)循環(huán)解出；遞推公式有理函數(shù)積分:假分式 一 多項(xiàng)式+真分式 分解若干部分分式之和混合法(賦值法+特殊值法)確定系數(shù)四種典型部分分式的積分：L dr - Anx-a-CJ X-2. f A dx =+ C (1)r r Nf x + N x3 J-dxJx + px + qr Mx + N j，一，)(其+ px + q)M jCp: -40 1)分子分母的導(dǎo)數(shù)十%變分子為/(2P)+ N-竿上

10、再分項(xiàng)積分牛頓萊布尼茨公式：4 . bf(x)dx F(b) F(a) F(x/ (其中 F (x)f(x)a定積分換元法：b5 f (x)dx f( (t) (t)dt (a= ( ) b=()a(換元換限，配元(湊微)不換限)bbb定積分分部積分法：6. u(x)v (x)dx u(x)v(x) a. u (x)v(x)dxaaa結(jié)論(偶倍奇零)：aa若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，WJ f(x)dx 2 f(x)dx。 aoa若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則 / (x)dx 0a一、/汪忠：1 .利用“偶倍奇零”簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算； 22 .定積分幾何意義求一些特殊的積分(如 VPx2dx 土)04變限

11、積分求導(dǎo)/(/)!/ = /，2J：/df 二-f(x)；“)/(岫二 /。 OcbcJa二/皿刈d(+ 必砌3四、微分/口積分的應(yīng)用1.判斷函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、求其極值、拐點(diǎn)、描繪函數(shù)圖形判斷單調(diào)性：第一步：找使 f (x)0的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。第二步：以駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)劃分單調(diào)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上討論 f (x)的正 負(fù)，f (x) 0,函數(shù)遞增，f (x) 0,函數(shù)遞減。判斷凹凸性：第一步：找使f (x) 0的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。第二步：以這些點(diǎn)劃分定義區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上討論f (x)的正負(fù)，f (x) 0 ,是凹區(qū)間，f (x) 0 ,是凸區(qū)間。(拐點(diǎn)：左右兩邊f(xié) (x)的符號(hào)相反)判斷函數(shù)極值：

12、第一步：找使 f (x)0的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。第二步：判斷這些點(diǎn)兩邊 f (x)的正負(fù)，若左正右負(fù)極大值點(diǎn)左負(fù)右正極小值點(diǎn)。2.1定積分的幾何應(yīng)用-求面積，體積和弧長b所求圖形的面積為： S af上（x） f 下（x）dxd所求圖形的面積為：S 右（y）左（y）dyc旋轉(zhuǎn)體：由連續(xù)曲線y f （ x）、直線x a、x b及x軸所圍成的曲邊梯 形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。旋轉(zhuǎn)體：由連續(xù)曲線 x （y）直線y c、y d及y軸所圍曲邊梯 形繞y軸旋更一周而成的立體d2V (y)2dyc平面圖形的面積直角坐標(biāo)方程/二f/（Md* 方程 參數(shù)方程4二、極坐標(biāo)方程平面曲線的弧長弧微分：心=、十&20直角坐標(biāo)

13、方程曲線方程-參數(shù)方程方程極小標(biāo)方程ds yrldx右心一J（d）+L（e）de已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積/; J：43 dx旋轉(zhuǎn)體的體積y = y(x)，-V = X(y)繞 J,軸：A(x) = 7ry2(x)，(x) = 24對(duì)，(柱殼法)/=萬/2.3定積分的物理應(yīng)用變力沿直線做功；水（側(cè)）壓力；引力思路：建立坐標(biāo)系，選取積分變量（如x）,在x, x+ dx上給出微元第六空間解析幾何r r r r1 .向量a axi ayj azk在坐標(biāo)軸上的投影分別為：r r r的分量分別為：axi ,ay j ,azk。 r|a| 2 ay2 az2 , ea *（cos |a|2 .利用坐

14、標(biāo)作向量的線性運(yùn)算ax , ay , az ;在坐標(biāo)軸上,cos ,cos )ra(bx,by,bz),rabx,ay by ,az bz),(ax, ay, az),數(shù)量積(數(shù))：r ra baxbxx xr r r r ayby azbz |a|b|cos(a,b)rkazr j %向量積(向量)r ir ra b axrb 構(gòu)成右手系,rar br a且r bb rbhr ahr ar br ar |ar r a/ baxayaz (bxbybzrrrijkaxayaz0)bxbybzr r r r r平行四邊形的面積)b| |a|b|sin(a,b)(幾何意義:3 .向量之間的關(guān)系rr

15、r raba baxbxaybyazbz04 .平面圖形及其方程點(diǎn)法式方程:平面的法向量：和平面垂直的非零向量r設(shè)平面過點(diǎn)M0 (Xo, y, Zo)法向量n (A, B,C)(其中A, B,C不全為o), 則平面的方程為A(x Xo) B(y yo) C(z Zo) 0一般方程：Ax By Cz D o當(dāng)D = 0 時(shí)，A x + B y + C z = 0表示通過原點(diǎn)的平面 當(dāng)A = 0 時(shí)，B y + C z + D = 0表示平行于x軸的平面；Ax+Cz+D= 0表示平行于y軸的平面；Ax+By+D= 0表示平行于z軸的平面Cz + D = 0表示平行于xoy面 的平面；Ax + D

16、=0表示平行于yoz 面的平面；By + D =0表示平行于zox 面的平面ur設(shè)平面n i的法向量為ni (Ai, Bi, Ci), uu平面n 2的法向量為in2 (A2，B2,C2),則兩平面夾角 的余弦為：n1 n2o的距離:cos 卮平面外一點(diǎn)P Xo,yo,Zo到平面Ax By Cz D|AXo Byo Czo D| d A2 B2 C25.空間直線及其方程一般方程：直線可視為兩平面交線，具一般式方程為：A1x B1y C1z D1 o A2x B2y C2z D2 o r r r 方向向量：s ni 1點(diǎn)向式方程x xoy yoz zorr方向向量：ns (m,nnp)p參數(shù)方程(求交點(diǎn))x xo mty yo nt z 4 Pt.線與線的關(guān)系直線L1： x直線L2： xxim