湍流模型概述

1、大多數(shù)飛行器都是在高 Re數(shù)下飛行，表面的流態(tài)是湍流。為了準確地確定湍流流態(tài)下的摩阻、熱流，湍流成為一個重要而困難的研究課題。（一）DNS目前處理湍流數(shù)值計算問題有三種方法，第一種方法即所謂直接數(shù)值模擬方法（DNS方法），直接求解湍流運動的 N-S方程，得到湍流的瞬時流場，即各種尺度的隨機運動，可以 獲得湍流的全部信息。隨著現(xiàn)代計算機的發(fā)展和先進的數(shù)值方法的研究，DNS方法已經(jīng)成為解決湍流的一種實際的方法。但由于計算機條件的約束，目前只能限于一些低Re數(shù)的簡單流動，不能用于工程應(yīng)用。目前國際上正在做的湍流直接數(shù)值模擬還只限于較低的需諾數(shù) （Re200）和非常簡單的流動外形，如平板邊界層、完全發(fā)

2、展的槽道流，以及后臺階流動等。 用直接數(shù)值模擬方法處理工程中的復(fù)雜流動問題， 即使是當前最先進的計算機也還差三個量 級。（二）LES另一種方法稱做大渦模擬方法（LES方法）。這是一種折衷的方法，即對湍流脈動部分 直接地模擬，將 N-S 方程在一個小空間域內(nèi)進行平均（或稱之為濾波）， 以使從流場中去掉 小尺度渦， 導(dǎo)出大渦所滿足的方程 。小渦對大渦的影響會出現(xiàn)在大渦方程中， 再通過建立模 型（亞格子尺度模型） 來模擬小渦的影響 。由于湍流的大渦結(jié)構(gòu)強烈地依賴于流場的邊界形 狀和邊界條件， 難以找出普遍的湍流模型來描述具有不同的邊界特征的大渦結(jié)構(gòu)，宜做直接模擬。 相反地， 小尺度渦對邊界條件不存在

3、直接依賴關(guān)系，而且一般具有各向同性性質(zhì)。所 以亞格子模型具有更大的普適性， 比較容易構(gòu)造， 這是它比雷諾平均方法要優(yōu)越的地方。自從1970年Deardorff 第一次給出具有工程意義的LES計算以來，LES方法已經(jīng)成為計算湍流的最強有力的工具之一， 應(yīng)用的方向也在逐步擴展， 但是仍然受計算機條件等的限制，使之成為解決大量工程問題的成熟方法仍有很長的路要走。（三）RANS目前能夠用于工程計算的方法就是模式理論。 所謂湍流模式理論， 就是依據(jù)湍流的理論 知識、實驗數(shù)據(jù)或直接數(shù)值模擬結(jié)果，對 Reynolds 應(yīng)力做出各種假設(shè)，即假設(shè)各種經(jīng)驗的 和半經(jīng)驗的本構(gòu)關(guān)系，從而使湍流的平均 Reynolds

4、 方程封閉。隨著計算流體力學的發(fā)展，湍流模式理論也有了很大的進步，有了非常豐碩的成果。 從對模式處理的出發(fā)點不同，可以將湍流模式理論分類成兩大類：一類稱為二階矩封閉模式，另一類稱渦粘性封閉模式。（1）雷諾應(yīng)力模式所謂二階矩封閉模式，是 從Reynolds應(yīng)力滿足的方程出發(fā)，將方程右端未知的項（生 成項，擴散項，耗散項等）用平均流動的物理量和湍流的特征尺度表示出來。典型的平均流動的變量是平均速度和平均溫度的空間導(dǎo)數(shù)。這種模式理論，由于保留了Rey no Ids應(yīng)力所滿足的方程，如果模擬的好，可以較好地反映Reynolds應(yīng)力隨空間和時間的變化規(guī)律，因而可以較好地反映湍流運動規(guī)律。因此，二階矩模式

5、是一種較高級的模式，但是，由于保留了 Reynolds應(yīng)力的方程，加上平均運動的方程整個方程組總計15個方程，是一個龐大的方程組，應(yīng)用這樣一個龐大的方程組來解決實際工程問題，計算量很大，這就極大地限制了二階矩模式在工程問題中的應(yīng)用。（2）渦粘性模式在工程湍流問題中得到廣泛應(yīng)用的模式是渦粘性模式。這是由Bouss in esq仿照分子粘性的思路提出的，即設(shè) Reynolds應(yīng)力為，2 2UiUj T（Ui,j U j,i 3 U k,k ij ）3 k ij3 31這里k -UiUj是湍動能，t稱為渦粘性系數(shù)，這是最早提出的基準渦粘性模式，即假設(shè)2雷諾應(yīng)力與平均速度應(yīng)變率成線性關(guān)系，當平均速度應(yīng)

6、變率確定后，六個雷諾應(yīng)力只需要通過確定一個渦粘性系數(shù)t就可完全確定，且渦粘性系數(shù)各向同性，可以通過附加的湍流量來?；热缤膭幽?k,耗散率 ，比耗散率以及其它湍流量k/ ，l k3/2/，q *，根據(jù)引入的湍流量的不同，可以得到不同的渦粘性模式，比如常見的k ，k-w模式，以及后來不斷得到發(fā)展的k ，q-w，k-l等模式，渦粘性系數(shù)可以分別表示為k2LT C k2 / ， T C ， T C k ， T C %， T C、kl.為了使控制方程封閉，引入多少個附加的湍流量，就要同時求解多少個附加的微分方程，根據(jù)求解的附加的微分方程的數(shù)目，一般可將渦粘性模式劃分為三類：零方程模式，半方程 模型，

7、一方程模式，兩方程模式。1）零方程模式所謂零方程模式是試圖直接用平均流動物理量模化t，而不引入任何湍流量（如 k,等）。例如，Pran dttl的混合長理論就是一種零方程模式:I2（）式中I稱為混合長。在零方程模式的框架下，得到最為廣泛應(yīng)用的是Baldwin-Lomax模式22。該模式是對湍流邊界層的內(nèi)層和外層采用不同的混合長假設(shè)。這是因為靠近壁面處，湍流脈動受到很大的抑制，含能渦的尺度減小很多，因此長度尺度減小很多；另一方面，在邊界層外緣，湍流 呈間歇狀，質(zhì)量、動量和能量的輸運能力大大下降，即湍流的擴散能力減小。這樣，應(yīng)用混合長理論來確定渦粘性系數(shù)在這兩個不同的區(qū)域應(yīng)該有不同的形式。Bald

8、win-Lomax 模式的具體數(shù)學描述如下。T ) inn(T ) onty ycy yc()這里yc是（T ）inn（T）ont的離壁面最小距離 丫值。()()對于內(nèi)層，即y yc ,有T )inn是渦量，jkUk,j, l是長度尺度l ky(1 exy( y / A )其中k=是Karman常數(shù)，A+是?；?shù)，y是無量綱法向距離:y U y/ w而u是摩擦速度，其含義為此處下標w表示壁面。對于外層，即y yc,有其中T)out(Fwake F kieb( y)().2wakemin( y max Fmax ,Cwk y maxU dif / Fmax )Fmax是下列函數(shù)的最大值:F(y

9、) y (1 ex)( y /A )而ymax是F(y)達到最大值的位置。Fkleb是所謂的Klebanoff間歇函數(shù)：1C kleb y、6Fkleb(y)1 5.5()y maxUdif是平均速度分布中最大值和最小值之差。幾個?；?shù)的值如下：A 26.0; C 0.02668;03 Cwk 1O； K 04由上述模化關(guān)系中可以看出，Reyno Ids應(yīng)力完全地由當時當?shù)氐钠骄鲄?shù)用代數(shù)關(guān)系式所決定。平均流場的任何變化立刻為當?shù)氐耐牧魉兄?，這表明零方程模式是一個平衡態(tài)模式，假定湍流運動永遠處于和平均運動的平衡之中。實際上對大多數(shù)湍流運動而言，并非如此，特別是對平均流空間和時間有劇烈變化

10、的情形，再有因為坐標y顯式地出現(xiàn)在湍流模式中，零方程模式不具有張量不變性，當將它應(yīng)用到復(fù)雜幾何外形的流動的數(shù)值模擬會帶來困難。當流動發(fā)生分離時，Baldwin-Lomax模式會遇到困難，這是因為在分離點和再附點附近，摩擦速度 u為零，此時要引入一些人為的干涉來消除這些困難。計算實踐表明，只要流動是附體的，零方程模式一般都可以較好地確定壓強分布，但是摩阻和傳熱率的估算不夠準確，特別是當流動有分離和再附時。這是因為附體流壓 強分布對湍流應(yīng)力不敏感?？傊瑢Ω襟w流動，如果只關(guān)心壓強分布，應(yīng)用零方程模式 通?？梢越o出滿意的結(jié)果，而且模式應(yīng)用起來十分簡便。但是對于我們計算摩阻的需求， 零方程模式是不能滿

11、足要求。對于有分離、再附等復(fù)雜流動，零方程模式是不適用的。2) 半方程模式為了能計算具有較強壓強梯度，特別是較強逆壓梯度的非平衡湍流邊界層,Johnson-King 于1985年提出了一個非平衡代數(shù)模型，該模型仍采用渦粘性假設(shè)，把渦粘性的分布與最大剪切應(yīng)力聯(lián)系在一起，內(nèi)層渦粘性與外層渦粘性分布用一個指數(shù)函數(shù)作光滑擬合，外層渦粘性系數(shù)作為一個自由參數(shù)，由描述最大剪切應(yīng)力沿流向變化的 常微分方程來確定，此常微分方程是由湍流動能方程導(dǎo)出的，故此模型又稱為半方程模 型。JK模型雖然仍采用渦粘性假設(shè)，卻包含有雷諾應(yīng)力模型的特點。由于求解常微分方程比一方程，二方程模型中求解偏微分方程要簡單，省時的多，故用

12、JK模型的工作量只略高于通常平衡狀態(tài)的零方程代數(shù)模型的工作量JK模型后又經(jīng)不斷修正，發(fā)展了JK1990A, JK1990J以及JK1992等改進型3) 一方程模式Baldwi n-Barth(BB)模型是在二方程模型中，將某一導(dǎo)出的應(yīng)變量作為基本物理量而得到的，應(yīng)用此一方程模型可避免求解兩方程時會遇到的某些數(shù)值困難。BB 一方程模型所選擇的導(dǎo)出應(yīng)變量為“湍流雷諾數(shù)”Rt。BB模型對計算網(wǎng)格的要求低，壁面的網(wǎng)格可以與采用BL代數(shù)模型的相當，而不象兩方程k-e模型那樣要求壁面網(wǎng)格很細，這樣就避免了在k-e模型中流場求解的剛性問題。Spalart-Allmaras(SA) 模型與BB模型不同，不是直

13、接利用k-e模型兩方程模型加于簡化而得，而是從經(jīng)驗和量綱分析出發(fā)，由針對簡單流動在逐漸補充發(fā)展而適用于帶有層流流動的固壁湍流流動的一方程模型，模型中選用的應(yīng)變量是與渦粘性T相關(guān)的量，除在粘性次層外，與T是相等的。上述兩種一方程模型具有相似的特點，它們不象代數(shù)模型那樣需要分為內(nèi)層模型，外層模型或壁面模型，尾流模型，同時亦不需要沿法向網(wǎng)格尋找最大值，因此易于用到非結(jié) 構(gòu)網(wǎng)格中去；但由于在每個時間步長內(nèi)，需要對整個流場求解一組偏微分方程，故比BL和JK模型更費機時4) 兩方程模式k-兩方程模式標準k- 兩方程模式k-模式是最為人所知和應(yīng)用最廣泛的兩方程渦粘性模式，為積分到壁面的不可壓縮/可壓縮湍流的

14、兩方程渦粘性模式，各種不同版本的k-模式常見于各種文獻中，選擇Jones-Launder模式作為一般性介紹。k-模式最初的發(fā)展是為了改善混合長(mixi ng-le ngth)模式和避免復(fù)雜流動中湍流長度尺度(turbulentlength scale)的代數(shù)表示(algebraicprescription)。它求解兩個湍流標量k和 的輸運方程。k方程表示湍動能輸運方程，方程表示湍動能的耗散率。該模式對較小壓力梯度(relatively small pressure gradie nts)下的自由剪切流(free-shear-layer flows)具有較好的結(jié)果。對于壁面流動(wall bo

15、unded flows)，在零或者小平均壓力梯度下，模式結(jié)果和實驗結(jié)果符合得較為一致，但是對大的逆壓梯度(adversepressure gradie nts)，其結(jié)果就不太正確了。另外，在壁面附近，該模式需要壁面衰減函數(shù)(wall-dampi ng fun ctio ns)和較好的網(wǎng)格分布。a.模式方程雷諾應(yīng)力的渦粘性模型為tijuuj 2 t (SijSnn ij 3) 2 k ij /3這里t為渦粘性(eddy viscosity) ， Sij為平均速度應(yīng)變 率張量(mean-velocity strain-ratetensor)，為流體密度，k為湍動能，j為克羅內(nèi)克算子(Kroneck

16、er delta)。渦粘性定義為湍動能k和湍流耗散率的函數(shù)t c f k2基于量綱分析，渦粘性由流體密度 ，湍流速度尺度(turbulent velocity scale) k2 和長度尺度(length-scale) k3''2/來標度，衰減函數(shù)f由湍流雷諾數(shù)Ret k2/ 來 ?；?。湍流輸運方程可表示成以下形式湍流能量輸運方程tXj Uj XjOk能量耗散輸運方程tXjUjc 1 tij SijXjk這里右端項分別表示生成項(product ion term)耗散項(dissipation term)和壁面項(wall term) 。b.模式常數(shù)和參數(shù)模式中各常數(shù)的定義為c

17、 0.09 c 11.45c 21.92k 1.01.3Prt0.9近壁衰減函數(shù)exp( 3.4 (10.3exp(0.02 Ret)2)Ret2)Retk2壁面項°k 22 2Us2y這里Us為平行于壁面的流動速度。C.邊界條件積分到壁面的無滑移邊界條件為可實現(xiàn)性k模式上述標準k 模式，對于高平均切變率流動會出現(xiàn)非物理的結(jié)果(例如當Sk/ 3.7時，其中S.2Sj Sj ）。為了保證模式的可實現(xiàn)性，模式函數(shù)C不應(yīng)該是常數(shù)，而應(yīng)當是平均慶變率的函數(shù)。實驗表明，對邊界層流動和均勻切變流,C的值是非常不同的。為C( Reyno Ids, 1987, Shih,()ijij2 ijk ki

18、jijijk k而ij是在以角速度k旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標系中得到的平均旋轉(zhuǎn)速率。As6 cos1 1cos (. 6w)3()3上述關(guān)系式中唯一未確定的系數(shù)是 A。為簡單起見，可以設(shè)其為常數(shù)。對邊界層流動。可以取A =。對其他流動，A的數(shù)值可以調(diào)節(jié)。低 Reynolds 數(shù) k上述幾種k 模式適用于高 Reyn olds數(shù)情形。但是對近壁區(qū)，湍流需諾數(shù)很低，對湍流動力學而言粘性效應(yīng)非常重要，此時湍流Rey no Ids數(shù)的效應(yīng)必須加以考慮。我們研究摩阻的計算關(guān)注的恰恰是近壁區(qū)，因此低Rey no Ids數(shù)k模式的研究是十分重要的?，F(xiàn)將有關(guān)結(jié)果整理如下：低Reynolds數(shù)下的渦粘性和k 模式方程為k

19、(k 一 )()此人們根據(jù)可實現(xiàn)性對模式的約束條件，建議采用以下形式的1994)1* kAoAsU -式中* *Sj Sjij ij(k),t ( Uik),iT)kk,jUiUjUi,j(5.23),j(),t ( Ui ),iT)Cl fl,jC2f2 kC3丄 S,jS,j式中S . 2 Sij SijSij12(Ui,j uj,i )2UiUj3ijT(Ui,jUj,i3U k,k ij)所有?；?shù)如下:* k4 AsU -C1max0.43,5C21.9,1.0,C31.01.2*SKUSj Sjijij ,*1s“ijSij-Uk,k ij3f1expa1 Ra2 R2asR3a

20、4R4a5 R5f11expa1Ra2R2a3R3a4R4a5R5k0.22 expRt236其中此處1k2(k3)2Rtk2和f1, f2稱為阻尼函數(shù),是一個經(jīng)驗公式用來反映近壁區(qū)低雷諾數(shù)效應(yīng),系數(shù)ai和ai列表如下:ai-3X 10-5X 10-7X 10-9X 10-12X 10-3-5-7-9-12aiX 10X 10X 10X 10X 10常見k- 兩方程模式在文獻中有許多種 k 渦粘性模式。為了便于比較，我們將幾種常見的k 模式作一歸類。它們的主要區(qū)別一是在 k和 的方程及其邊界條件，另一方面是阻尼函數(shù)f的取法。模式代號作者ChChien, 1982LBLam and Bremho

21、rst, 1981NTNagano and Tagawa, 1990LSLaunder and Sharma, 1974MKMyong and Kasagi, 1988YSYang and Shih, 1991S&LShih and Lumley, 1993CMOTTZhu and Shih, 1995所有上述八種模式都可以用一個統(tǒng)一的方程組表示:t c fd kdtxiddtxi有關(guān)的項，k(5)-E(7)Dtktij kXiC 1 1 XiE, T列表如下：UiXjf丄r1tijDUiXjC 2 f2ModelTDEk2k2/c、Ch22 exp( 0.5y )LBNTLS2U2&

22、#163;36yYSk 、02uT2yc2k2US&L0T2yc2k2UCMOTT0T2y阻尼函數(shù)f,f1和f2對不冋的模式有不冋的表示式。Modelff1f2MK001 exo( 0.115y )Ch11 .22 exo(LB(1 e 0.165Rk)2(120.5)NT2y1 exp26LS3.4MKRt4.1Rt3/4.05exp(Rt2)11.3exp(exXRt(65)2)y 26T)eXP (1 Rt /50)2.3exp(R2)(11 exp( 7)1-exp(916)1exp(YS1 exo( .004 y5e 5y 2S&LCMOTT62e yC84.8e y

23、 )1 exp( .004 Rk5e 5r/6 3 8 42e Rk8e Rk )1 exp( .004 Rk5e 5r/2e6R8e 8r/)11.22 exo(R2)3611.22 exo(r2)3611.22 exo(r2)36式中Rk, y和Rt定義為Rt模式中出現(xiàn)的?；?shù)分別為ModelCC 1C 2Ch.09LB.09NT.09LS.09MK.09YS.09S&L.09CMOTTEq對不同的模式有不同的處理連界條件的方法:ModelB.C.forkwB.C. forChLB0NT0LS0MK0YS0S&L0.25 u2CMOTT0.25 u22k2y2k2y02k

24、4 u 0.251 0.251u4其它雙方程模式渦粘性系數(shù)的量綱為速度x長度，當用k,來模化時，它們之間的關(guān)系為2t C k / 。我們注意到，對標準 k 模式的 方程，在固壁上有奇點問題(壁面上 湍動能k 0)，這是因為模式不盡合理帶來的非物理的奇點。此外在計算中由于k,在壁面附近變化劇烈，必須在物面附近將網(wǎng)格劃分得非常小，才能得到合理的結(jié)果。為了克服這些困難，人們試圖尋找其它的湍流量來代替k,?？赡艿倪x擇有/k, k/ , lk3/2 / , q . k,相應(yīng)地，渦粘性系數(shù)可表示成：k2_T C , T C k , T C q- ,T C . kl .現(xiàn)在就來介紹幾種典型的模式：k-w 兩

25、方程模式(Wilcox)k- 模式是最為人所知和應(yīng)用最廣泛的兩方程渦粘性模式，為積分到壁面的不可壓縮/可壓縮湍流的兩方程渦粘性模式，最主要文獻來自Wilcox。求解湍動能 k 和它的/ k, k / , l k3/2 / , q k, (specificdissipation rate)的對流輸運方程已經(jīng)證明Wilcox k-模式在粘性子層比k-具有更好的數(shù)值穩(wěn)定性。由于壁面附近,值較大，模式不象 k-模式或者其它兩方程模式，它不需要顯式的壁面衰減函數(shù)。對于比較緩的逆壓梯度流動，該模式在對數(shù)區(qū)域給出的結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)較為符合。a.模式方程雷諾應(yīng)力的渦粘性模型為tij 2 t (Sij Snn i

26、j 3)2 k ij /3這里t為渦粘性(eddy viscosity) ， Sij為平均速度應(yīng)變 率張量(mean-velocitystrai n-rateten sor),為流體密度，kij為克羅內(nèi)克算子(Kroneckerdelta)。渦粘性定義為湍動能k和比耗散率的函數(shù)的輸運方程為XjUjk (kt)-XjtijSij -XjUj (k tijSij-3400.50.5Prt0.9b.模式常數(shù)和參數(shù)模式中各常數(shù)的定義為9100c.邊界條件對邊界層流動，壁面無滑移邊界條件為10(yi)2這里yi為離開壁面第一個點的距離，且yi+<1。對稱邊界條件采用零梯度條件，各種附加的邊界條件將

27、在具體流動中討論。SST兩方程模式(Menter)k-SST剪切應(yīng)力輸運(shear-stress-transport)模式在近壁處采用Wilcoxk- 模式，在邊界層邊緣bou ndary layer edges) 和自由剪切層 free-shear layers) 采用k- 模式 k- 形式，其間通過一個混合函數(shù)blending function來過渡，屬于積分到壁面的不可壓縮/可壓縮湍流的兩方程渦粘性模式。為了有效結(jié)合k-和k-模式，統(tǒng)一寫成k-形式a.模式方程渦粘性定義為a1kTmax a1 ; F2這里是渦量的絕對值，a1 0.31， F2是混合函數(shù)。F2tanhc Vk500max

28、 2,20.99 y y2t的形式解決了湍流剪切應(yīng)力在逆壓梯度邊界層的輸運。k和由相應(yīng)的模式輸運方程得到。湍動能輸運方程kktij SijUjk (k t )ktXjXj湍流比耗散率方程uj(t)P22 k2(1 F1)tXjXjXj Xj上式中最后一項代表交錯擴散項(cross-diffusion term)生成項P 2SjSnn ij3 Sjb.模式常數(shù)和參數(shù)F1 tanhminmaxk0.99 y5002yCDk y這里CDkmax,10Xj xj20這里CDk代表k-模式中的交叉擴散(cross-diffusi on) 。SST模式常數(shù)a10.310.090.41模式參數(shù)由來表示，2分別表示原始k-模式系數(shù)和轉(zhuǎn)化的k-模式系數(shù)Fi這里Inner model系數(shù):k10.850.510.0750.553Outer model系數(shù):k21.00.85620.08280.440k 模式方程為DkDtk,i5UjUi,j,iDDt,i,i,i,i C1ui U jU i,jkC2?；?shù)為CiC2k2Ce20.92, k04T 1.5.對低雷諾數(shù)流動有1 exp(aiRa2R2a3R3其中(uUp)C21.9210.22 exp(2Rt /36) 1模式的框架下,Speziale(1990) 33提出了下列的模