高中數(shù)學(xué)異面直線距離(教師用)Word版

1、求異面直線之間距離的常用方法求異面直線之間的距離是立體幾何重、難點(diǎn)之一。常有利用圖形性質(zhì)，直接找出該公垂線，然后求解；或者通過空間圖形性質(zhì)，將異面直線距離轉(zhuǎn)化為直線與其平行平面間的距離，或轉(zhuǎn)化為分別過兩異面直線的平行平面間的距離，或轉(zhuǎn)化為求一元二次函數(shù)的最值問題，或用等體積變換的方法來解。方法一、定義法也叫直接法， 根據(jù)定義，找出或作出異面直線的公垂線段，再計算此公垂線段的長。這是求異面直線距離的關(guān)鍵。 該種方法需要考慮兩種情況：一是如兩條一面直線垂直，一般采用的方法是找或做：過其中一個直線與另一個直線垂直的平面。若兩個直線不垂直，則需要找第三條直線，若第3條直線與兩個異面直線都垂直，則平移第

2、3條直線使得與兩個異面直線都相交。例1 已知：邊長a為的兩個正方形ABCD和CDEF成1200的二面角，求異面直線CD與AE間的距離。思路分析：由四邊形ABCD和CDEF是正方形，得 A B H D C E F CDAD，CDDE，即CD平面ADE，過D作DHAE于H，可得DHAE，DHCD，所以DH是異面直線AE、CD的公垂線。在ADE中，ADE=1200，AD=DE=a，DH=。即異面直線CD與AE間的距離為。例2 如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn).例2題圖(1)求證：EF是AB和CD的公垂線；(2)求AB和CD間的距離；(

3、3)求EF和AC所成角的大小. (1)證明：連結(jié)AF，BF，由已知可得AF=BF.又因?yàn)锳E=BE，所以FEAB交AB于E.同理EFDC交DC于點(diǎn)F.所以EF是AB和CD的公垂線. (2)在RtBEF中，BF=,BE=,所以EF2=BF2-BE2=2，即EF=.由(1)知EF是AB、CD的公垂線段，所以AB和CD間的距離為.(3)過E點(diǎn)作EGAC交BC于G，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以G為BC的中點(diǎn).所以FEG即為異面直線EF和AC所成的角.在FEG中，EF=,EG=,FG=,cosFEG=.所以 FEG=45°所以異面直線EF與AC所成的角為45°例3 正方體ABCD-A1B

4、1C1D1棱長為a，求異面直線AC與BC1的距離。 取BC的中點(diǎn)P，連結(jié)PD，PB1分別交AC，BC1于M，N點(diǎn)， 易證：DB1/MN，DB1AC， DB1BC1， MN為異面直線AC與BC1的公垂線段，易證：MN=B1D=a。 例4、正四棱錐S-ABCD中，底面邊長為a，側(cè)棱長為b(ba)求：底面對角線AC與側(cè)棱SB間的距離解：作SO面ABCD于O，則點(diǎn)O是正方形ABCD的中心SOAC，BOAC，AC面SOB在SOB中，作OHSB于H，根據(jù)、可知OH是AC與SB的距離OH·SBSO·OB，方法二、轉(zhuǎn)化為線面距離若a、b是兩條異面直線，過b上一點(diǎn)A作a的平行線C，記C與b確

5、定的平面。從而，異面直線a、b間的距離等于線面a、間的距離。例1 為直角梯形ABCD所在平面外一點(diǎn)，SA平面AC，SA=AB=BC=，AD=2，求異面直線SC與AB間的距離 解：如圖，設(shè)是AD的中點(diǎn),連結(jié)SF、CF, 則ABCF.故AB平面CFS故直線AB到平面CFS的距離就是異面直線SC與AB間的距離，在平面SAF內(nèi)作AESF，垂足為E，易知AB平面SAF，ABCEF圖故CF平面SAF.CFAE. 從而AE平面CFS, 故AE為直線AB到平面CFS 的距離,即SC與AB間距離.在中,易得AE=思考，與方法一的思路是否統(tǒng)一？例2 如圖，BF、AE兩條異面直線分別在直二面角P-AB-Q的兩個面內(nèi)

6、，和棱分別成、角，又它們和棱的交點(diǎn)間的距離為d，求兩條異面直線BF、AE間的距離。 F C P A G B Q E H D 思路分析：BF、AE兩條異面直線分別在直二面角P-AB-Q的兩個面內(nèi)，EAB=，F(xiàn)AB=，AB=d，在平面Q內(nèi)，過B作BHAE，將異面直線BF、AE間的距離轉(zhuǎn)化為AE與平面BCD間的距離，即為A到平面BCD間的距離，又因二面角P-AB-Q是直二面角，過A作ACAB交BF于C，即AC平面ABD，過A作ADBD交于D，連結(jié)CD。設(shè)A到平面BCD的距離為h。由體積法VA-BCD=VC-ABD， 得 h=方法三、體積法：體積法實(shí)質(zhì)也為線面法本解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，再將線

7、面距離轉(zhuǎn)化為錐體的高，然后體積公式求之。例1：正方體，求AC與BC1的距離當(dāng)求AC與BC1的距離轉(zhuǎn)化為求AC與平面A1C1B的距離后，設(shè)C點(diǎn)到平面A1C1B的距離為h，則 h·(a)2=·a·a2, h=a，即AC與BC1的距離為a。 例2 設(shè)長方體的三邊長為AB5, BC4, 3,求AB和之間的距離.C1ABDA1B1D1圖解:如圖4,由AB,知AB平面.C故要求AB和之間的距離,只要求出AB到平面的距離即可.連結(jié),則三棱錐的高也就是AB到平面的距離.而,即, 可求得.故AB和之間的距離為.評注：等體積法是解決距離問題的常用方法，運(yùn)用它可避免作一些復(fù)雜的輔助線，

8、關(guān)鍵是找到容易計算面積的底面。方法四、轉(zhuǎn)化為面面距離若a、b是兩條異面直線，則存在兩個平行平面、，且a、b。求a、b兩條異面直線的距離轉(zhuǎn)化為平行平面、間的距離。例1棱長為的正方體中，求兩對角線與間的距離A1B1C1D1ABC圖DE解：連結(jié)，平面D平面連結(jié)，則，由三垂線定理，知同理，平面同理平面D平面平面D設(shè)與平面D、平面的交點(diǎn)分別為、，則MN的長即為平面與平面D的距離，也就是異面直線與間的距離設(shè)與的交點(diǎn)為, 連結(jié),在平面中, ,則，同理故與間的距離為評注：把求異面直線間的距離轉(zhuǎn)化為求直線與平面或平面與平面間的距離，是求異面直線間距離時最常用的兩種轉(zhuǎn)化手段例2 已知：三棱錐S-ABC中，SA=B

9、C=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求異面直線AD與BC的距離。思路分析：這是一不易直接求解的幾何題，把它補(bǔ)成一個易求解的幾何體的典型例子，常常有時還常把殘缺形體補(bǔ)成完整形體；不規(guī)則形體補(bǔ)成規(guī)則形體；不熟悉形體補(bǔ)成熟悉形體等。所以，把三棱錐的四個面聯(lián)想到長方體割去四個直三棱錐所得，因此，將三棱錐補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為長方體， 設(shè)長方形的長、寬、高分別為x、y、z， 則 解得x=3，y=2，z=1。由于平面SA平面BC，平面SA、平面BC間的距離是2，所以異面直線AD與BC的距離是2。例3 正方體，求AC與BC1的距離解法3：（轉(zhuǎn)化法） 平面ACD1/平面A1C1B， AC與BC1的距離等于平面A

10、CD1與平面A1C1B的距離，（如圖3所示）， DB1平面ACD1，且被平面ACD1和平面A1C1B三等分； 所求距離為B1D=a。小結(jié)：這種解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為面面距離。 方法五：構(gòu)造函數(shù)法求極值法根據(jù)異面直線間距離是分別在兩條異面直線上的兩點(diǎn)間距離的最小值，可用求函數(shù)最小值的方法來求異面直線間的距離。例1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，求A1B與D1B1的距離。思路分析：在A1B上任取一點(diǎn)M，作MPA1B1，PNB1D1，則MNB1D1，只要求出MN的最小值即可。設(shè)A1M=x，則MP=x，A1P=x。所以PB1=ax，PN=（ax）sin450=（ax），MN=。當(dāng)x=時

11、，MNmin=。例2 正方體，求AC與BC1的距離。任取點(diǎn)QBC1，作QRBC于R點(diǎn)，作RKAC于K點(diǎn)，如圖4所示， 設(shè)RC=x，則OK2=x2+(a-x)2=(x-a)2+a2a2, 故QK的最小值，即AC與BC1的距離等于a。 小結(jié)：這種解法是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知量，構(gòu)造一個目標(biāo)函數(shù)，通過求這個函數(shù)的最小值來得到二異面直線之間的距離。例3已知正方形ABCD和正方形ADEF所在平面互相垂直，并相交于直線AD這兩個正方形的邊長均為，求異面直線AE和BD的距離解：是AE上任意一點(diǎn),過P作PQ垂直AD，垂足為Q，平面ADEF平面ABCD， 且平面ADEF平面ABCDAD，PQ平面ABCD過作QRBD,垂

12、足為,連結(jié)PR,則QR是PR在平面ABCD上的射影,由QRBD,知PRBD.PR的長度是AE上任意一點(diǎn)P到BD的距離.設(shè)AQ=,則QD=.在中, AQ=,則PQ=.在中,則QR=().PQ平面ABCD,QR平面ABCD, PQQR.ABDEFPQ圖C在中,.當(dāng)=時, PR取最小值,即異面直線AE和BD的距離為評注：因異面直線的距離是異面直線上兩點(diǎn)間距離最短的，從而可將異面直線的距離轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求解在求異面直線SA與BC間的距離時，可先在SA任取一點(diǎn)D，作DE直徑AC于E，則DE底面圓再作EFBC于F，則有DFBC，于是DF的最小值就是SA與BC間的距離方法六：公式法如圖，已知異面直線a

13、、b所成的角為q，公垂線段AA= d，AE=m , AF = n ,         應(yīng)用此公式時，要注意正、負(fù)號的選擇     當(dāng)DAF=q時，取負(fù)號；當(dāng)點(diǎn)F（或點(diǎn)E）在點(diǎn)A（或A）的另一側(cè)時取正號     例5 已知圓柱的底面半徑為3，高為4，A、B兩點(diǎn)分別在兩底面圓周上，并且AB=5，求異面直線AB與軸OO/之間的距離。思路分析：在圓柱底面上AOOO/，BO/OO/，又O

14、O/是圓柱的高，AB=5，所以d=。即異面直線AB與軸OO/之間的距離為。方法七 射影法將兩條異面直線射影到同一平面內(nèi)，射影分別是點(diǎn)和直線或兩條平行線，那么點(diǎn)和直線或兩條平行線間的距離就是兩條異面直線射影間距離。例6 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，M、N分別是棱AB、CC1的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)。求異面直線D1M、EN間的距離。思路分析：兩條異面直線比較難轉(zhuǎn)化為線面、面面距離時，可采用射影到同一平面內(nèi)，把異面直線D1M、EN射影到同一平面BC1內(nèi)，轉(zhuǎn)化為BC1、QN的距離，顯然，易知BC1、QN的距離為。所以異面直線D1M、EN間的距離為。8、用向量求兩條異面直線間的距離下面

15、介紹一種利用向量進(jìn)行計算的簡易方法我們先來看看空間向量在軸上的射影設(shè)向量AB，那么它在u軸上的投影為從圖可以看出，為了作出AB在u軸上的射影，可以過點(diǎn)A、B分別作與u軸垂直的兩個平面a、b，那么點(diǎn)A、B在u軸上的射影分別為A、B，且點(diǎn)A、B必定在平面a、b上顯然， 就是 在u軸上的射影從另一方面看，線段就是異面直線AA和BB(如果它們不平行的話)的公垂線段，也就是兩異面直線間的距離所以，異面直線上任意兩點(diǎn)所連接的向量在公垂線方向上射影的模亦即投影的絕對值就是兩異面直線間的距離因?yàn)樗? 表示兩異面直線間的距離由于a| b，它們之間的距離處處相等，所以u軸的選取不一定要是公垂線，而只要同時與兩異

16、面直線垂直，也就是說只要與公垂線方向向量共線即可下面看個例子例5正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，求異面直線AC與BC1的距離解：如圖，以直線DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系則有D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、C1(0,a,a)，且(-a,a,0)，(-a,0,a)，(0,a,0)設(shè)(x，y，z)，由 · =0 · =0，得 -ax+ay+0·z=0解得x=y=z(k,k,k)(k0) -ax+0y+a·z=0d= = = = 答：異面直線AC與BC1的距離是綜合題：例如圖

17、，已知正方體的棱長為，求兩異面直線、的距離解法一（面面平行法）如附圖，兩異面直線、間的距離兩平行平面、面間的距離d,且由三垂線定理知與這兩個平行平面垂直。由平面幾何知識易證被這兩平行平面三等分， 解法二（公垂線段法）由上可知，兩異面直線、的公垂線段平行且等于，由這一特殊的比例關(guān)系聯(lián)想到三角形的重心，啟發(fā)我們?nèi)?gòu)造重心!故找尋交線的中點(diǎn)，設(shè)，易證、分別為和的重心，由=得平行且等于，則即為兩異面直線、的公垂線段!思維發(fā)散：空間四邊形的四個內(nèi)角中，最多有多少個直角呢? 如附圖，在空間四邊形中，但對于是否為直角呢？不妨假設(shè)，則異面直線、將有兩條公垂線段、，這與公垂線段的唯一性矛盾！ 直角最多只能有3個。解法三（最小值法）：在上任取點(diǎn)，在面內(nèi)作，再在底面內(nèi)作，連，設(shè) ，則在直角三角形中，有：， 當(dāng)，即點(diǎn)為的一個三等分點(diǎn)時， 解法四（線面平行、等積法）： / 面,則兩異面直線、間的距離直線到面的距離點(diǎn)到面的