倍角、半角、和差化積公式

1、倍角、半角、和差化積公式.教學內(nèi)容：1.1 和角公式1.2 倍角公式和半角公式2 .教學目的1 . 了解兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的推導和證明過程，能夠利用兩角和與差的 余弦、正弦、正切公式進行簡單的三角函數(shù)式的求值、化簡和證明，了解兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的內(nèi)在聯(lián)系；2 .掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推導過程，能夠利用倍角、半角的正弦、 余弦、正切公式進行求值、化簡和證明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的內(nèi)在聯(lián) 系。3 .教學重點、難點重點：能夠推導并掌握兩角和與差的余弦、正弦、正切公式及倍角、半角的正弦、余弦、正切公式，并應用上述公式進行求值、化簡、證明。難點

2、：能夠正確利用上述公式進行求值、化簡、證明，并能解決簡單實際問題。4 .知識分析(一)兩角和與差的余弦1、兩角差的余弦公式推導方法1:向量法把看成是兩個向量夾角的余弦，可以考慮利用兩個向量的數(shù)量積來研究。如圖1,設的終邊分別與單位圓交于點 P(,),心(，)，由于余弦函數(shù)是周期為 2兀的偶函數(shù)，所以，我 們只需考慮的情況。圖1設向量貝U。另一方面，由向量數(shù)量積的坐標表示，有于是，對于任意的，都有上述式子成立。推導方法2:三角函數(shù)線法設、都是銳角，如圖 2 ,角的終邊與單位圓的交點為Pi , / POP1=，則/ Pox=。過點P作MN ±x軸于M,則OM即為的余弦線。在這里，我們想法

3、用的三角函數(shù)線 來表示OM。圖2過點P作PALOP1于A,過點A作AB，x軸于B,過P作PCX AB于C,則OA表示， AP表示，并且/ PAC=/ PQx=,于是OM = OB+ BM = OB-CP = Mcos ct+APsm a= cos pcos(x+sin |3sin ct即要說明此結果是否對任意角都成立，還要做不少推廣工作，并且這項推廣工作的過程也是比較繁難的，在此就不進行研究了。2 .兩角和的余弦公式比較與，并且注意到與之間的聯(lián)系：則由兩角差的余弦公式得：cos(a+ p) = cosa- (-p)= cosacos(-f) + sin(xsin(-p) = cos acos

4、p-sin a sin °即3 .對公式的理解和記憶(1)上述公式中的都是任意角。(2)公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)之積，連接符號與左邊的連接符號相反。(3)要注意和(差)角的相對性，掌握角的變化技巧，如，等。(二)兩角和與差的正弦1 .公式的導出Siii(0C+p) - cos - (Ct- p)= cos：(-<X) 3 22-5)C95 R+ sin (-喻n p=sinP + cqs CCfin Psinfct- P) = smct + (-|3) = sm Ctc<?s(-|3) +c<?s Ctsui(-|5) = sin Ctcos p- cos C

5、£sin P即2 .公式的理解(1) 一樣，對任意角均成立，是恒等式。(2) “和差”公式是誘導公式的推廣，誘導公式是“和差”公式的特殊形式。 如(3)明確公式的區(qū)別與聯(lián)系:兩公式右邊均為兩乘積項和差形式，但公式中，左邊為角的“和”或“差”，右邊也為兩項之“和”或“差”，而公式中，左邊為角的“和”或“差”，右邊則為兩項之“差”或“和”，另外公式中 右邊兩項均為角的異名函數(shù)之積，牢記公式，才能正確使用這些公式。3 .函數(shù)的最值(a、b為常數(shù)，為任意角)將函數(shù)化為一個三角函數(shù)形式可求最值，而此函數(shù)為兩項之“和”式，所以考慮應用兩角和與差的正弦、余弦公式，可化為一個三角函數(shù)形式，化簡過程如

6、下：-.卜飛 +£?_, - c os Cf + ?si n=Jai ("上* 9然Bxs34 singsinQ)(令 tan &=) a=V®2eg g工=必E,，褒=+二也可如下化簡：-+ 匕a 廿一 cos df + /- sin O')=J而，+上* (siii iScos + cossin)(令 tan 日=)即注：此處內(nèi)容與教材 P143的例4是一種問題，但表示方法稍有不同，目的是要同學們 靈活掌握，運用自如。(三)兩角和與差的正切1 .正切公式的推導過程當時，將公式的兩邊分別相除，有, f sin（tE+ sin cos cos as

7、 in j8tari(af+ /S)=C'：'S(a?+ cosacos/一 ;inasin當cos acos 3制時，將上式的分子分母分別除以cos acos 3 ,得:在中以3代3 ,可得2 .公式的理解（1）公式成立的條件縣后年+3 華七T+。門+屏上燈+登心需滿足）公式在222.a pw行否則是不成立的。當tan a、tan 3或tan（ a 土）酌值不存在時，不能使用公式，處理有關問題時，應改用誘 導公式或其他方法來解。（2）公式的變形形式由得由得（四）倍角公式1 .本節(jié)中公式的證明過程較為簡單，只要將中的3換作a即可得到的形式，再結合平方關 系可推得。2 .二倍角的

8、正弦、余弦、正切公式及變形另外，。公式還可變形為升哥公式：降哥公式：以上公式中除且a W外，其余公式中角a為任意角。（五）半角的正弦、余弦和正切1 .應用三個半角公式時，要特別注意根號前的符號，選取依據(jù)是所在的象限的原三角函數(shù) 的符號。同學們往往誤認為是根據(jù)cos a的符號，確定，、的符號。如a為第二象限角，且，則為第一或第三象限角，可正可負，可正可負，為正。/. sin 22 .公式，共有三個，即，顯然公式由于符號問題有時不方便，后兩個無符號問題，但易記 混淆。對于后兩個公式關鍵是明確公式的推導，如下：,同理可推得，后兩個公式在化簡中往往起到事半功倍的效果。3 .升哥公式：降哥公式，等同于倍

9、角公式的升哥與降哥公式。升降哥公式主要用于化簡、求值、證明，在應用時要根據(jù)題目的角的特點，函數(shù)的特點 及結構特點選取公式。一般地升哥的同時角減小，降哥的同時角增大?！镜湫屠}】2 7T33ttSin Of = , RE 一，8S .二一一，聲 E （兀 一）例1.,之，求的值。解析：由又由得由余弦的和角公式，得£-3君15t65(a+ a = C*S #一 3LH fl： Sift fi= (-)(- ) 一 1()點評：已知角的某一三角函數(shù)值，求該角的另一三角函數(shù)值時，應注意角的終邊所在的 象限，從而確定三角函數(shù)值的符號。例2.已知RtACB中，兩垂直邊 AC=b, BC= a,斜

10、邊AB=c,周長為定值l,求斜邊c 的最小值。解析：RtACB 中/ C=90° ,AC=b, BC= a, AB=c則 a=csinA, b = ccosA即當時，斜邊c最小，最小值為。點評：（1）應用三角函數(shù)解決實際應用題的最值問題，必須先寫出函數(shù)關系式（三角形 式），再求最值。（2）型如的函數(shù)均可化為（8為確定數(shù)值），或化為，再利用三角函數(shù)的值域可求最值。由:；（2）tan 15%tax30%tan 150tan300例3.計算：（1） 1 一3口75。解析：（1）解法1：.1+tan方1+2+丑 _ ? + , _ 2昭1 tan 75° 1 2 1 2解法2:(2

11、)公式，可變形為=tan450（l- tan 15C * tan 300） + tan 150 * tan300=tari'450= 1點評：（1）題（1）中的解法1是正用公式，從而將非特殊角75。的正切化為兩特殊角45°與30 °的正切，使問題得解；而題（1）中的解法2通過變換湊出兩角和的正切公式形式， 逆用公式使問題得到解決。題（2）是逆用公式求解的。（2）公式可正用、逆用、變形應用。應用公式解題時，由于所求式子與公式有一定距離， 可先變形、整理，再應用公式。（3）對于型如：（或）的式子，常常分子分母同時除以為（或）的形式，再化為（或） 的形式，再用公式即可。例

12、4.設是方程的兩實根。之值。求.：一一 .,，：解析：由題意知：.,- tan+ tan 4 $tan(u+ 刈1 - tan entail 4sin,2 (d+ 向-3 sin (a + 0) - 3cc £口 (a十足3sin(a+ 8sg十向一 3co* (it1十灼 +向+亦/但+向t址i"型+同一？1班(亞+同一 3tai?g +灼 +1點評：(1)由tan( a + 3 =如何求待求式的值是難點，而將待求式轉化為的待求式是關鍵，如何轉化呢？關鍵之關鍵是將原待求式看成分母為“1”的分式，而分母1”又可表示為(2)型如,型如,型如,由，可求下列代數(shù)式的值: 可化為；

13、可化為；sin2 0t4 5sin otcosoc+cos2 Ct tan2 Ct+3tanot+l可化為. 72sin ot+ cos atan2 ct+1例5.解答下列各題：(1)求的值；(2)已知，求的值;(3)求的值。解析：(1)cos it = -aj! - sin3 a:=51 -(一)13512sin 2= 2sm值。£值二 2乂 二 X C 故二 二1213_120= 169tan 1502tanl5c 點評：-tan 30" 2(1)對于第(1)題要注意將變換成，再配以系數(shù)2,即可適合二倍角的正弦公式的形式，利用二倍角的正弦公式求值；對于第(2)題首先利用

14、同角三角函數(shù)的關系求出的值，然后利用二倍角公式求出的值, 再利用同角三角函數(shù)的基本關系式求出的值。對于第(3)題配上系數(shù)2,即為二倍角的正切公式，逆用二倍角正切公式即可。(2)二倍角公式可正用、逆用、變形用，牢記公式及其特點才能正確靈活地使用二倍角 公式；(3)二倍角正弦公式連續(xù)使用時要注意構造余弦的二倍角關系，類似地，可以證明恒等 式：2cl c«s4a-L cos(2* 00 =21+1 sin a如求值 sin10 ° sin50 ° sin70 ° ,可以先化為 cos20 ° cos40 cos80 °8sin20o* co

15、s200 - ccs400 - c。580clsin 160°sin20°再化為8 sin 200S Sin 2 尸名 Rin 2伊 S同學們可以試著求下面的式子的值:例6.已知，求的值。解析1 :解析2:平方得sin a、cos a可看成方程的兩根, 解方程，可得點評：已知的一個三角函數(shù)值及所在象限，可求 2的正弦、余弦、正切，而本題已知三 角函數(shù)式，可先求出的值，再用二倍角公式，但要判斷出，另外本題解法較多，認真研究可 以提高解題的靈活變形能力。例7.已知 解析：且C 譏求Eltl g ,22&ecos r tan 上上的值。點評：半角余弦公式的實質是等號左邊的

16、角是右邊的角的，不一定是單角的形式，根號 前面的符號，由所在象限來確定，如果沒有給出限定符號的條件，根號前應保留正負兩個符號。例8.已知的值。解析：解法1： ,利用比例性質：解法2: 又，解法3:原式又，點評：（1）給值求值問題一般有兩個思路： 一是先化簡（變形）三角式，再代入求值（法 2,法3）;二是由已知變形，獲得所求解的式子（法 1）,相比而言法 2為通法，法1技 巧太高不易掌握，法 3太麻煩，但它與題型“由的值，求的值”有異曲同工之妙。（2）法2中用到的化簡技巧：，在化簡三角函數(shù)式中含有時常用到。（3）法1中的公式在化簡三角式中也經(jīng)常使用?！灸M試題】1.下列四個命題中的假命題是（）A.存在這樣的a和3的值使得B.不存在無窮多個a和3的值使得C.對于任意的a和3有D.不存在這樣a和3的值使得D. sin2x3.在 ABC中，若，則4ABC()A.等邊三角形B.直角三角形C.銳角三角形4.化簡的結果為()D.鈍角三角形A. 1B.C. COS aD5.右2.化簡的結果是()A. sin2xB. cos2xC. cos2xC.D.sin acos 3一兀兩，則等于A.B.6 .的值為()A.B.7 .當時，的值是()A