全等三角形幾種類型總結

1、全等三角形幾種類型總結1 / 18全等三角形與角平分線全等圖形：能夠完全重合的兩個圖形就是全等圖形.全等多邊形：能夠完全重合的多邊形就是全等多邊形.相互重合的頂點叫做對應頂點，相互重合的邊叫做對應邊，相互重合的角叫做對應角. 全等多邊形的對應邊、對應角分別相等.如下圖，兩個全等的五邊形，記作：五邊形ABCDE也五邊形ABCDE.這里符號“也”表示全等，讀作“全等于”.全等三角形：能夠完全重合的三角形就是全等三角形.全等三角形的對應邊相等，對應角分別相等；反之，如果兩個三角形的邊和角分別對應相等，那么這兩個三角形全等.全等三角形對應的中線、高線、角平分線及周長面積均相等.全等三角形的概念與表示：

2、能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形.能夠相互重合的頂點、邊、角分別叫作對應頂點、對應邊、對應角全等符號為么”.全等三角形的性質：對應角相等，對應邊相等，對應邊上的中線相等，對應邊上的高相等，對應角的角平分線相等，面積相等.尋找對應邊和對應角，常用到以下方法：(1) 全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊.(2) 全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角.(3) 有公共邊的，公共邊常是對應邊.(4) 有公共角的，公共角常是對應角.(5) 有對頂角的，對頂角常是對應角.全等三角形的判定方法：(1) 邊角邊定理(SAS):兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三

3、角形全等.(2) 角邊角定理(ASA):兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等.(3) 邊邊邊定理(SSS :三邊對應相等的兩個三角形全等.(4) 角角邊定理(AAS):兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.(5) 斜邊、直角邊定理(HL):斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.判定三角形全等的基本思路：找夾角 SAS已知兩邊 找直角 HL找另一邊SSS邊為角的對邊T找任意一角TAAS找這條邊上的另一角TASA 找這條邊上的對角TAAS 找該角的另一邊TSAS找兩角的夾邊ASA已知一邊一角邊就是角的一條邊全等三角形幾種類型總結2 / 18找任意一邊AAS3 / 18全等三

4、角形幾種類型總結全等三角形的圖形歸納起來有以下幾種典型形式：平移全等型由全等可得到的相關定理： 角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等. 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上. 等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等（即等邊對等角）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合.等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.與角平分線相關的問題角平分線的兩個性質：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊距離相等的點在角

5、的平分線上.它們具有互逆性.角平分線是天然的、涉及對稱的模型，一般情況下，有下列三種作輔助線的方式：1 由角平分線上的一點向角的兩邊作垂線，2.過角平分線上的一點作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形，3.OA OB，這種對稱的圖形應用得也較為普遍，三角形中線的定義：三角形頂點和對邊中點的連線三角形中線的相關定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊的中線三線合一（底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合）三角形中位線定義：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半.中位線判定定理： 經(jīng)過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線

6、必平分第三邊.中線中位線相關問題（涉及中點的問題）匕/Y對稱全等型旋轉全等型全等三角形幾種類型總結4 / 18見到中線（中點），我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線以及中位線定理（以后還要學習中線長公式），尤其是在涉及線段的等量關系時，倍長中線的應用更是較為常見.全等三角形幾種類型總結5 / 18平例題精講板塊一、全等三角形的認識與性質在AB、AC上各取一點E、D，使AE AD，連接BD、CE相交于0再連結AO、BC，若12，則圖中全等三角形共有哪幾對？并簡單說明理由.板塊二、三角形全等的判定與應用【例 2】（2008 年巴中市高中階段教育學校招生考試AF BD.）如圖，AC II DE,BC I

7、I EF,AC DE.求證:【例 3】（2008 年宜賓市）已知：如圖，AD BC,AC BD，求證：C D.【例1】【鞏固】 如圖所示,AB AD,BC DC,E、F在AC上，AC與BD相交于P.圖中有幾對全等三角形？請一一找出來，并簡述全等的理由.全等三角形幾種類型總結6 / 18【鞏固】如圖， AC、BD相交于 0 點，且AC BD,AB CD，求證：OA OD.DA -07B【例 4】（哈爾濱市 2008 年初中升學考試）已知：如圖，B、E、F、C四點在同一條直線上，AB DC,BE CF，B C.求證：OA OD.【例 5】 已知，如圖，AB AC,CE AB,BF AC，求證：BF

8、 CE.【例6】F分別是正方CF.求證：AE BF.【鞏固】E、F、G分別是正方形ABCD的BC、CD、AB邊上的點,BG CF BC.GE EF,GE EF.求證:DF全等三角形幾種類型總結7 / 18板塊三、截長補短類【例 1】 如圖，點M為正三角形ABD的邊AB所在直線上的任意一點（點B除外），作DMN 60, 射線MN與/DBA外角的平分線交于點 N ,DM與MN有怎樣的數(shù)量關系？【鞏固】如圖，點M為正方形ABCD的邊AB上任意一點，MN DM且與ZABC外角的平分線交于 點 N ,MD與MN有怎樣的數(shù)量關系？【例 2】 如圖，AD 丄 AB, CB 丄 AB, DM =CM =a,

9、AD=h, CB=k,ZAMD =75ZBMC=45 貝 U AB的長為（）ik h,A.aB.kC.D.h2【例 7】在凸五邊形中,B E,C D,BC DE,M為CD中點求證：AM CD.全等三角形幾種類型總結8 / 18【例 3】 已知：如圖， ABCD 是正方形，/ FAD= / FAE.求證：BE + DF=AE.【例 4】 如圖所示，ABC是邊長為1的正三角形，BDC是頂角為 120的等腰三角形，以D為頂點作一個 60的MDN，點M、N 分別在AB、AC 上，求AMN的周長.【例 5】 五邊形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD，/ ABC+ / AED = 180 求

10、證：AD 平分/ CDE板塊四、與角平分線有關的全等問題【例 1】 如圖，已知ABC的周長是21,OB,OC分別平分OD 3，求ABC的面積.ABC和ACB,OD BC于D，且DFCCC全等三角形幾種類型總結9 / 18在ABC中，D為 BC 邊上的點，已知BAD CAD,BD CD，求證：AB AC.【例2】【例3】已知ABC中，AB AC,BE、CD 分別是ABC及ACB平分線.求證:【例4】已知ABC中，A 60o,BD、CE 分別平分 斷BE、CD、BC 的數(shù)量關系，并加以證明.ABC和ACB,BD、CE 交于點 O，試判【例5】如圖，已知E34.求證：ED EB.CD BE.DB全等

11、三角形幾種類型總結10 / 18【例 6】（“希望杯”競賽試題）長方形 ABCD 中，AB=4, BC=7,/ BAD 的角平分線交 BC 于點 E,EF 丄 ED 交 AB 于 F，貝 U EF=_【例 7】 如圖所示，已知ABC中，AD平分BAC ,E、F分別在BD、AD上.DE CD , EF AC.求 證：EF/AB【鞏固】如圖，在ABC中，AD交 BC 于點D，點E是 BC 中點，EF/AD交 CA 的延長線于點F,交AB于點 G，若BG CF，求證：AD為BAC的角平分線.E DC【鞏固】在ABC中，AB AC,AD是BAC的平分線.P是AD上任意一點.求證：AB AC PB PC

12、.全等三角形幾種類型總結11 / 18BAC的平分線AD交BC與D.求證：AB BD AC.如圖所示，在ABC中，AC AB,M為 BC 的中點，AD是BAC的平分線，若CF且交AD的延長線于F，求證 MF1AC AB .2【鞏固】如圖所示，DE II ABAD是ABC中BAC的外角平分線， 且 DE丄(AB AC).2CD AD于D,E是 BC 的中點，求證ADJBEC【鞏固】如圖所示，在ABC中，AD平分BAC,AD AB,CM【例 8】如圖，在ABC中,【例9】ADAD于M ,求證AB AC 2AM.CC全等三角形幾種類型總結12 / 18【例 10】如圖，ABC中，AB AC,BD、C

13、E 分別為兩底角的外角平分線，AD BD于D,AE CE于E.求證：AD AE.【鞏固】已知：AD和BE分別是ABC的ZCAB和/CBA的外角平分線,1證：DE II AB: DE AB BC CA 2【例 11】在 ABC 中，MB、NC 分別是三角形的外角ABE、 ACF 的角平分線,1AN CN垂足分別是M、N .求證：MNIBC, MN AB AC BC2【鞏固】在 ABC 中，MB、NC 分別是三角形的內(nèi)角垂足分別是M、ABC、ACB 的角平分線,AMBM,AN CNN.求證：MNIBC, MN1-AB2ACBCCD AD,CE BE，求AM BM,全等三角形幾種類型總結13 / 1

14、81并且AE -(AB AD)，貝U ABC ADC等于多少?2版塊一、倍長中線1【例 1已知：ABC中，AM是中線.求證： AM 一（AB AC）. 2【鞏固】（北京市中考模擬題）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分AMBAD，過C作CEAB 于E,【例 12如圖，A1探討線段2探討線段D 180,BE平分ABC, CE 平分AB、CD和BC之間的等量關系.BE與 CE 之間的位置關系.BCD，點E在AD上.全等三角形幾種類型總結14 / 18【鞏固】（2002 年通化市中考題）在ABC中，AB 5, AC 是什么？【例 2】 如圖，ABC中，ABvAC，AD是中線.求證：DAC DAB.BC

15、 于 G,求證 GD=GE.A【例3】如圖,AF已知在ABC中,EF，求證：ACAD是 BC 邊上的中線,BE.【例4】已知 ABC, / B= / C,AE是AD上一點，延長BE交 AC 于F,D, E 分別是 AB 及 AC 延長線上的一點，且BD=CE，連接 DE 交底9，則 BC 邊上的中線AD的長的取值范圍全等三角形幾種類型總結15 / 18【例 5】 已知AM為ABC的中線,AMB,AMC的平分線分別交AB于E、交AC于F.求證:BE CF EF.全等三角形幾種類型總結16 / 18【例 6】 在Rt ABC中，A 90，點D為 BC 的中點，點E、F分別為AB、AC 上的點，且E

16、D FD.以線段BE、EF、FC 為邊能否構成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？求證 AD21AB2AC24【鞏固】如圖所示，在ABC中，D是 BC 的中點,DM垂直于DN，如果 BM2CN2DM2DN2【例 7】（2008年四川省初中數(shù)學聯(lián)賽復賽在邊 CA、CB 上，滿足DFE初二組）在Rt ABC中，F(xiàn)是斜邊AB的中點，D、E分別90若AD 3,BE 4，則線段DE的長度為_ .AM全等三角形幾種類型總結17 / 18版塊二、中位線的應用全等三角形幾種類型總結118 / 18【例 8】AD是ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點，BF的延長線交 AC 于E求證：AE -

17、AC .3【例9】如圖所示，在CD，求證CD【鞏已知 ABC 中,證 CD=2CEABC中，AB AC,延長AB到D，使BD AB,E為AB的中點,2EC.AB=AC, BD 為 AB 的延長線，且 BD=AB, CEABC 的 AB 邊上的中線. 求【例10】已知：ABCD 是凸四邊形，且 AC/ GNM .M ; EF全等三角形幾種類型總結19 / 18【例 12】如圖，在五邊形ABCDE中，ABC AED 90，BAC EAD，F(xiàn)為 CD 的中點.求證:BF EF【例 13】(祖沖之杯”數(shù)學競賽試題，中國國家集訓隊試題)如圖所示，P是ABC內(nèi)的一點，PAC PBC，過P作PM AC于M

18、, PL BC于L,D為AB的中點，求證DM DL【例 14】(全國數(shù)學聯(lián)合競賽試題)如圖所示，在ABC中，D為AB的中點，分別延長 CA、CB 到點E、F，使DE DF過E、F分別作直線 CA、CB 的垂線，相交于點P,設線段PA、PB的中點分別為M、N .求證：(1)DEM 也 FDN;(2)PAE PBF.【例 11】在ABC中，ACB 90, AC求證：AE EB且AE BE1BC ,以 BCBCD，E是 CD 的中點,全等三角形幾種類型總結20 / 18【習題 1】如圖，已知AC BD,AD AC,BC BD，求證：AD BC.【習題 2】點 M , N 在等邊三角形 ABC 的 AB 邊上運動, 證MN=MB+NC.CAMBD=DC,/ BDC=120,/ MDN=60,求全等三角形幾種類型總結21 / 18BAC的平分線交 BC 于D，過B作BE AD,E