化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、僅供個(gè)人參考寄搞日期：2009年3月6日星期五本稿適合高中教師閱讀中的課外園地欄目,聯(lián)系電話：郵箱：For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用唐雯川四JI省成都邛睞市平樂中學(xué)611539【摘要】 根據(jù)數(shù)學(xué)問題求解中重要的化歸思想，文章詳細(xì)闡述了如何在數(shù)學(xué)解題中靈 活運(yùn)用化歸思想。結(jié)果表明，只要能夠進(jìn)行巧妙地化歸，總能快

2、速地求解相關(guān)數(shù)學(xué)問題?！娟P(guān)鍵詞】 化歸數(shù)形結(jié)合變更問題引言在數(shù)學(xué)問題的求解過程中，有一類問題是無法直接進(jìn)行求解的。 一般，總是想方設(shè)法將 所要求解的問題進(jìn)行化歸， 從而將難解的問題通過變換化歸為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換化歸為已解決的問題。這便是化歸思想。所謂化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)通過某種變換使之化歸，進(jìn)而達(dá)到解決問題的一種方法。其特點(diǎn)在于其高度的靈活性和多樣性。它可以在宏觀上進(jìn)行化歸，如在分析和解決實(shí)際問題的過程中，普通語(yǔ)言翻譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言；也可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。還可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所說的恒等變換。消去法、換元法、 數(shù)形結(jié)合等方法

3、就是最常見的幾種化歸方法。在使用化歸思想解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，一般遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，省時(shí)省力，可以快速提高解題的水平和能力。本文著重論述等價(jià)化歸、數(shù)形結(jié)合、變更問題、反證化歸和換元化歸思想在解題中的應(yīng)用。1等價(jià)化歸等價(jià)化歸是把不可解的問題化歸到已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要方法。在解題時(shí)可以通過適當(dāng)?shù)穆?lián)想，把題中的條件或結(jié)論改換成另一種等價(jià)的形式， 從而明確解題方向， 尋求解題途徑。2 c 2 A 3.o例1 4ABC中，已知：a cos +ccos = - b, CA=45 ,求三角形三邊之比。222C o A 3分析：根據(jù)倍角公式和射影定理可

4、知，在 MBC中，“ acos2 + ccos2 = b ”等 222價(jià)于 "a+c=2b"，從而“CA=450”等價(jià)于 “ B = 450 2A, C = 450 + A (0 < A<300)這樣，原題相當(dāng)于：MBC中，三邊成等差數(shù)列，最大角C與最小角A的差為45°,求三角形三邊之比。由此，通過求解三角方程，確定 sin A的大小，原題就容易解出了。解：依題設(shè)有1 cosC 1 cos A 3 a c = - b222由射影定理可知(2)a cosC ccosA = b比較(1)、(2)式，得a c = 2b根據(jù)(3)式，由正弦定理可得sin A

5、sin C = 2sin B又由三角形的性質(zhì)可知，A為最小角，C為最大角，則(5)C = 45° + A B = 45° 2A將(5)式代入(4)式，可得(6)sin A cos A = 2cos2A 即sin A cosA = 2(cos2 A-sin2 A)因?yàn)锳為最小角，所以B=45° 2AaA,即0cA<30°,則sin A+cos A >0。故方程(7)等價(jià)于A . A 1 cosA = sin A 2(8)兩邊平方，整理后2.8sin A 4sin A -3 = 0(9)不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考解方程（9）取正值，得從而sin

6、 A =.7-1(10)0、227 1sinC=sin(45 A)=cosA= . 1 - sin A=4sin B = sin(450 -2A) = cos2A = 1 -2sin2 A = -74因此，AABC三邊之比為a : b: c = sin A:sin B : sin C1.l 11L=(、,7 -1): 、7 一(,.7 1) 444不得用于商業(yè)用途=(、7-1):、,7：37 1)PA與BC的公垂線例 2 圖 1-1 ,三棱錐 P - ABC 中，已知 PA_L BC,PA = BC =l ,1 . 2.ED = h ,求證：三棱錐P - ABC的體積是V = l h6知AP

7、_L面EBC ,把三棱錐分析：若直接求解，底、高不易求出。由于ED是PA與BC的公垂線，而PA_L BC ,P-ABC分成以PE, AE為高，AABC為底的兩個(gè)小三棱圖1-1解：連結(jié)EB,EC僅供個(gè)人參考不得用于商業(yè)用途VP .ABC =VA_EBC ' VP _EBC1 SSI31 e二一 SI1 EBC AE SEBCPE3即原題得證。31=一 X:3EBC (AE PE)1 lh l2l2h6通過適當(dāng)替換題設(shè)條件，明確了解題方向。這就表明，有目的地總結(jié)并熟悉數(shù)學(xué)中的等價(jià) 關(guān)系，對(duì)于豐富解題思想是很有幫助的。2數(shù)形結(jié)合數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩種表現(xiàn)形式，數(shù)是形的深刻描述，而形是數(shù)的直觀表

8、現(xiàn)。兩者之間相互印證，不可分割。因此，在特定的條件下，數(shù)與形可以相互轉(zhuǎn)換，互相滲透?！皵?shù)”的問題可以化歸為“形”的問題進(jìn)行研究，“形”的問題也可以化歸為“數(shù)”的問題進(jìn)行探討。上 a2 b2 t 2 abM 一例3已知a0,bA0, arb。試比較和丫2吧的大小。2 a b分析：考慮將“數(shù)”的問題向“形”的問題轉(zhuǎn)化。由題設(shè)可得如下等價(jià)圖示2-1.解：圖中a、b分別表示BC、AC的長(zhǎng)度。因?yàn)閍 ¥ b ,不妨設(shè)a>b ,以a , b為直角邊，做直角三角形 AABC ,斜邊AB = Ja2 + b2，設(shè)CM、CD分別是 MBC的BC邊上的中線和角平分線，則CM 二衛(wèi) b-由三角形的面

9、積公式有10101a CD sin 45b CD sin 45 = - ab所以顯然a #b時(shí)，CM >CD ,所以圖2-1a2 b2、2ab2 a b例4 求函數(shù)y = Jx2 4x+13Jx2 2x + 5的最大值。.一一 ，一、“，一一27222分析：將函數(shù)寫為y=J(2x) +3 -7(1-x) +2。根據(jù)解析式的特征，設(shè)計(jì)出圖形如2-2,在直線l的同側(cè)取A, B兩點(diǎn)，使 A到直線l的距離AD = 2 , B到直線l的距離BE =3,且DE =1, P是ED延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，令 PD =1x,則PE=2 x,由這個(gè)圖形可得到：AP = J(1-x)2 +22 , BP = J(2

10、x)2+32。因?yàn)?BPAP MAB ,所以當(dāng) P 點(diǎn)移 動(dòng)到與AB再一條直線上的C點(diǎn)處，BP - AP有最大值。解：由圖知，當(dāng) P點(diǎn)位于C點(diǎn)時(shí)，AACD s ABCE得所以即當(dāng)函數(shù)=.x2 -4x 13 -此時(shí)圖2-23變更問題有些數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，常常通過等價(jià)替換題設(shè)的條件或結(jié)論從而得到問題的解 答。因此，解題時(shí)可以通過適當(dāng)?shù)穆?lián)系，把題中的條件或結(jié)論改換成一種與它等價(jià)的形式， 從而方便問題的解決。3.1變更問題的條件遇到條件比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可能會(huì)無法直接求解。但如果適當(dāng)變更題設(shè)條件，就 能將復(fù)雜的問題進(jìn)行簡(jiǎn)化。設(shè)為a正實(shí)數(shù)，求aVaVa-"解：變更問題條件111=a2

11、 a4 a8 1，：)n=a 23.2變更問題的結(jié)論同樣,有時(shí)變更問題的結(jié)論,也會(huì)使問題的解答達(dá)到事半功倍的效果。分析:設(shè)a為實(shí)數(shù)，求證:a2=2-2a2a2 2圭2可變形為:a2 1a2 2 _2 a2 1(11)(11)式又可變?yōu)?2(a 1)1 _2 (a 1)1(12)又因?yàn)閙 . 0、m + n > 2，mn。令 m = a2+ 1, n =1 ,則可得(12)式。即解：令m1,+ 2>2x/a7+1 ,a2 2 2a2 1n =1 ,由不等式定理可知:(a2 +1)+1 之 2j(a2+1) 1 ,所以a22寸口a2 >2,所以原式得證。a2 1C是AABC的三個(gè)

12、內(nèi)角，求證:2 A 2 B 2 C tg + tg + tg -的最小值為222 ABBCCA分析：由正切半角的恒等式可知： tgtg -+tgtg -+tgtg -=1 .則 222222原題結(jié)論可轉(zhuǎn)化為求證：tg2 A+tg2 旦+tg2 C至tg "Atg旦+ tg "tg C +tg Ctg A .222222222這樣，利用轉(zhuǎn)換結(jié)論的思想，原題就不難得證。證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù) a, b有a2十b2至2ab(13)2 A 2 B Atg 2 tg 2 一2tg 2tg僅供個(gè)人參考2 B 2 c B Ctg tg 2tg tg2222,2CiA C, A(14)(15)

13、三式相加，即得tg 2 T tg2 B 2 C A . _ B B C . _ C . _ A , tg tg tg tg tg tg tg = 122222222ABC等號(hào)僅當(dāng)tg= tg=tg,即A = B =C = 600時(shí)成立。因此，當(dāng)A=B=C=600時(shí):222,2 A , 2 B , 2 c 一tg一+tg+tg-的最小值為1。2224反證化歸有的數(shù)學(xué)問題所要求的結(jié)論，在一般情況下不容易推出。但在特殊情況下卻非常易于處理。因而處理問題時(shí)，若能注意到問題的特殊性，將待解決的問題為特例，進(jìn)而尋求問題的解答。例8證明sin JX不是周期函數(shù)。分析：設(shè)sin JX是周期函數(shù)。考察它的一個(gè)特

14、殊值一一零點(diǎn)，則零點(diǎn)也應(yīng)該周期的出現(xiàn),然后推出矛盾。證明：f(x) =sin JX的零點(diǎn)是x = k2n2(kw Z),然后隨著| k|的增大，k2則更快的增大，f (x)的零點(diǎn)分布越來越疏，這就導(dǎo)致了矛盾，f (x) =sin JX的零點(diǎn)不是周期出現(xiàn)的，所以原命題成立。例 9 設(shè)方程 x2 +y2 +2(2 - cos2 6)x -2(1 +sin28)y 4cos2 8 +2sin28 +5=0,求證：不論e取何實(shí)數(shù)值，方程的曲線總經(jīng)過兩點(diǎn)p,p2,并求P1,P2兩點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：這是圓系方程，若 0取特殊值，則方程對(duì)應(yīng)兩個(gè)具體的方程，這兩個(gè)具體的方程必經(jīng)過p1，b兩點(diǎn)。再把此兩點(diǎn)代回原方

15、程，知兩點(diǎn)都在曲線上，且與日的取值無關(guān)。故上述兩點(diǎn)即為所求的定點(diǎn) P1,P2O解：不妨令0 =0,0得2x2 y2 2x-2y 1=0(16)(17)tg tg 7 2tg 二tg 二222222_x y 4x -4y 7 = 0不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考僅供個(gè)人參考由(16) , (17)得 x = 1 ) y = 2 或 x = 2 , y = 15換元化歸通過一個(gè)或幾個(gè)新變量代替原來的變量，從而使問題化歸為僅含有這些新變量。用這種方法解題的目的是變換研究對(duì)象，實(shí)質(zhì)是將待求解的問題轉(zhuǎn)換到新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的。例10求函數(shù)y =3sin的單調(diào)遞減區(qū)間。分析

16、：如果直接求的話比較復(fù)雜，但我們可以把 土）看成一個(gè)整體u,這樣求解起來3 2就比較簡(jiǎn)單了。x3二一斛：設(shè) u =一 -,則 y =3sinu ,當(dāng) 2kn + <u W2kn +時(shí)，y =3sin u 隨 u 的 3 222增大而減小。一. 二 x .又因?yàn)樵趗=一 一中，u隨x的增大而減小。3 2（二 x ,二3二中，當(dāng) 2kn + <u M2kn +一 時(shí)，3 2227 二即當(dāng)一 4kn WxWYkn -一時(shí)，y隨x的增大而增大。33所以y = 3sln J的單調(diào)遞減區(qū)間為4依， 4k元,k三z。3 233例 11 解不等式 J3logaX-2<2logaX-1. （a

17、>0,a=1）分析：從不等式的框架看，它是較為典型的無理不等式，去掉根號(hào)是解題過程中重要的一環(huán)，這時(shí)可把<3logax-2 ,看成一個(gè)整體來去掉根號(hào)。解：令 y = J3loga x -2 , y 20所以原不等式變形為2y2 -3y 1 0解得一. 10£y（一或 y>12即是1 一0 E3loga x 2 < 2 或3loga x -2>1所以當(dāng)a1時(shí)，原不等式的集為2 5x|a3 <x <a6w£x>a當(dāng)0 <a <1時(shí)，原不等式的集為52x|a6 <xMa3或0<x<a這五種分類是化歸思想

18、中比較典型的類型，解答數(shù)學(xué)題時(shí)常常會(huì)遇到。有時(shí)也會(huì)遇到其它比較復(fù)雜的問題而無從下手，但只要進(jìn)行巧妙的化歸， 總能將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換為熟悉的問題，從而更簡(jiǎn)單、直觀，這樣再解答問題就簡(jiǎn)單多了。結(jié)論本文通過闡述高中數(shù)學(xué)中常見的五種化歸思想，并輔以經(jīng)典的例子， 說明了化歸思想如何在數(shù)學(xué)解題中靈活應(yīng)用。熟悉數(shù)學(xué)化歸思想，有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)變換的方法去靈活解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，有利于強(qiáng)化在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高解決數(shù)學(xué)問題的思維能力。參考文獻(xiàn)1 中學(xué)教學(xué)方法指導(dǎo)下冊(cè)2 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)手冊(cè)3 競(jìng)賽數(shù)學(xué)解題研究4 新課程的理念與創(chuàng)新不得用于商業(yè)用途唐雯川：四川省成都邛味市平樂中學(xué)數(shù)學(xué)教師， 因幽默風(fēng)趣的教學(xué)風(fēng)格而廣 受學(xué)生的歡迎，所教的班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)尤其突出。經(jīng)一位資深老師介紹，我征訂了數(shù)