離心率的五種求法

1、離心率的五種求法離心率是圓錐曲線中的一個重要的幾何性質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn)橢圓的離心率0 e 1，雙曲線的離心率 e 1，拋物線的離心率 e 1.一、直接求出a, c，求解e已知標(biāo)準(zhǔn)方程或a c易求時，可利用離心率公式q c來求解。e -a例1.過雙曲線C: x22 y b71（b 0）的左頂點A作斜率為1的直線|，若|與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點B、C,且 |AB|=|BC|，則雙曲線M的離心率是（C.A. J0分析：這里的a1,c、b21，故關(guān)鍵是求出2b，即可利用定義求解。解：易知A （-1 ,0）,則直線l的方程為1。直線與兩條漸近線 ybx 和 y bx的交點分別為B（制、

2、76;（占1），又 |AB|=|BC|，可解得 b29，則c J0故有ex10，從而選Ao、變用公式（雙曲線），caca1-b2（橢圓），整體求出例2.已知雙曲線2x2ab21(a0,b40）的一條漸近線方程為y -x，貝U雙曲3線的離心率為B.-分析：本題已知-a3 ，不能直接求出a、c,可用整體代入套用公式。3解：因為雙曲線的一條漸近線方程為 y 4x，所以34，則31 (4)221.設(shè)雙曲線篤a5，從而選A。3心率等于(C)A. J3B.2解：由題雙曲線程整理得ax2.422.過雙曲線與a2 y b2C.1 (a> 0,b > 0)的漸近線與拋物線,5 D. .6x2相切，則

3、該雙曲線的離2ya>0, b>0的一條漸近線方程為y 直，代入拋物線方abx a因漸近線與拋物線相切，所以b24a21(a 0,b 0)的右頂點A作斜率為 1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為b,c 若abt1BC，則雙曲線的離心率是2A.2 B3 c . ,5.、10答案：C【解析】對于Aa,0，則直線方程為0 ,直線與兩漸近線的交點為B,C,2a1 baab,C(咒),uurBC(a22a2b聲),ABbb2，a2aba baba b '因此uur 2ABuunBC,4a24，23.過橢圓篤ab2b 0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點F2為右焦點,F1P

4、F260o,則橢圓的離心率為()_22b2【解析】因為P（ c,），再由F1PF2a60。有夠2a,即匕 2從而可得a23厶3，故選B3三、構(gòu)造a、c的齊次式，解出e根據(jù)題設(shè)條件，借助 a、b、c之間的關(guān)系，構(gòu)造 得到關(guān)于e的一元方程，從而解得離心率e。2xa例3.已知橢圓2占1（a b 0）的左焦點為c的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而右頂點為A，點B在橢圓上，且BF x 軸,直線AB交y軸于點P .uurAPuur2PB，則橢圓的離心率是（）2uur【解析】對于橢圓，因為 APuur2PB,則OA2OF, a 2c, e21.設(shè)F1和F2為雙曲線篤a,則雙曲線的離心率為三角形的三個頂點【解析】

5、由tan 6c2b0,b0）的兩個焦點,若F2 , P(0,2b)是正于有3c24b24( c2a2),則 ec-2 ,故選B.a2.雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為Fi、F 2 ,f1mf21200則雙曲線的離心率為（）23解：如圖所示,不妨設(shè)0,b , F1c,0 ,F2 c,0 ,MFIMF2c2b2，又 F1F22c,1,7¥ .在 F1MF2 中,由余弦定理，得cosf1mf2|mf；2MF；22F1F222MF1MF2122222c b c b 4c2 2 ，2 c b.22bc722bc2 222. a-b c a ，一22c1 , 3a22c2 , e2-,2 2

6、 e今，故選3.設(shè) ABC是等腰三角形,ABC 120°，則以A, B為焦點且過點C的雙曲線的離心率為（B ）B.D. 134.設(shè)雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）A. 2 B. 3 C. 3 1 D.2解析：選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點在 x軸上,設(shè)其方程為:2? 1(a 0，b 0)，則一個焦點為 F（c,0）, B（0,b）一條漸近線斜率為：b ,a直線FB的斜率為:b)c1, b2 acc2 a2 ac 0，解得 e5.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為Fi、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點 P,若F1PF2為等

7、腰直角三角形,則橢圓的離心率是（V2 1B.2C. 2、2D. 2 1解：由PF2b22c2 2a c 2aca化為齊次式2 26.雙曲線X2占 1 （aa b線交雙曲線右支于 M點,2e 10 e0,b0）的左、若mf2垂直于右焦點分別是F1, F2，過F1作傾斜角為30°的直X軸，則雙曲線的離心率為（B ）22x v7.設(shè)F1, F2分別是雙曲線 2的左、右焦點，若雙曲線上存在點a bA,F1AF2 90°且AF1 3 AF2 ，則雙曲線的離心率為（BA.2D. 53AF| - AF2 = 2AF2 = 2a解?(AFJ2+(AF2)2= (2c)2? a爲(wèi)?228 如

8、圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線篤每a b1 （ a 0,b0）的兩個焦點，A和D 3則雙曲線的離心率為（）6.解析：連接 AFi,ZAF2Fi=30°|AF1|=c，|AF2|= . 3 c，.°. 2a1)c ,B是以O(shè)為圓心，以O(shè)Fi為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且F2AB是等邊三角形,雙曲線的離心率為13，選Do0）的左、右焦點，P是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為3c （ c為半焦距）的點,F1F2F2P，則橢圓的離心率是A .31A2210.設(shè)雙曲線與aB 122占1( 0 b2C2D2b）的半焦距為c，直線L過a,0 ，0,b兩點.已知原點到直線的距離為丄3。,4則雙曲線的

9、離心率為（）A. 2CV2解：由已知，直線L的方程為bx ay ab 0 ,由點到直線的距離公式，得aba2 b23e4216e160，2 2.2 .2得e24或e24一，又 0 a b，2 ca b. be22122，a e24，3aaa又 c2 a2 b2, a 4ab . 3c2,兩邊平方，得 16a2 c2 a23c4，整理得a e 2，故選A2令1形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（c. Q d. V3 1211.知F1、F2是雙曲線A. 4 2.3 B. 31解：如圖，設(shè)MR的中點為Q OF,P 600,PF1 c,Xp把P點坐標(biāo)代人雙曲線方程，有(a 0

10、,b的兩焦點,以線段F1F2為邊作正三角c2,yp2c4 a2乎,即P（卻化簡得e4 8e2 4 0解得e 1 .3或e 1-.（舍），故選D四、第二定義法由圓錐曲線的統(tǒng)一定義（或稱第二定義）知離心率 e是動點到焦點的距離與相應(yīng)準(zhǔn)線的距離比，特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問題2 2例4:設(shè)橢圓務(wù) 占1 （ a 0,b 0）的右焦點為F1，右準(zhǔn)線a b為11，若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點F1到h的距離，則橢L圓的離心率是1解：如圖所示，AB是過Fi且垂直于x軸的弦,-ABAFiAD |.2，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 i，則該T AD li于D，二AD為Fi到準(zhǔn)線li的距離，根據(jù)橢圓的第二

11、定義,橢圓的離心率為()A運B運i C -D壬224解：eaf2|柩2ADi2-ADi.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為2. 在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為'2，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為丄，則該雙曲線的離心率為（）2A B2C .2D2- 22五、構(gòu)建關(guān)于e的不等式，求e的取值范圍2 2i .已知雙曲線 務(wù) £ i （ a 0,b 0）的右焦點為F，若過點F且傾斜角為 a b600的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（）A i,2 B i,2C 2,D 2,2 22.橢圓務(wù) 葺i （ a b 0 ）的焦點為Fi、F?，兩條準(zhǔn)線與x

12、軸的交點分 a b別為M、N，若MN2FiF2，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A.ofB.C.D.2 21雙曲線篤 爲(wèi)1(a 0,b 0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線 a b與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線2 2 2的斜率-，二-A 3，離心率e2=C2 紅上 > 4，二e2,選Ca aa a2 22橢圓X2爲(wèi)1(a b 0)的焦點為Fl，F(xiàn)2，兩條準(zhǔn)線與x軸的交點分別為a b22M，N，若| MN | 2,廳人| 2c， MN <F1F2，則2c，該橢圓離心cc-率e丄，選D2umu uuuir3. 已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足 MF1 MF2 0的點M總在橢圓內(nèi)部，則 橢圓離心率