八年級數(shù)學(xué)上冊三角形的內(nèi)外角關(guān)系專題突破講練試題(青島版含答案)【DOC范文整理】

1、八年級數(shù)學(xué)上冊三角形的內(nèi)外角關(guān)系專題突破講練試題（青島版含答案）三角形的內(nèi)外角關(guān)系一、三角形的內(nèi)角和定理定理：三角形的內(nèi)角和是180要點(diǎn)：定理的證明根據(jù)是平行線的性質(zhì)。定理的證明方法有多種，選取以下兩種方法加以掌 握。證明方法把三個(gè)角“湊”到A處，過點(diǎn)A作直線PQ/BC，這樣就 相當(dāng)于把/B移到了/1的位置，把/c移到了/2的位置。 延長Bc到D,過點(diǎn)c作射線CE/BA，這樣就相當(dāng)于把/A移到了/1的位置，把移到了/2的位置。推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。/A+ZB+Zc=180。又/c=90AZA+ZB=90./A與ZB互余。等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都是60。ZD+ZE+ZF=180。，又Z

2、D=ZE=ZF,A3ZD=180,AZD=ZE=ZF=60定理的應(yīng)用：在三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角可以求出第三個(gè)內(nèi)角。女口：在厶ABc中，/c=180 -在三角形中，已知三個(gè)內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角。女口：在厶ABc中，已知/A:ZB:Zc=2:3:4,則可設(shè)/A、/B、/c為2x、3x、4x，利用方程求得度數(shù)。二、三角形的外角外角的定義：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。如/AcD與/BcE均為外角。三角形外角的性質(zhì)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。提示：三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對頂角，所以三角形

3、共有六個(gè)外角。通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因 此，我們常說三角形有三個(gè)外角。因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與 它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180，可推出三角形的外角和是360。三、三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，如圖：/1與/4是鄰補(bǔ)角，即/1+ /4=180o；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，女口圖：/1= /2+/3;三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角，如圖：/1Z2,Z1Z3?！就卣埂績煞N圖形的認(rèn)識對頂三角形：有一個(gè)角是對頂角的兩個(gè) 三角形。特點(diǎn)是：每個(gè)三角形中除對頂角外，另兩個(gè)角的和 與另一個(gè)三角形中其余兩個(gè)角的和相等。如圖：/A+Z

4、B=/D+ZE圖形的折疊：將圖形沿某條線折疊，使其一部分與圖形 中某部分重合，可以形成邊、角等多個(gè)相等關(guān)系。如圖：Z1= Z2= Z3方法歸納：三角形的內(nèi)、外角關(guān)系的知識點(diǎn)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：實(shí)際應(yīng)用中，題目中往往把ZA+ZB+Zc=180這個(gè) 條件隱藏，要時(shí)時(shí)注意想到這個(gè)條件。外角關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是“不相鄰”三個(gè)字，不要被題目偷換 概念。應(yīng)用三角形的內(nèi)、外角關(guān)系解題時(shí)，經(jīng)常要使用到高、角平分線，注意二者定義中，高有垂直的結(jié)論，即有角是90,角平分線的作用是將一個(gè)角平分成兩個(gè)相等的角，有角的數(shù)值存在。三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證時(shí)常使用的理論依據(jù)，另外，在證明角的不

5、等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)。技巧歸納：解決本部分習(xí)題時(shí)要注意幾種數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用：方程的思想根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角的度數(shù)時(shí)可列方程求解。如：/A：ZB:Zc=1:2:3,求三角形的形狀。整體運(yùn)用的思想將待解決的問題看作一個(gè)整體，通過研 究問題做整體處理后，達(dá)到解決問題的目的。女口： /A=40, 求/3+Z4+ZB+Zc的度數(shù)。轉(zhuǎn)化的思想求較復(fù)雜的圖形中多個(gè)角的度數(shù)和的問題。解題的關(guān)鍵是利用有關(guān)性質(zhì)把這些角集中到一個(gè)三角形中， 再利用三角形內(nèi)角和的性質(zhì)解決。如：求五角星的內(nèi)角和問 題?？偨Y(jié)：1.學(xué)會綜合運(yùn)用內(nèi)、外角關(guān)系解決圖形的角度計(jì)算問題。將各種解題思想及方法掌握好，有利于今后幾何的學(xué) 習(xí)。

6、例題1如圖，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直線a上，a/b,Z1=50,Z2=60。，則Z3的度數(shù)為A.50B.60c.70D.80解析：先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出Z4的度數(shù)，由對頂角的性質(zhì)可得出Z5的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得 出結(jié)論。答案：在BcD中，Z1=50,Z2=60,./4=180 -Z1-Z2=180 -50 -60 =70,.Z5=Z4=70 ,a/b,Z3=Z5=70 。故選c。點(diǎn)撥：本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定 理。解答此類題目時(shí)往往用到三角形的內(nèi)角和是180。這一隱藏條件。例題2如圖，在ABc中，ZAcB=90,沿cD折疊cBD,使點(diǎn)B恰好落在Ac邊上的點(diǎn)E處。

7、若ZA=22，則ZBDc等于A.44B.60C.67D.77解析：由厶ABc中，ZAcB=90,ZA=22，可求得ZB的度數(shù)。由折疊的性質(zhì)可得：ZcED=ZB=68,ZBDc=ZEDo由三角形外角的性質(zhì)，可求得ZADE的度數(shù)，繼而求得答案。答案：在厶ABc中，ZAcB=90,ZA=22,ZB=90-ZA=68 ,由折疊的性質(zhì)可得：ZcED=ZB=68,ZBDc=ZEDc,ZADE=ZcED-ZA=46,ZBDc=67o故選c。點(diǎn)撥：此題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以 及三角形外角的性質(zhì)。此題注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān) 系，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。幾何圖形變換的研究幾何圖形的變換，核心

8、內(nèi)容是首圖形的證明基本思路， 變換后的圖形與首圖形的總體證明方法相同。但要注意的是 這種題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：通過變換掌握舉一反三的能 力，將知識學(xué)活、用活。通過變換，提高面對試題的研讀能 力，從而做到一會百會。充分分析首圖形的條件，在此基礎(chǔ)上將其應(yīng)用到后面的圖形中；在變換時(shí)，認(rèn)清本質(zhì)，對變換后的結(jié)果依照首圖形結(jié)論 加以書寫，注意與個(gè)結(jié)論保持格式上的一致，避免評卷老師 的誤判。注意變換后，結(jié)論的變與不變：基本規(guī)律是線段與角相 等的一般來說結(jié)論都會不變，但和、差類的變換最后其結(jié)論 都會發(fā)生變化。例題如圖所示，在ABc中，/A=a, ABc的內(nèi)角平 分線和外角平分線交于點(diǎn)P,且/P=B，試探求下列

9、各圖中a與B的關(guān)系，并選擇一個(gè)加以說明。解析：本題沒有給出具體角度，所以最后形成的將是一個(gè)關(guān)系式。主要考查角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)，分析可知圖90+a；、變換后圖形道理類似，但過程略有不同，可參考應(yīng)用的定理加以說明。答案：解：B =90+ a；B = a；B =90 a o選擇進(jìn)行證明。在圖中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得：/ABc+ZAcB=180/A。 BP與cP是厶ABc的角平分線，ZPBc=ZABc,ZPcB=ZAcB,ZPBc+ZPcB=90 ao在厶PBc中，ZBPc=180 =180 =90+a o - P =90+ a o化歸思想及對頂三角形的應(yīng)用化歸思想

10、是指將不同圖形中的條件轉(zhuǎn)化到同一圖形中，三角形內(nèi)角和的轉(zhuǎn)化是利用有關(guān)性質(zhì)把不同圖形中的角集中到一個(gè)三角形中，再利用三角形的內(nèi)角和定理、外角性質(zhì) 進(jìn)行解決。對頂三角形的其他應(yīng)用包含整體應(yīng)用的思想，將 不同三角形的內(nèi)角和整體轉(zhuǎn)化到一個(gè)圖形中，從而解決復(fù)雜 圖形中的求值問題。例題如圖所示，線段AD Bc相交于點(diǎn)0,所組成的厶ABo與厶cDo叫做“對頂三角形”。已知ZA=70,ZB=25，求/c+ZD的度數(shù)如圖所示，求/A+ZB+Zc+ZD+ZE的度數(shù)。如圖所示，求/A+ZB+Zc+ZD+ZE+ZF的度 數(shù)。解析：先根據(jù)對頂三角形的性質(zhì)求得圖中ZA+ZB=Zc+ZD=70+25 =95 ,圖中考慮連接

11、Be,則可將 問題轉(zhuǎn)化為對頂三角形的問題，總和為180;圖中圖形將三個(gè)三角形中的ZA+ZB、Zc+ZD、ZE+ZF轉(zhuǎn)化到GIH中，利用對頂三角形的性質(zhì)得到2=360答案：解：在ABo與厶cDo中因?yàn)閆A+ZB+ZAoBZc+ZD+ZcoD=180ZAoB=ZcoD所以ZA+ZB=Zc+ZD因?yàn)閆A=70,ZB=25所以Zc+ZD=70+25=95連接Bc因?yàn)镋oD與厶Boc為對頂三角形，所以ZD+ZE=ZoBc+ZocB所以ZA+ZB+Zc+ZD+ZE=180因?yàn)锳BG與GIH、AEFI與厶GIH、AcHD與厶GIH都是對頂三角形，ZA+ZB=ZGIH+ZGHI/c +/ D=ZGIH+/HG

12、I/E+ZF=ZGHI+ZHGI所以/A+ZB+Zc+ZD+ZE+ZF=2=360一、選擇題在給定的下列條件中，不能判定三角形是直角三角形的 是A.ZA: ZB: Zc=1:2:3B.ZA+ZB=Zcc.ZA=ZB=ZcD.ZA=2ZB=3Zc已知ABc的三個(gè)內(nèi)角ZA、ZB、Zc滿足關(guān)系式ZB+Zc=3ZA,則此三角形中A.一定有一個(gè)內(nèi)角為45B.一定有一個(gè)內(nèi)角為60c.一定是直角三角形D.一定是鈍角三角形*3.如圖，在ABc中，Zc=70o,沿圖中虛線截去Zc, 則Z1+ Z2=A.360oB.250oc.180 oD.140o*4.已知ABc中，ZABc和ZAcB的平分線交于點(diǎn)o, 則ZB

13、oc一定A.小于直角B.等于直角c.大于直角D.不能確定*5.如圖ABc中，ZBAD=ZcBE=ZAcF,ZABc=50,ZAcB=62,則ZDFE的大小是A.50B.62c.68D.70*6.如圖，在折紙活動中，小明制作了一張厶ABc紙片， 點(diǎn)D E分別在邊AB Ac上，將ABc沿著DE折疊壓平，A與A重合，若/A=75，則/1+Z2=A. 150B. 210C. 105D. 75二、填空題*7.如圖，已知ABc的/B和/c的外角平分線交于點(diǎn)D,ZA=40,那么/D=_。*8.如圖，在ABc中，/B=Zc,FD丄Bc,DEI AB/AFD=158,則/EDF=_。*9.如圖，/AcD是厶AB

14、c的外角，/ABc的平分線與/AcD的平分線交于點(diǎn)A1,ZA1Bc的平分線與/A1cD的平分 線交于點(diǎn)A2,，/An- 1Bc的平分線與/An- 1cD的平分 線交于點(diǎn)An。設(shè)/A=B。貝V:/A1=;ZAn=。三、解答題0.判斷適合下列條件的ABc是銳角三角形、直角三角 形還是鈍角三角形？ZA=20,ZB=75;/A-ZB=30,/B-Zc=30;/A=ZB=Zc*11.一個(gè)零件的形狀如圖，按規(guī)定ZA應(yīng)等于90,ZB、ZD應(yīng)分別是20和30,李叔叔量得ZBcD=142就 判定這個(gè)零件不合格，你能說出道理嗎？*12.如圖，已知在厶ABc中，ZB=70,ZBAc：ZBcA=3:2,cD丄AD于D

15、,且ZAcD=35,求ZBAE的度數(shù)。*13.如圖，點(diǎn)c為RtABE的邊AE延長線上的一點(diǎn)，BE丄Ac,點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，Dc交BE于點(diǎn)F,已知ZADc=80,ZB=35,求Zc的度數(shù)。*14.如圖所示，已知Z1=Z2,Z3=Z4,Zc=32,ZD=28,求ZP的度數(shù)。請推斷ZP與Zc、ZD的關(guān)系。*15.已知ABc中，ZBAc=100。若ZABc和ZAcB的平分線交于點(diǎn)o,如圖所示，試求ZBoc的大小；若ZABc和ZAcB的三等分線相交于o、o1,如圖所示， 試求ZBoc的大?。灰源祟愅?，若ZABc和ZAcB的n等分線自下而上依次 相交于o、。1、。2、，如圖所示，試探求ZBoc的大小與n

16、的關(guān)系，并判斷當(dāng)ZBoc=170時(shí)，是幾等分線的交線所成的角c解析：利用比例設(shè)方程，A、B、D中都有直角，c選項(xiàng)中三角相等則每一角為60，則選c。A解析：題目中隱含的條件為/A+ZB+Zc=180,將/B+Zc=3ZA代入，則可知ZA=45。B解析：利用整體運(yùn)用的思想，Zc=70，則Z1、Z2外角的和為110,Z1+Z2=360 -110 =250。c解析：ZABc+ZAcB+ZBAc=180,ZABc+ZAcB=180-ZBAc,ZABc和ZAcB的平分線交于點(diǎn)o,則ZBoc=180 -=90+ZBAc,所以選coc解析：因?yàn)閆DFE=ZAcF+ZcAF,ZBAD=ZcBE=ZAcF,所以Z

17、DFE=ZBAc,因?yàn)閆ABc=50,ZAcB=62,則ZBAc=180 -50 -62 =68。A解析：連接AA,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，Z1+Z2=2ZA,所以Z1+Z2=150o70 解析：因?yàn)閆A+ZABc+ZAcB=180,ZA=40,所以ZABc+ZAcB= 140，所以ZABc與ZAcB的外 角和=360 -140=220,因?yàn)閏D、BD是角平分線， 所 以ZBcD+ZcBD=110，所以ZD=70。68 解析：因?yàn)閆AFD=158,所以ZcFD=22,因 為FD丄Bc,所以Zc=68，又因?yàn)閆B=Zc,所以ZB=68,因?yàn)镈EXAB,所以ZBDE= 22,所以ZEDF=180-9

18、0 -22 =68。解析：A1B是/ABc的平分線，A2B是/A1Bc的平分 線，/A1Bc=ZABc,/A1cD=ZAcD,又AcD=ZA+ /ABc, /A1cD=/A1Bc+/A1,/A+/ABc=2,/A1=/A,T/A=B ,/A1同理可得/A2=/A1=,所以/An=o0.解：因?yàn)?c=180-/A- /B,/A=20,/B=75 ;所以/c=180-/A- /B=180 -20 -75 =85,所以三角形為銳角三角形。因?yàn)?A- /B=30, /B-/c=30,所以/A=30 + /B,/c= /B-30,因?yàn)?A+/B+/c=180,所 以30 +/B+/B+/B-30 =180，所以/B=60, /A=90,/c=30，所以此三角形為直角三角形。因?yàn)?A=/B=/c,所以設(shè)/A=x，/B=2x, /c=6x，因?yàn)?A+/B+/c=180，所以x+2x+6x=180, 所以x=20，所以6x=120，所以該三角形為鈍角三角 形。1.解：這個(gè)零件不合格。道理如下：延長Dc交AB與點(diǎn)E,因?yàn)?DEBADE的外角，所以 /DE吐/A+/D因?yàn)?DcB B