2021年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題含詳解

1、試卷主標(biāo)題姓名：_ 班級(jí)：_考號(hào)：_一、選擇題（共10題）1、 （ ） A B 2021 C D 2、 “ 奮斗者 ” 號(hào)載人潛水器此前在馬里亞納海溝創(chuàng)造了 10909 米的我國(guó)載人深潛紀(jì)錄，數(shù)據(jù) 10909 用科學(xué)記數(shù)法可表示為（    ） A B C D 3、 因式分解： （ ） A B C D 4、 如圖，設(shè)點(diǎn) 是直線 外一點(diǎn)， ，垂足為點(diǎn) ，點(diǎn) 是直線 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 ，則（ ） A B C D 5、 下列計(jì)算正確的是（ ） A B C D 6、 某景點(diǎn)今年四月接待游客 25 萬(wàn)人次，五月接待游客 60.5 萬(wàn)人次，設(shè)該景點(diǎn)今年四月到五月接待游客人次的

2、增長(zhǎng)率為 （ ），則（ ） A B C D 7、 某軌道列車(chē)共有 3 節(jié)車(chē)廂，設(shè)乘客從任意一節(jié)車(chē)廂上車(chē)的機(jī)會(huì)均等，某天甲、乙兩位乘客同時(shí)乘同一列軌道列車(chē)，則甲和乙從同一節(jié)車(chē)廂上車(chē)的概率是（    ） A B C D 8、 在 “ 探索函數(shù) 的系數(shù) ， ， 與圖象的關(guān)系 ” 活動(dòng)中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)： ， ， ， ，同學(xué)們探索了經(jīng)過(guò)這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中 的值最大為（ ） A B C D 9、 已知線段 ，按如下步驟作圖： 作射線 ，使 ； 作 的平分線 ； 以點(diǎn) 為圓心， 長(zhǎng)為半徑作弧，交 于點(diǎn)

3、 ； 過(guò)點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，則 （ ） A B C D 10、 已知 和 均是以 為自變量的函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)值分別為 和 ，若存在實(shí)數(shù) ，使得 ，則稱(chēng)函數(shù) 和 具有性質(zhì) 以下函數(shù) 和 具有性質(zhì) 的是（ ） A 和 B 和 C 和 D 和 二、解答題（共7題）1、 以下是圓圓解不等式組 的解答過(guò)程 解：由 ，得 ， 所以 由 ，得 ， 所以 ， 所以 所以原不等式組的解是 圓圓的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫(xiě)出正確的解答過(guò)程 2、 為了解某校某年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩情況，對(duì)該年級(jí)全部 360 名學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)的測(cè)試，并把測(cè)得數(shù)據(jù)分成四組，繪制成如圖所示的頻數(shù)表和未完成的頻數(shù)直方圖（每一組不

4、含前一個(gè)邊界值，含后一個(gè)邊界值） 某校某年級(jí) 360 名學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)表 組別（次） 頻數(shù) 100130 48 130160 96 160190 a 190220 72 （ 1 ）求 的值 （ 2 ）把頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整 （ 3 ）求該年級(jí)一分鐘跳繩次數(shù)在 190 次以上的學(xué)生數(shù)占該年級(jí)全部學(xué)生數(shù)的百分比 3、 在 ， ， 這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并完成問(wèn)題的解答 問(wèn)題：如圖，在 中， ，點(diǎn) 在 邊上（不與點(diǎn) ，點(diǎn) 重合），點(diǎn) 在 邊上（不與點(diǎn) ，點(diǎn) 重合），連接 ， ， 與 相交于點(diǎn) 若 _ ，求證： 注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分 4、 在直

5、角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù) （ 是常數(shù)， ， ）與函數(shù) （ 是常數(shù)， ）的圖象交于點(diǎn) A ，點(diǎn) A 關(guān)于 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn) （ 1 ）若點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 求 ， 的值 當(dāng) 時(shí)，直接寫(xiě)出 的取值范圍 （ 2 ）若點(diǎn) 在函數(shù) （ 是常數(shù)， ）的圖象上，求 的值 5、 如圖，在 中， 的平分線 交 邊于點(diǎn) ， 于點(diǎn) 已知 ， （ 1 ）求證： （ 2 ）若 ，求 的面積 6、 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù) （ ， 是常數(shù)， ） （ 1 ）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò) 和 兩點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫(xiě)出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo) （ 2 ）寫(xiě)出一組 ， 的值，使函數(shù) 的圖象與 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，并說(shuō)明理由 （ 3 ）已知 ，當(dāng) （ ，

6、 是實(shí)數(shù)， ）時(shí)，該函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為 ， 若 ，求證 7、 如圖，銳角三角形 內(nèi)接于 ， 的平分線 交 于點(diǎn) ，交 邊于點(diǎn) ，連接 (1) 求證： (2) 已知 ， ，求線段 的長(zhǎng)（用含 ， 的代數(shù)式表示） (3) 已知點(diǎn) 在線段 上（不與點(diǎn) ，點(diǎn) 重合），點(diǎn) 在線段 上（不與點(diǎn) ，點(diǎn) 重合）， ，求證： 三、填空題（共6題）1、 sin30° 的值為 _ 2、 計(jì)算： 2a+3a _ 3、 如圖，已知 的半徑為 1 ，點(diǎn) 是 外一點(diǎn)，且 若 是 的切線， 為切點(diǎn)，連接 ，則 _ 4、 現(xiàn)有甲、乙兩種糖果的單價(jià)與千克數(shù)如下表所示 甲種糖果 乙種糖果 單元（元 / 千克） 30

7、20 千克數(shù) 2 3 將這 2 千克甲種糖果和 3 千克乙種糖果混合成 5 千克什錦糖果，若商家用加權(quán)平均數(shù)來(lái)確定什錦糖果的單價(jià)，則這 5 千克什錦糖果的單價(jià)為 _ 元 / 千克 5、 如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn) 為端點(diǎn)的四條射線 ， ， ， 分別過(guò)點(diǎn) ，點(diǎn) ，點(diǎn) ，點(diǎn) ，則 _ （填 “ ”“ ”“ ” 中的一個(gè)） 6、 如圖是一張矩形紙片 ，點(diǎn) 是對(duì)角線 的中點(diǎn)，點(diǎn) 在 邊上，把 沿直線 折疊，使點(diǎn) 落在對(duì)角線 上的點(diǎn) 處，連接 ， 若 ，則 _ 度 =參考答案=一、選擇題1、 B 【分析】 由去括號(hào)法則，即可得到答案 【詳解】 解： 故選： B 【點(diǎn)睛】 本題考查了去括號(hào)法則，解題的關(guān)鍵

8、是掌握去括號(hào)法則進(jìn)行計(jì)算 2、 B 【分析】 用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于 1 的數(shù)，形如 為正整數(shù)，據(jù)此解題 【詳解】 解： 10909 用科學(xué)記數(shù)法可表示為 ， 故選： B 【點(diǎn)睛】 本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于 1 的數(shù)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵 3、 A 【分析】 利用平方差公式因式分解即可 【詳解】 解： ， 故選： A 【點(diǎn)睛】 本題考查利用平方差公式進(jìn)行因式分解，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵 4、 C 【分析】 根據(jù)垂線段距離最短可以判斷得出答案 【詳解】 解：根據(jù)點(diǎn) 是直線 外一點(diǎn)， ，垂足為點(diǎn) ， 是垂線段，即連接直線外的點(diǎn) 與直線上各

9、點(diǎn)的所有線段中距離最短， 當(dāng)點(diǎn) 與點(diǎn) 重合時(shí)有 ， 綜上所述： ， 故選： C 【點(diǎn)睛】 本題考查了垂線段最短的定義，解題的關(guān)鍵是：理解垂線段最短的定義 5、 A 【分析】 由二次根式的性質(zhì)，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案 【詳解】 解： ，故 A 正確， C 錯(cuò)誤； ，故 B 、 D 錯(cuò)誤； 故選： A 【點(diǎn)睛】 本題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握性質(zhì)進(jìn)行判斷 6、 D 【分析】 根據(jù)題意可直接列出方程進(jìn)行排除選項(xiàng)即可 【詳解】 解：由題意得： ； 故選 D 【點(diǎn)睛】 本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵 7、 C 【分析】 用樹(shù)狀圖表示所有等可能的結(jié)果

10、，再求得甲和乙從同一節(jié)車(chē)廂上車(chē)的概率 【詳解】 解：將 3 節(jié)車(chē)廂分別記為 1 號(hào)車(chē)廂， 2 號(hào)車(chē)廂， 3 號(hào)車(chē)廂，用樹(shù)狀圖表示所有等可能的結(jié)果， 共有 9 種等可能的結(jié)果，其中，甲和乙從同一節(jié)車(chē)廂上車(chē)的有 3 可能， 即甲和乙從同一節(jié)車(chē)廂上車(chē)的概率是 ， 故選： C 【點(diǎn)睛】 本題考查概率，涉及畫(huà)樹(shù)狀圖求概率，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵 8、 A 【分析】 分四種情況討論，利用待定系數(shù)法，求過(guò) ， ， ， 中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)解析式，繼而解題 【詳解】 解：設(shè)過(guò)三個(gè)點(diǎn) ， ， 的拋物線解析式為： 分別代入 ， ， 得 解得 ； 設(shè)過(guò)三個(gè)點(diǎn) ， ， 的拋物線解析式為： 分別代

11、入 ， ， 得 解得 ； 設(shè)過(guò)三個(gè)點(diǎn) ， ， 的拋物線解析式為： 分別代入 ， ， 得 解得 ； 設(shè)過(guò)三個(gè)點(diǎn) ， ， 的拋物線解析式為： 分別代入 ， ， 得 解得 ； 最大為 ， 故選： A 【點(diǎn)睛】 本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵 9、 D 【分析】 由題意易得 BAD =45° ， AB = AE ，進(jìn)而可得 APE 是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求解 【詳解】 解： ， ， AD 平分 ， BAD =45° ， ， APE 是等腰直角三角形， AP = PE ， ， AB = AE ， ， ； 故

12、選 D 【點(diǎn)睛】 本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及角平分線的定義，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵 10、 A 【分析】 根據(jù)題中所給定義及一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行排除選項(xiàng) 【詳解】 解：當(dāng) 時(shí)，函數(shù)值分別為 和 ，若存在實(shí)數(shù) ，使得 ， 對(duì)于 A 選項(xiàng)則有 ，由一元二次方程根的判別式可得： ，所以存在實(shí)數(shù) m ，故符合題意； 對(duì)于 B 選項(xiàng)則有 ，由一元二次方程根的判別式可得： ，所以不存在實(shí)數(shù) m ，故不符合題意； 對(duì)于 C 選項(xiàng)則有 ，化簡(jiǎn)得： ，由一元二次方程根的判別式可得： ，所以不存在實(shí)數(shù) m ，故不符合題意； 對(duì)于

13、 D 選項(xiàng)則有 ，化簡(jiǎn)得： ，由一元二次方程根的判別式可得： ，所以不存在實(shí)數(shù) m ，故不符合題意； 故選 A 【點(diǎn)睛】 本題主要考查一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 二、解答題1、 有錯(cuò)誤，正確的過(guò)程見(jiàn)解析 【分析】 利用一元一次不等式的性質(zhì)、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、化系數(shù)為 1 等解題 【詳解】 解：圓圓的解答過(guò)程有錯(cuò)誤， 正確的解答過(guò)程如下： 由 ，得 ， 所以 ， 所以 ； 由 ，得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 將不等式組的解集表示在數(shù)軸上： 所以原不等式組的解是 【點(diǎn)睛】 本題考查解一元

14、一次不等式組，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵 2、 （ 1 ） 144 ；（ 2 ）見(jiàn)解析；（ 3 ） 20% 【分析】 （ 1 ）根據(jù)各組頻數(shù)之和等于總數(shù)求出 a 的值即可得出答案； （ 2 ）根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，即可將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整； （ 3 ）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中第 4 組頻數(shù)和占總?cè)藬?shù)的比例即可 【詳解】 解：（ 1 ） ； 則 的值為 144 ； （ 2 ）補(bǔ)全頻數(shù)直方圖，如圖 （ 3 ）因?yàn)?， 所以該年級(jí)一分鐘跳繩次數(shù)在 190 次以上的學(xué)生數(shù)占該年級(jí)全部學(xué)生數(shù)的 20% 【點(diǎn)睛】 本題考查了頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確

15、題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答 3、 見(jiàn)解析 【分析】 根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可 【詳解】 解：選擇條件 的證明： 因?yàn)?， 所以 ， 又因?yàn)?， ， 所以 ， 所以 選擇條件 的證明： 因?yàn)?， 所以 ， 又因?yàn)?， ， 所以 ， 所以 選擇條件 的證明： 因?yàn)?， 所以 ， 又因?yàn)?， ， 所以 ， 所以 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了全等三角形的判定方法，證明兩個(gè)三角形全等的方法有： SSS ， AAS ， SAS ， ASA ， HL 4、 （ 1 ） ， ； ；（ 2 ） 0 【分析】 （ 1 ） 根據(jù)點(diǎn) A 關(guān)于 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn) ，可求得點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 ，再將點(diǎn) A 的坐標(biāo)分別代

16、入反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的解析式中，即可求得 ， ； 觀察圖象可解題； （ 2 ）將點(diǎn) B 代入 ，解得 的值即可解題 【詳解】 解（ 1 ） 由題意得，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 ， 因?yàn)楹瘮?shù) 的圖象過(guò)點(diǎn) A ， 所以 ， 同理 由圖象可知，當(dāng) 時(shí)，反比例函數(shù)的圖象位于正比例函數(shù)圖象的下方， 即當(dāng) 時(shí)， （ 2 ）設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 ，則點(diǎn) 的坐標(biāo)是 ， 所以 ， ， 所以 【點(diǎn)睛】 本題考查關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特征、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的解析式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵 5、 （ 1 ）見(jiàn)解析；（ 2 ） 【分析】 （ 1 ）根據(jù)題意證明 即可； （ 2 ）

17、根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)求得 BE 、 EC 的長(zhǎng)，用三角形面積公式計(jì)算即可 【詳解】 解：（ 1 ）因?yàn)?平分 ， 所以 所以 ， 又因?yàn)?， 所以 ， 所以 （ 2 ）由題意，得 ， ， 所以 ， 所以 的面積為 【點(diǎn)睛】 本題主要考查等腰三角形的判定，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求邊長(zhǎng)，正確記憶特殊角的銳角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵 6、 （ 1 ） ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ；（ 2 ） ， ，理由見(jiàn)解析；（ 3 ）見(jiàn)解析 【分析】 （ 1 ）把點(diǎn) 和 代入二次函數(shù)解析式進(jìn)行求解，然后把一般式化為頂點(diǎn)式即可求解頂點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2 ）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可直接進(jìn)行求解； （ 3 ）由題意，得 ， ，則有

18、 ，進(jìn)而問(wèn)題可求解 【詳解】 解：（ 1 ）把點(diǎn) 和 代入得： ， 解得 ， ，則化為頂點(diǎn)式為 ， 該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ； （ 2 ）例如 ， ，此時(shí) ； 因?yàn)?， 所以函數(shù) 圖象與 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)； （ 3 ）由題意，得 ， ， ， ， 由題意，知 ， 所以 【點(diǎn)睛】 本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 7、 (1) 見(jiàn)解析； (2) ； (3) 見(jiàn)解析 【分析】 (1) 由題目已知角平分線相等得到兩個(gè)相等，同弧所對(duì)的兩個(gè)圓周角相等，從而證明兩三角形相似； (2) 由 (1) 中的相似可以得到線段成比例，再由 即可求得； (3) 要證 即證 ，已知條

19、件有一對(duì)角相等，利用外角關(guān)系可以證明 ，從而得證 【詳解】 (1) 因?yàn)?平分 ， 所以 ， 又因?yàn)?， 所以 (2) 由 (1) ，知 ， 因?yàn)?， 所以 ， 所以 (3) 因?yàn)?， 又因?yàn)?， 所以 ， 因?yàn)?， 所以 ， 又因?yàn)?， 所以 ， 所以 ， 所以 【點(diǎn)睛】 本題考查了圓的圓周角概念，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件找到相似的兩個(gè)三角形并通過(guò)角度的轉(zhuǎn)換從而證明相似 三、填空題1、 【詳解】 試題分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可： sin30°= 2、 5a 【分析】 根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)運(yùn)算的加法法則進(jìn)行計(jì)算即可 . 【詳解】 原式

20、（ 2 3 ） a 5 a . 【點(diǎn)睛】 本題主要考查的是同類(lèi)項(xiàng)運(yùn)算的加法法則，熟練掌握法則是本題的解題關(guān)鍵 . 3、 【分析】 根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，得 ，根據(jù)圓的性質(zhì)，得 ，再通過(guò)勾股定理計(jì)算，即可得到答案 【詳解】 是 的切線， 為切點(diǎn) 的半徑為 1 故答案為： 【點(diǎn)睛】 本題考查了圓、勾股定理的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A、圓的切線、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解 4、 24 【分析】 根據(jù)題意及加權(quán)平均數(shù)的求法可直接進(jìn)行求解 【詳解】 解：由題意得： （元 / 千克）； 故答案為 24 【點(diǎn)睛】 本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵 5、 = 【分析】 連接 DE ，判斷 ABC 和 ADE 是等