18 數(shù)理方法--教學(xué)大綱

1、本科數(shù)學(xué)物理方法課程教學(xué)大綱課程中英文名稱： Methods of Mathematics and Physics課程編碼：101072課程性質(zhì)：學(xué)科基礎(chǔ)必修課適用專業(yè)：應(yīng)用物理專業(yè)學(xué)時(shí)數(shù)： 64 ；其中：理論學(xué)時(shí)： 64 ；實(shí)踐學(xué)時(shí)： 0 ；學(xué)分?jǐn)?shù)： 4 ；編寫人： ；審定人： ；一、課程簡(jiǎn)介（一）課程教學(xué)目的與任務(wù)1本課程要求學(xué)生對(duì)規(guī)定的內(nèi)容有一個(gè)總體了解。掌握其中的基本概念，熟悉一些重要的理論及公式，并使所學(xué)到的知識(shí)在頭腦中形成合理的結(jié)構(gòu)。2本課程要求學(xué)生能運(yùn)用學(xué)到的基本數(shù)學(xué)方法解決一類常見的物理問(wèn)題，能較順利地學(xué)習(xí)本專業(yè)后繼的物理課程。3本課程要求學(xué)生能熟悉在數(shù)學(xué)物理方法的創(chuàng)立過(guò)程中用

2、過(guò)的創(chuàng)新思維方法，如類比、推廣、猜想及模型化等，為寫出有特色的學(xué)年論文和/或畢業(yè)論文創(chuàng)造條件。（二）課程教學(xué)的總體要求本課程的內(nèi)容為數(shù)學(xué)課程，注重邏輯推理和具有一定的系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。但是，它與其它的數(shù)學(xué)課有所不同。本課程內(nèi)容有很深廣的物理背景，實(shí)用性很強(qiáng)。因此，在這門課的教學(xué)過(guò)程中，不能單純地追求理論上的完美、嚴(yán)謹(jǐn)，而忽視其應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，不必過(guò)分地追求一些定理的嚴(yán)格證明、復(fù)雜公式的精確推導(dǎo)，更不能死記硬背，而應(yīng)重視其應(yīng)用技巧和處理方法（三）課程教學(xué)內(nèi)容本課程的主要內(nèi)容包括復(fù)變函數(shù)、傅立葉級(jí)數(shù)、數(shù)學(xué)物理方程、特殊函數(shù)等。理論力學(xué)中常用的變分法，量子力學(xué)中用到的群論以及現(xiàn)代物理中用到的非線性

3、微分方程理論等，雖然也屬于數(shù)學(xué)物理方法的內(nèi)容，但在本大綱中不作要求。可以在后續(xù)的選修課中加以介紹。（四）先修課程及后續(xù)課程數(shù)學(xué)物理方法是物理教育專業(yè)本科的一門重要的基礎(chǔ)課，它是前導(dǎo)課程高等數(shù)學(xué)的延伸，為后繼開設(shè)的電動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)和電子技術(shù)等課程提供必需的數(shù)學(xué)理論知識(shí)和計(jì)算工具。本課程在本科物理教育專業(yè)中占有重要的地位，本專業(yè)學(xué)生必須掌握它們的基本內(nèi)容，否則對(duì)后繼課的學(xué)習(xí)將會(huì)帶來(lái)很大困難。在物理教育專業(yè)的所有課程中，本課程是相對(duì)難學(xué)的一門課，學(xué)生應(yīng)以認(rèn)真的態(tài)度來(lái)學(xué)好本課程。二、課程教學(xué)總體安排（一）學(xué)時(shí)分配建議表       

4、0;            課  程  內(nèi)  容教 學(xué) 環(huán) 節(jié)講 課習(xí)題課實(shí) 驗(yàn)設(shè) 計(jì)復(fù)變函數(shù)62  復(fù)變函數(shù)的積分31  冪級(jí)數(shù)展開61留數(shù)定理31傅立葉變換31數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題51  分離變數(shù)（傅里葉級(jí)數(shù)）法61二階常微分方程的級(jí)數(shù)解41球函數(shù)51柱函數(shù)41格林函數(shù) 解的積分公式31積分變換法31總計(jì)（學(xué)時(shí)）    （二）推薦教材及參考書目1教

5、材梁昆淼編，數(shù)學(xué)物理方法，北京：人民教育出版社，1995年第三版。2參考書目四川大學(xué)編，高等數(shù)學(xué)第四冊(cè)，北京：高等教育出版社，1996年第三版；劉連壽、王正清編，數(shù)學(xué)物理方法，北京：高等教育出版社，1991年；嚴(yán)鎮(zhèn)軍編，數(shù)學(xué)物理方法，合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1999年。（三）課程考核方式1考核方式 閉卷考試2成績(jī)構(gòu)成平時(shí)成績(jī)占百分之三十，期末考試占百分之七十。三、課程教學(xué)內(nèi)容及基本要求第一章 復(fù)變函數(shù)（6） 基本要求： 1熟悉復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算；2了解復(fù)變函數(shù)的定義，連續(xù)性；3了解多值函數(shù)的概念；4掌握復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)方法及柯西黎曼方程；5了解解析函數(shù)的概念，熟悉一些簡(jiǎn)單的解析函數(shù)的

6、表示式。6了解從實(shí)變函數(shù)到復(fù)變函數(shù)的推廣過(guò)程中的創(chuàng)新思想與方法。教學(xué)內(nèi)容： §1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算。復(fù)平面，復(fù)數(shù)的表示式，共軛復(fù)數(shù)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的冪和根式運(yùn)算，復(fù)數(shù)的極限運(yùn)算。§1.2復(fù)變函數(shù)。復(fù)變函數(shù)的概念，開、閉區(qū)域，幾種常見的復(fù)變函數(shù)，復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性。§1.3導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，柯西黎曼方程。§1.4解析函數(shù)。解析函數(shù)的概念，正交曲線族，調(diào)和函數(shù)。§1.5平面標(biāo)量場(chǎng)。穩(wěn)定場(chǎng)，標(biāo)量場(chǎng)，復(fù)勢(shì)。本章重點(diǎn)： 復(fù)變函數(shù)的運(yùn)算，柯西黎曼條件，解析函數(shù)第二章 復(fù)變函數(shù)的積分（3） 基本要求： 1正確理解復(fù)變數(shù)函數(shù)路積分的概念；2

7、深透理解柯西定理及孤立奇點(diǎn)的定義；3理解并會(huì)熟練運(yùn)用柯西公式。教學(xué)內(nèi)容： §2.1復(fù)數(shù)函數(shù)的積分，路積分及其與實(shí)變函數(shù)曲線積分的聯(lián)系。§2.2柯西定理?？挛鞫ɡ淼膬?nèi)容和應(yīng)用，孤立奇點(diǎn)，單通區(qū)域，復(fù)通區(qū)域，回路積分。§2.3不定積分*。原函數(shù)。§2.4柯西公式?？挛鞴降膶?dǎo)出，高階導(dǎo)數(shù)的積分表達(dá)式。（模數(shù)原理及劉維定理不作要求）本章重點(diǎn)： 柯西定理，柯西公式和孤立奇點(diǎn)。第三章 冪級(jí)數(shù)展開（6） 基本要求： 1理解復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念；2了解冪級(jí)數(shù)的斂散性的判別法及收斂半徑的計(jì)算方法；3會(huì)對(duì)一些簡(jiǎn)單的解析函數(shù)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開；4了解解析延拓的含義*；5會(huì)對(duì)一些簡(jiǎn)單

8、的函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)進(jìn)行羅朗級(jí)數(shù)展開；6熟悉孤立奇點(diǎn)的三種類型，了解極點(diǎn)的階；教學(xué)內(nèi)容： §3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，收斂性，科西判據(jù)，絕對(duì)收斂，一致收斂。§3.2冪級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)的概念，比值判別法，根值判別法，收斂圓，收斂半徑，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)。§3.3泰勒級(jí)數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)的系數(shù)計(jì)算公式。§3.4解析延拓*。解析延拓的基本思想。§3.5羅朗級(jí)數(shù)。廣義冪級(jí)數(shù)，收斂環(huán)，羅朗展開。§3.6奇點(diǎn)分類。羅朗級(jí)數(shù)的解吸部分、主要部分，留數(shù)，極點(diǎn)，極點(diǎn)的階，單極點(diǎn)，本性極點(diǎn)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為奇點(diǎn)的情況。（支點(diǎn)不作要求）。本章重點(diǎn)： 冪級(jí)數(shù)，比值判別法

9、，泰勒級(jí)數(shù)，羅朗級(jí)數(shù)、收斂圓，收斂環(huán)，函數(shù)按冪級(jí)教展開技巧。第四章 留數(shù)定理（3） 基本要求： 1掌握留數(shù)定理，了解留數(shù)的計(jì)算方法；2應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)的定積分。教學(xué)內(nèi)容： §4.1留數(shù)定理。留數(shù)定理概念，計(jì)算留數(shù)的一般方法，判斷極點(diǎn)的階，極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算方法，例13。§4.2應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)的定積分。類型一，類型二。本章重點(diǎn)： 留數(shù)定理及其計(jì)算方法。第五章 傅立葉變換（2+1） 基本要求： 1了解非周期函數(shù)的傅里葉積分表達(dá)式和傅立葉變換的概念。2掌握傅立葉變換的基本性質(zhì)與方法。3了解提出狄拉克函數(shù)過(guò)程中的創(chuàng)造性思想。4掌握狄拉克函數(shù)的定義、基本性質(zhì)和常用表達(dá)式

10、。教學(xué)內(nèi)容： §5.2非周期函數(shù)的傅里葉積分，傅里葉積分的導(dǎo)出，傅立葉變換式，奇函數(shù)的傅里葉正弦積分，偶函數(shù)的傅立葉余弦積分。§5.3狄拉克函數(shù)，廣義函數(shù)的提出，狄拉克函數(shù)的定義、表達(dá)式和性質(zhì)。本章重點(diǎn)： 非周期函數(shù)的傅里葉積分的概念，傅里葉變換的定義。狄拉克函數(shù)的定義、表達(dá)式和性質(zhì)。第二篇 數(shù)學(xué)物理方程（303） 本篇概述 數(shù)學(xué)物理方程是本課程的重點(diǎn)，本篇主要是討論與三類典型的二階線性偏微分方程對(duì)應(yīng)的定解問(wèn)題以及由此而連帶引出的本征值問(wèn)題和特殊函數(shù)理論。這三類方程在物理學(xué)的許多領(lǐng)域中具有其廣泛的應(yīng)用，例如在理論力學(xué)中的哈密頓方程，電動(dòng)力學(xué)中的麥克斯韋方程，量子力學(xué)中的薛定

11、諤方程等等都與這三類方程有密切的關(guān)系。數(shù)學(xué)物理方程的意義還在于，對(duì)本質(zhì)上不同的物理問(wèn)題可以具有相同的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)同一數(shù)學(xué)模型的研究，反過(guò)來(lái)就可用類比的方法對(duì)不同本質(zhì)的物理問(wèn)題進(jìn)行探討。所以，系統(tǒng)地了解這些典型的數(shù)學(xué)物理方程及其求解方法，無(wú)疑是研究物理學(xué)的重要手段。本篇主要是涉及幾種常用的方程所對(duì)應(yīng)的定解問(wèn)題的基本解法，側(cè)重介紹行波法和分離變數(shù)法。這兩種方法是求解數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的最基本的方法，學(xué)生必須對(duì)它們有深刻的理解，特別要靈活掌握分離變數(shù)法。在本篇中，將討論分離變數(shù)法所引伸出的本征值問(wèn)題以及二階線性?；辗址匠痰膬缂?jí)數(shù)解法。本征值問(wèn)題是常微分方程的一個(gè)理論分支，有時(shí)可以利用冪級(jí)數(shù)方法求

12、解，這時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)高等超越函數(shù)，即特殊函數(shù)。本篇還要討論有關(guān)的特殊函數(shù)，特別是勒讓得函數(shù)的理論。特殊函數(shù)的內(nèi)容十分豐富，在數(shù)學(xué)中已成為一個(gè)獨(dú)立分支，它在物理學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。例如靜電勢(shì)的球坐標(biāo)解將會(huì)出現(xiàn)勒讓得函數(shù)，而在柱坐標(biāo)下的解將會(huì)出現(xiàn)貝塞爾函數(shù)，量子力學(xué)中諧振子本征解為厄密多項(xiàng)式，中心勢(shì)的角向函數(shù)可由球諧函數(shù)構(gòu)成，而庫(kù)倫勢(shì)的徑向函數(shù)由連帶拉蓋爾多項(xiàng)式構(gòu)成等等。本大綱只較詳細(xì)地涉及一類常見的特殊函數(shù)，即勒讓德函數(shù)。數(shù)學(xué)物理方程及其有關(guān)的理淪遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止本篇所指定的內(nèi)容。但是學(xué)生學(xué)好本篇內(nèi)容以后，其它方面的理論就不會(huì)產(chǎn)生較大的困難了，可以通過(guò)進(jìn)一步自學(xué)來(lái)掌握。本篇的教學(xué)時(shí)間為30課時(shí)，

13、另安排3課時(shí)作為機(jī)動(dòng)（可以用來(lái)復(fù)習(xí)常微分方程以及其他需要的擴(kuò)展教學(xué)）。 第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題（5） 基本要求： 1了解定解問(wèn)題的提法；2了解幾種常見的數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出；3熟悉幾種常見的邊界條件和初始條件的表示形式；4能對(duì)兩個(gè)自變數(shù)的線性偏微分方程進(jìn)行分類；5了解行波法的意義，行波的物理意義，熟練運(yùn)用達(dá)朗伯公式。教學(xué)內(nèi)容： 定解問(wèn)題。定解條件，邊界條件，初始條件，泛定方程，定解問(wèn)題。§7.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出*。均勻弦的微小橫振動(dòng)，均勻桿的縱振動(dòng)*，均勻薄膜的微小振動(dòng)*，擴(kuò)散方程，熱傳導(dǎo)方程，穩(wěn)定濃度分布，穩(wěn)定溫度分布，靜電場(chǎng)，(其他物理模型的方程的導(dǎo)出不作要求)。§7

14、.2定解條件。初始條件，邊界條件（非線性邊界條件不作要求）。§7.3二階線性偏微分方程的分類。二階線性偏微分方程的一般形式，線性齊次和非齊次方程，疊加原理。兩個(gè)自變數(shù)的方程分類（多個(gè)自變數(shù)的方程分類不作要求），雙曲型，拋物型，橢圓型方程，方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。常系數(shù)線性方程。§7.4行波法。達(dá)朗伯公式，行波，求解公式。端點(diǎn)的反射*（固定端的情形）。定解問(wèn)題，適定性。本章重點(diǎn)： 定解問(wèn)題、定解條件提法，弦振動(dòng)方程、擴(kuò)散方程及穩(wěn)定濃度、溫度分布方程的導(dǎo)出，二階線性方程的分類，常系數(shù)線性方程的化簡(jiǎn)，達(dá)朗伯公式。第八章 分離變數(shù)（傅里葉級(jí)數(shù)）法（6+2） 基本要求： 1掌握分離變數(shù)法，理

15、解本征值問(wèn)題與本征函數(shù)的聯(lián)系，會(huì)靈活處理較簡(jiǎn)單的非齊次邊界條件的情況；2熟悉并掌握齊次泛定方程的定解問(wèn)題的求解方法；3能對(duì)簡(jiǎn)單非齊次泛定方程的定解問(wèn)題求解。教學(xué)內(nèi)容： §8.1齊次方程的分離變數(shù)法。分離變數(shù)法，駐波，本征值，本征函數(shù)，本征值問(wèn)題，分離變數(shù)法的方法步驟。§8.2非齊次振動(dòng)方程和輸運(yùn)方程。傅立葉級(jí)數(shù)法，沖量定理法。§8.3非齊次邊界條件的處理。一般處理方法，特殊處理方法。§8.4泊松方程。本章重點(diǎn)： 分離變數(shù)法的步驟，本征值問(wèn)題，非齊次邊界條件的處理。第九章 二階常微分方程的級(jí)數(shù)解 本征值問(wèn)題（4） 基本要求： 1掌握對(duì)方程進(jìn)行分離變數(shù)的一般

16、方法，了解一些常見方程進(jìn)行分離變數(shù)后特殊的情形；2掌握微分方程在常點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法；3了解微分方程在正則奇點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法；4了解斯特姆劉維型本征值問(wèn)題的提法。了解常見的本征值問(wèn)題解族的正交性、模和函數(shù)族展開理論。教學(xué)內(nèi)容： §9.1特殊函數(shù)常微分方程。拉普拉斯方程，球坐標(biāo)，球函數(shù)方程，連帶勒讓得方程*，勒讓得方程，柱坐標(biāo)，貝塞耳方程*。波動(dòng)方程，輸運(yùn)方程，亥姆霍茲方程。§9.2常點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法，微分方程的級(jí)數(shù)解法§9.3正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法*，微分方程的級(jí)數(shù)解法，判定方程，例1例2（只要求得到正m階貝塞爾函數(shù)的解）。§9.4斯特姆劉維本征值問(wèn)題

17、*，本征值，本征函數(shù)，斯特姆劉維本征值問(wèn)題，正交性，模，廣義傅立葉級(jí)數(shù)，廣義傅立葉系數(shù)。本章重點(diǎn)： 微分方程的級(jí)數(shù)解法，本征函數(shù)族，廣義傅立葉級(jí)數(shù)展開。第十章 球函數(shù)（5+1） 基本要求： 1掌握勒讓得多項(xiàng)式概念，勒讓得多項(xiàng)式的微分形式，正交關(guān)系，模的計(jì)算，及其廣義傅立葉展開理論及方法；2了解一般球函數(shù)和連帶勒讓得函數(shù)的概念。教學(xué)內(nèi)容： §10.1軸對(duì)稱球函數(shù)。勒讓得多項(xiàng)式，洛德利格斯公式（施列夫利積分），勒讓得多項(xiàng)式的正交關(guān)系，勒讓德多項(xiàng)式的模，廣義傅立葉級(jí)數(shù)，母函數(shù)與遞推公式。§10.2連帶勒讓得函數(shù)。連帶勒讓得函數(shù)，本征值問(wèn)題，洛德利格斯公式，正交性，模，廣義傅里葉級(jí)

18、數(shù)（施列夫利積分，拉普拉斯積分不作要求）。§10.3一般的球函數(shù)*。球函數(shù)，球函數(shù)的正交性，球函數(shù)的模，球面上的函數(shù)的，拉普拉斯方程的非軸對(duì)稱解。本章重點(diǎn)： 勒讓德多項(xiàng)式及其微分形式，勒讓德多項(xiàng)式函數(shù)族的正交性、模和展開理論。第十一章 柱函數(shù)（4） 基本要求： 1掌握貝塞爾函數(shù)級(jí)數(shù)形式，正交關(guān)系，模的計(jì)算，及廣義傅立葉展開理論及方法；2了解其他柱函數(shù)的概念和性質(zhì)。教學(xué)內(nèi)容： §11.1三類柱函數(shù)，三類柱函數(shù)，柱函數(shù)的極限行為，遞推公式。§11.2貝塞爾方程，貝塞爾函數(shù)與本征值問(wèn)題，貝塞爾函數(shù)的正交性，貝塞爾函數(shù)的模，傅立葉貝塞爾級(jí)數(shù)，貝塞爾函數(shù)的應(yīng)用，本章重點(diǎn)： 貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。第十二章 格林函數(shù) 解的積分公式（3） 基本要求： 1掌握泊松方程的基本積分公式，用電像法求格林函數(shù)，泊松積分；2了解含時(shí)間的格林函數(shù)的概念。教學(xué)內(nèi)容： §12.1泊松方程的格林函數(shù)。第一格林公式，第二格林公式，泊松方程的基本積分公式，泊松方程第一邊值問(wèn)題的格林函數(shù)及解的積分表達(dá)式，泊松方程第三邊值