6.示范教案(3.4.1 基本不等式 的證明)57506

1、3.4基本不等式：3.4.1基本不等式的證明從容說課在前兩節(jié)課的研究當(dāng)中，學(xué)生已掌握了一些簡單的不等式及其應(yīng)用，并能用不等式及不等式組抽象出實際問題中的不等量關(guān)系，掌握了不等式的一些簡單性質(zhì)與證明，研究了一元二次不等式及其解法，學(xué)習(xí)了二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題.本節(jié)課的研究是前三大節(jié)學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展.另外，為基本不等式的應(yīng)用墊定了堅實的基礎(chǔ)，所以說，本節(jié)課是起到了承上啟下的作用.本節(jié)課是通過讓學(xué)生觀察第屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)圖案中隱含的相等關(guān)系與不等關(guān)系而引入的.通過分析得出基本不等式：，然后從三種角度對基本不等式展開證明及對基本不等式展開一些簡單的應(yīng)用,進而更深一層次地從理性角

2、度建立不等觀念.教師應(yīng)作好點撥，利用幾何背景，數(shù)形結(jié)合做好歸納總結(jié)、邏輯分析，并鼓勵學(xué)生從理性角度去分析探索過程，進而更深層次理解基本不等式，鼓勵學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和方法獲得過程的探索，同時也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，進行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助.教學(xué)重點 1.創(chuàng)設(shè)代數(shù)與幾何背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；2.從不同角度探索基本不等式的證明過程；3.從基本不等式的證明過程進一步體會不等式證明的常用思路.教學(xué)難點 1.對基本不等式從不同角度的探索證明；2.通過基本不等式的證明過程體會分析法的證明思路

3、.教具準(zhǔn)備 多媒體及課件三維目標(biāo)一、知識與技能1.創(chuàng)設(shè)用代數(shù)與幾何兩方面背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；2.嘗試讓學(xué)生從不同角度探索基本不等式的證明過程；3.從基本不等式的證明過程進一步體會不等式證明的常用思路，即由條件到結(jié)論，或由結(jié)論到條件.二、過程與方法1.采用探究法，按照聯(lián)想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進行啟發(fā)式教學(xué)； 2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用；3.將探索過程設(shè)計為較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過具體問題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在

4、著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考，鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點進行歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣；2.學(xué)習(xí)過程中，通過對問題的探究思考，廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹?shù)乃季S習(xí)慣，主動、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量；3.通過對富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強的探究精神和嚴(yán)肅認真的科學(xué)態(tài)度，同時去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會數(shù)學(xué)的奧秘、數(shù)學(xué)的簡潔美、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹美，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)過程導(dǎo)入新課探究：上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客，你

5、能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？ （教師用投影儀給出第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，并介紹此會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客.通過直觀情景導(dǎo)入有利于吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并增強學(xué)生的愛國主義熱情）推進新課師 同學(xué)們能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？（沉靜片刻）生 應(yīng)該先從此圖案中抽象出幾何圖形.師 此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢？哪位同學(xué)能在黑板上畫出這個幾何圖形？（請兩位同學(xué)在黑板上畫.教師根據(jù)兩位同學(xué)的板演作點評）（其中四個直角三角形沒有畫全等，不形象、直觀.此時教師用投影片給出隱含的規(guī)范

6、的幾何圖形）師 同學(xué)們觀察得很細致，抽象出的幾何圖形比較準(zhǔn)確.這說明，我們只要在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上進一步刻苦努力，發(fā)奮圖強，也能作出和數(shù)學(xué)家趙爽一樣的成績.（此時，每一位同學(xué)看上去都精神飽滿，信心百倍，全神貫注地投入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來）過程引導(dǎo)師 設(shè)直角三角形的兩直角邊的長分別為a、b，那么，四個直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關(guān)系呢？生 顯然正方形的面積大于四個直角三角形的面積之和.師 一定嗎？（大家齊聲：不一定，有可能相等）師 同學(xué)們能否用數(shù)學(xué)符號去進行嚴(yán)格的推理證明，從而說明我們剛才直覺思維的合理性？ 生 每個直角三角形的面積為，四個直角三角形的面積之和為2ab.正方形的邊長為，所以正

7、方形的面積為a2+b2，則a2+b22ab.師 這位同學(xué)回答得很好，表達很全面、準(zhǔn)確，但請大家思考一下，他對a2+b22ab證明了嗎？生 沒有，他仍是由我們剛才的直觀所得，只是用字母表達一下而已.師 回答得很好.（有的同學(xué)感到迷惑不解）師 這樣的敘述不能代替證明.這是同學(xué)們在解題時經(jīng)常會犯的錯誤.實質(zhì)上，對文字性語言敘述證明題來說，他只是寫出了已知、求證，并未給出證明.（有的同學(xué)竊竊私語，確實是這樣，并沒有給出證明）師 請同學(xué)們繼續(xù)思考，該如何證明此不等式，即a2+b22ab.生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，(a-b)2是一個完全平方數(shù)，它是非負數(shù)，即(a-b)20，所

8、以可得a2+b22ab.師 同學(xué)們思考一下，這位同學(xué)的證明是否正確？生 正確.教師精講師 這位同學(xué)的證明思路很好.今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據(jù)實數(shù)的基本性質(zhì)比較兩個代數(shù)式的大小是否一樣.生 實質(zhì)一樣，只是設(shè)問的形式不同而已.一個是比較大小，一個是讓我們?nèi)プC明.師 這位同學(xué)回答得很好，思維很深刻.此處的比較法是用差和0作比較.在我們的數(shù)學(xué)研究當(dāng)中，還有另一種“比較法”.（教師此處的設(shè)問是針對學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)而言）生 作商，用商和“1”比較大小.師 對.那么我們在遇到這類問題時，何時采用作差，何時采用作商呢？這個問題讓同學(xué)們課后去思考，在解決問題中自然會遇

9、到.（此處設(shè)置疑問，意在激發(fā)學(xué)生課后去自主探究問題，把探究的思維空間切實留給學(xué)生）合作探究師 請同學(xué)們再仔細觀察一下，等號何時取到.生 當(dāng)四個直角三角形的直角頂點重合時，即面積相等時取等號.（學(xué)生的思維仍建立在感性思維基礎(chǔ)之上，教師應(yīng)及時點撥）師 從不等式a2+b22ab的證明過程能否去說明.生 當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)2=0，即a=b時，取等號.師 這位同學(xué)回答得很好.請同學(xué)們看一下，剛才兩位同學(xué)分別從幾何圖形與不等式兩個角度分析等號成立的條件是否一致.（大家齊聲）一致.（此處意在強化學(xué)生的直覺思維與理性思維要合并使用.就此問題來講，意在強化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用）板書：一般地，對于任意實數(shù)a

10、、b，我們有a2+b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.過程引導(dǎo)師 這是一個很重要的不等式.對數(shù)學(xué)中重要的結(jié)論，我們應(yīng)仔細觀察、思考，才能挖掘出它的內(nèi)涵與外延.只有這樣，我們用它來解決問題時才能得心應(yīng)手，也不會出錯.（同學(xué)們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a2+b22ab中得出什么.此時，教師應(yīng)及時點撥、指引）師 當(dāng)a0,b0時，請同學(xué)們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.生 完全可以.師 為什么？生 因為不等式中的a、bR.師 很好，我們來看一下代替后的結(jié)果.板書：即 (a0,b0).師 這個不等式就是我們這節(jié)課要推導(dǎo)的基本不等式.它很重要，在數(shù)學(xué)的研究中有很多應(yīng)用，我們

11、常把叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，把ab叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，即兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).（此處意在引起學(xué)生的重視，從不同的角度去理解）師 請同學(xué)們嘗試一下，能否利用不等式及實數(shù)的基本性質(zhì)來推導(dǎo)出這個不等式呢？（此時，同學(xué)們信心十足，都說能.教師利用投影片展示推導(dǎo)過程的填空形式）要證：，只要證a+b2，要證，只要證：a+b-20，要證，只要證：顯然是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，中的等號成立，這樣就又一次得到了基本不等式.（此處以填空的形式,突出體現(xiàn)了分析法證明的關(guān)鍵步驟，意在把思維的時空切實留給學(xué)生，讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上去體會分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度

12、）合作探究老師用投影儀給出下列問題.如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DD，連結(jié)AD、BD.你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？（本節(jié)課開展到這里，學(xué)生從基本不等式的證明過程中已體會到證明不等式的常用方法，對基本不等式也已經(jīng)很熟悉，這就具備了探究這個問題的知識與情感基礎(chǔ)）合作探究師 同學(xué)們能找出圖中與a、b有關(guān)的線段嗎？生 可證ACD BCD,所以可得.生 由射影定理也可得.師 這兩位同學(xué)回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？生表示半弦長，表示半徑長.師 半徑和半弦又有什么關(guān)系呢？生 由半徑大于半弦可得.師 這位同學(xué)回答得是否很嚴(yán)

13、密？生 當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合，即當(dāng)a=b時可取等號，所以也可得出基本不等式 (a0,b0).課堂小結(jié)師 本節(jié)課我們研究了哪些問題？有什么收獲？生 我們通過觀察分析第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)得出了不等式a2+b22ab.生 由a2+b22ab,當(dāng)a0，b0時，以、分別代替a、b，得到了基本不等式 (a0,b0).進而用不等式的性質(zhì)，由結(jié)論到條件，證明了基本不等式.生 在圓這個幾何圖形中我們也能得到基本不等式.（此處，創(chuàng)造讓學(xué)生進行課堂小結(jié)的機會，目的是培養(yǎng)學(xué)生語言表達能力，也有利于課外學(xué)生歸納、總結(jié)等學(xué)習(xí)方法、能力的提高）師 大家剛才總結(jié)得都很好，本節(jié)課我們從實際情景中抽象出基本不等式.并采用數(shù)形結(jié)合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進一步領(lǐng)悟到基本不等式成立的條件是a0，b0，及當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.在對不等式的證明過程中，體會到一些證明不等式常用的思路、方法.以后，同學(xué)們要