利用方程知識化無窮循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)

1、利用方程知識化無窮循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)（1）三門縣亭旁鎮(zhèn)低級中學(xué)鄭永強數(shù)學(xué)離不開數(shù)，對數(shù)的研究是數(shù)學(xué)教學(xué)重要的內(nèi)容。在小學(xué)里，咱們已經(jīng)學(xué)過度數(shù)（正） 能夠化為有限小數(shù)或無窮循環(huán)小數(shù)；反過來，小數(shù)化分?jǐn)?shù)卻沒有專門好完全解決，其中只解 決了有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)這部份內(nèi)容，而無窮循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)卻沒有完全解決，而無窮不循環(huán)小 數(shù)確實是無理數(shù)了，不能化成份數(shù)。而無窮循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)這部份內(nèi)容要想完全解決，只有 在學(xué)了高中內(nèi)容的數(shù)列、極限、無窮遞縮等比數(shù)列求和公式等知識后，才可能完全明白得一 樣計算公式。這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)時刻跨度是小學(xué)到高中。下面，就遵循從具體例子到一樣結(jié)論的研究方式（歸納法），用解方程的知識，研究一下

2、 循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)這部份內(nèi)容：1.例一：化以下無窮循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)：0.6二在解決那個問題前，咱們能夠先向?qū)W生提問oS與1這兩個數(shù)誰大，是不是相等？估量初一大部份學(xué)生回答不等，或【那個提問，我在上高一數(shù)學(xué)時候也向一個班55個同窗 調(diào)查過，其中53個同窗回答是1>oS,只有兩個同窗猜想回答說1二0.6?！磕敲此鼈兊降啄?個大呢？從而激起學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好，進(jìn)而怎么解決那個問題上來。咱們用解方程的知識研究 一下0.S那個數(shù)究竟是一個如何的數(shù)？解：設(shè) x=O.S= (1)那么10x= 0.9=(2)把（2） - （1）得 9x=9.x=l,即0.S = l因此，oS那個數(shù)事實上確實是數(shù)1.練習(xí)：把以下

3、這些循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)：0.1, 0.2, 0.3, 0.4 , 0.5, 0,6, 0.7, 0.8, 要求：分四小組，每小組兩個，用上面的方式，化一下上面八個無窮循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)。其中 四個同窗到黑板上而來書寫演練，每人計算兩個，其中一個標(biāo)準(zhǔn)書寫，另外一個簡單書寫。通過上面例子及練習(xí)，咱們看到這些循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)后，具有必然的規(guī)律性。即 1 2 3 4 5 6 70.1 = -, 0.2 = -, 0.3=-, 0.4 = -, 0.5 = -, 0.6 = -, 0.7 = -,9999999 8 90.8 = , 0.9 = =1 99注意：教師從頭寫一遍結(jié)論，書寫時候盡可能寫整齊，有利于

4、學(xué)生經(jīng)歷。那個結(jié)論專門好記, 希望同窗們記住，及時記住，快速記住!這些確實是循環(huán)節(jié)是1的純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的公式。 在化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)時候，這些公式是最大體的。能夠統(tǒng)一成如此經(jīng)歷：0：= 土【注意：那個地址的字母a、b是表示0、一、二、3、4、9五、六、7、八、9這十個數(shù)字，】 注意：以后不管什么課，只若是需要經(jīng)歷的東西，就要及時地記住，那個也是高效學(xué)習(xí)的要 點。經(jīng)歷是學(xué)習(xí)的必然要求！沒有必要的經(jīng)歷，學(xué)習(xí)就失去效率。運用：化以下無窮循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)【循環(huán)行是1的混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)】1. 0.122. 0.343. 0.564. 0.785. 0.89解：【選擇一個講解，其他讓四個同窗到黑板上來演練。

5、】 設(shè)X=O.13,那么 10x=L2,即 10x=l+0.2,/. 10x=l + , 911,X=90,/. 0.12= 90等其他四個同窗做好后，把結(jié)果放在一路，觀看他們有無規(guī)律性，【鼓舞學(xué)生要要斗膽 猜想，下而第二個等號臨時不寫出來，等學(xué)生發(fā)覺規(guī)律后再寫出來】0.12 =11 _12-190= 900.34 =319034-3900.56 =519056-5900.78 = =9078-790注意：猜想結(jié)論，要進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，目光要對數(shù)字靈敏，要斗膽猜想°為以后一樣性的 結(jié)論【公式】證明留下懸念。再舉例練習(xí)驗證：化以下無窮循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)【循環(huán)A是1的混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)】1.0.1

6、9=-1 = = 1=02, 0.84 = 5=t o.72 = 2rz2【本組起鞏固、解惑 9090 5909090作用，因為一部份學(xué)生心中必然還有疑惑，慢、穩(wěn)、正確，穩(wěn)扎穩(wěn)打.事實上確實是高 效課堂的一種】2.0.123 =123-12900,0.456 =456-459000.789 =789 - 789003.0.1234 =1234-1239000-,0.567 8 =5678 5679000-同窗們觀看上面式子的結(jié)論，看看能發(fā)覺什么規(guī)律？斗膽猜一猜結(jié)論形式也能夠。一樣地, 小結(jié)：循環(huán)。是1的循環(huán)小數(shù)化成份數(shù)后，分母9的個數(shù)是1個，分母是9或90,或900, 或9000.,等例：0.

7、12345678 9 =123456789 -12345678900000000111111111=900000000至于循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)后是不是是最簡分?jǐn)?shù)，這是約分的內(nèi)容，那個地址不研究, 同窗們課外能夠隨意舉幾個例子，寫出結(jié)論后再驗證。以上研究的是循環(huán)節(jié)是1的循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方式，下面就研究循環(huán)節(jié)是2的循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方式【二者類似）例二：化以下無窮循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)1. 0.122. 0.343. 0.564. 0.785. 0.98解：（取第一個，其余作為四個小組練習(xí)用）設(shè)x=0,i3=，（1）那么100x=把（2）-得 99x=12,12/. x= 99同窗們同理能夠取得 340.34 =

8、 990.56 = 990.78 = 99 980.98= 99同窗們看看，循環(huán)節(jié)是2的純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)有什么規(guī)律？一樣地，循環(huán)節(jié)是2的純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的公式是：鼠T 【注意：那個地址的字母a、b只是表示0、一、二、3、4、五、六、7、八、9這十個數(shù)字, 那個地址ab也不是表示a與b的積】運用：化以下無窮循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)（稍有轉(zhuǎn)變，可是循環(huán)節(jié)仍然是2,是循環(huán)節(jié)是2的混循環(huán)小數(shù)）1. 0.1232. 0.4563. 0.789解1:（選一個，其他兩個讓學(xué)生練習(xí)）設(shè)x=0.123則 10x=1.23RP 10x=l+0.2323 也即 10x=l+ 99122/. x=990 122 即 0.123

9、 =，990再看同窗們的計算結(jié)果:990789-99909900.789 = 990觀看一下上面三個結(jié)論，同窗們能發(fā)覺什么計算規(guī)律嗎?練習(xí)：化以下無窮循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)，猜猜下面計算結(jié)果（同窗們能夠課外驗證），化成份數(shù) 后，分子形式如何，分母形式又如何？1. 0.12342. 0.5678 3. 0.12345 4. 0.567 89一樣地：小結(jié)：循環(huán)節(jié)是2的循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)，分母9的個是2個，分母是99,或990,或9900,或99000,等等。例如：0.12345 67 =1234567 -1234599000001222222"9900000至于分子的規(guī)律性，從上面的例子能夠看到，能

10、夠看出，待下而一樣形式的無窮循環(huán)小數(shù)化 化分?jǐn)?shù)的公式證明后，再看就更清楚了。下臉部份就不對初中學(xué)生講了，可是能夠要求他們 記住計算公式.事實上，上面的所有例子的計算，都是無窮遞縮等比數(shù)列:a,anarar"1 (M<1)求和公式的應(yīng)用，即a+ar+ar:+ar*':+(|/-|<1)例如：0.1 =+ 0,1-1-0.1 9事實上， 純循環(huán)小數(shù)S.7,就等于aa10"-1999-999c-10"【注意那個地址的字母aiQ處,a”只是表示0、一、二、3、4、五、六、7、八、9這十個 數(shù)字，】混循環(huán)小數(shù)S=01他久:八a2 d3就等于«瓦運b一0而一 帥?b 。必。3%S= T =1i(r 1 i(r i(r(i(ri)i(r_ b】b2b3b,"s 一仇仇2” _d凸/% 一%呢- i(r(i(r 一1)- gi(r-1)【注意那個地址