比例線段講義.

1、8 / 7比例線段一、比例1、四個數(shù)a, b, c, d成比例定義，比例的項，內、外項的含義。_c（1）兩個比相等的式子叫比例，記作：（a d（a： b = c ： d）,稱作：a, b, c, d成比例（其中a, b, c, d均不為0）。a（2）比”一-兩數(shù)相除叫兩數(shù)白比，記作：（a： b）,在此a是比的前項，b是比的后項。（3）不，中各部分名稱 a, d叫比例的外項 b, c叫比例的內項d叫做a, b, c的第四比例項（a, b, c順序不準亂動）（4）比例中項 若a ： b= b： c,貝fl b叫a, c的比例中項。2、比例的基本性質（7種變化形式）色=£ O ad=bcb

2、 d3、應用比例的基本性質判斷成比例線段將所給的四條線段長度按大小順序排列，如：a>b>c>d,若最長（a）和最短（d）兩條線段之積ad與另兩條線b、c之積bc相等，則說明 線段a, b, c, d成比例。4、記住一些常用的結論：a _c 曰土占 _二± d合比性質：如果b d,那么b d ,4 = cm-+，+加=津等比性質：如果不d = =（b+d+nw0）那么方+"+弱b【典型例題分析】例1:判斷下列每組線段是否成比例： a=4, b=2阻 c=2后，d = 4/a=右，b = 4, c=3, d=Ma=3, b = 4, c=5, d = 6a=3

3、, b = 5, c=6, d=101例2：已知，線段a= 7cm, b=4cm, c=28jcm,求a, b, c的第四比例項。例3 :已知，a= 2.4cm, c= 5.4cm,求a和c的比例中項b。-JJ一13亞例4 :已知，線段a= 1, b=T, c= 2 ,求證：線段b是線段a, c的比例中項。x x+y x-y x+y例5 :若3x = 4y,求F ， 歹 工。& = 白=白 =5例6:已知,bd77一2二十生當b+d+fw耐，求 "d+F的值。當b 2d+ 3fw(M,求合-2"+"的值。例7:在相同時刻的物高與影長成比例，如果一古塔在地面

4、上的影長為 50米，同時，高為1.5 米的測竿的影長為2.5米，那么古塔的高是多少米？AD = AE例 8:如圖， 而 正，AD = 15, AB = 40, AC = 28,求：AE。例9:(1)若 3x = 4y,求 xy、xx y、x2yx + y 的值。(2)若 a+ ba= 53,求 a2bb 的值。(3)x:y:z =2:3:4,求 x y + z2x+ 3y z 的值。(4)已知 a:b:c= 3:4:5,且 2a+ 3b4c= -1,求 2a 3b+4c 的值。(5)已知線段 AB = 15cm, CD = 20cm。求 AB:CD 的值。例10:(1)已知：x: (x+1)=

5、(1 x) : 3,求 x。若 2x-3yx+y=12，求 yx。(3)若 a+bb=65,求 ab , a-bb 若 x2-3xy+2y 2=0,求 yx(5)已知 x2=y3=z4 求 2x+3y-zz+2y-3x , x+y+zx(6)已知 x:y:z=4:5:7, 求 2x +3y +z ,山5z y z(7)a : b: c=1: 3: 5 且 a+2bc=8求 a、b、c(8)已知 x: y=3: 4, x: z=2: 3,求 x: y: Z 的值。若亙=£ =£ =2 ,求 4 , 2a +3c -4eb d f 5 b -d 2b 3d -4 f(10)y+

6、zx=z+xy=x+yz=k,求 k 的值(兩種情況)。(11)已知在 ABC中，D E分別是 AB AC上的點，AB= 12,AE=6,EC= 4,且ADDB AEEC求AD的長黃金分割：1 .黃金分割點如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC (AC>BC,若任=BC ,則稱線段AB被點C黃金 AB AC分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比，即AC=1 AB.CA11 B2 .黃金分割點的畫法已知：線段AB求作：線段AB的黃金分割點Co1作法：如圖： 過B點作BDXAB,使BD =，AB (2)連2g AD ,在AD上截取DE = DB (3)在 AB上截取

7、AC = AE。則點C就是所求的黃金分割點。連結PR在BA的延長線上取點F,例1:已知P為線段AB的黃金分割點，且AP< PB,則 ()A ap2=ab pb； b、ab2=ap pb； c、pb2 = ap ab； d、ap2 + bp2 = ab2例2:已知P、Q是線段AB的兩個黃金分割點，且 AB= 10cmi則PQ長為()A 5Q5-1) B、5(把+1) C、10( x 52) D 、5(3-5):例3:已知線段AB=a在2段AB上有一點C,若AC號a ,則點C是線段AB的黃金分割點嗎?為什么？例4:如果一個矩形ABCQAB<BC中，些=逆二！= 0.618 ,那么這個矩

8、形稱為黃金矩形，黃金矩形 BC 2給人以美感.在黃金矩形ABC吶作正方形CDEF得到一個小矩形ABFE如圖)，請問矩形ABF*否 是黃金矩形？請說明你的結論的正確性.例5:以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD取AB的中點P, 使PF=PR以AF為邊作正方形 AMEF點M在AD上，如圖(1)求AM DM勺長.(2)求證：AM=AD- DM(3)根據(jù)(2)的結論你能找出圖中的黃金分割點嗎？練習：&一、選擇題1、已知線段AB,點P是它的黃金分割點，AP>BP,設以AP為邊的正方形的 月P-S：面積為Si,以PB, AB為邊的矩形面積為S2,則Si與S2的關系是（）A、Si>S2

9、B、Si<SC、Si=S2D、Si >22、若點C是線段AB的黃金分割點，AB=8cm, AC>BC,則AC等于（）A、B、2 （）/5-1） cmC、4 （四-1） cm D、6 （后-1） cm3、已知點P是線段MN的黃金分割點,MP>NP,且 MP=（內1） cm,則 MN 等于（A、2cmB、4cmC、6cm D、無法計算4、（2004宗徽）如圖，扇子的圓心角為x ,余下的扇形的圓心角為為設計，這樣的扇子外形較美觀，若取黃金比為0.6,則乂為（A 216、填空題R 135G 120 D 1085、若點C是線段AB的黃金分割點且AO BC,則竽 j£1

10、L6、已知一點C把AB分成兩段ACffi BG且AG BG當二廠*就說C把AB黃0y , x）金分割.7、把長為10cm的線段黃金分割后，其中較短的線段長度是cm .8、（2004?淮安）科學研究表明，當人的下肢長與身高之比為0.618時，看起來最美.某成年女士身高為153cmi下肢長為92cm,該女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度約為cm .（精確到0.1cm）三、解答題9、已知一個等腰三角形如果腰與底邊的比是黃金比,?那么這樣的等腰三角形稱為黃金三角形.請你 設法作出一個黃金三角形.10、已知線段AB=1,C為AB的黃金分割點，且AC>BC#AC-BC的值.11、如圖的五角星中，AD=BC

11、且C、D兩點都是AB的黃金分割點，AB=1,求CD的長.B12、已知C D是線段AB上的兩點，且CD=（75-2）AB,AC=BD,不難證明當AB=1時,C、D是線段AB的 黃金分割點，試探究當AB任意長時,C、D是否是線段AB的黃金分割點？為什么？練習：1、從下列式子中求x : y。（x + y） ： y = 8 ： 3（x y） : y=1 ： 2a _b2、已知：T 4 2 0 求：（a+b+c） : b。x_y_z - 3、已知：3 4 5, x + y z = 6。求 x, y, z。AB = BF4、已知：如圖，a5-EF, AB = 8cm, AD=2cm, BC=7.2cm,

12、E 為 BC 中點。求：EF, BF 的 長。A5、已知，線段a= 2,且線段a, b的比例中項為M。求：線段b。6、已知，點 P在線段 AB 上，且 AP ： PB=2 ： 5。求 AB ： PB, AP ： AB。AB _ BC = AC = 37、AABC和AA' B'也 總舊，BC Ab 5,且A B，加周長為50cm。求：A ABC的周AD = AEAD_ AE AB= AD8、已知，如圖， 而一近。求證：(1)海 AC (2)AC AEB練習:、填空題1 .已知線段a=2, b=3, c=5時，若a, b, c, d四條線段成比例，則d=.2 .在線段AB上取一點P

13、,使AP:PB=1:4,則 ARAB= AB:PB=3 .如果a=15cm) b=10cm)且b是a和c的比例中項，貝 c=.a - b4 .已知 a： b: c=2: 3: 5,貝 =.b -c5 .已知實數(shù) x, y, z 滿足 x+y+z=0, 3x-y+2z=0 ,貝U x: y: z=.6 、x 2y 3z2x - 3y 5z7 、已知b是a, c的比例中項，且 a=3cm）c=9cm）貝 b= cm。2 a 1 3b - c如果 a : b : c =1:1: 3 ,那么a -5b 3c8、選擇題9、如果ax =bc,那么將x作為第四比例項的比例式是（）10、三線段a、b、c中，a的一半的長等于b的四分之一長，也等于c的六分之一長，那么這三條 線段的和與b的比等于（）A 1 : 6 B6:1 C1:3 D 3:111、已知a =9,則下列等式中不成立的是（）b dA. b 二B.a -bC.12、下列a、b、c、d四條線段，不成比例線段的是（）A. a=2cm b=5cm c=5cm d=12.5cm B. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mmC. a