空間直角坐標(biāo)系與空間向量典型例題

1、空間直角坐標(biāo)系與空間向量i、建立空間直角坐標(biāo)系的幾種方法 構(gòu)建原則: 遵循對(duì)稱性，盡可能多的讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上。作法: 充分利用圖形中的垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系來(lái)建立空間直角坐標(biāo)系.類型舉例如下:(一)用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系例1 已知直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，AAi = 2 ,底面ABCD是直角梯形，/A為直角，AB / CD , AB = 4 , AD = 2 , DC = i ,求異面直線 BC i與DC所成角的余弦 值.解析：如圖i,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 DA、DC、DDi所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 Ci(O, i,2)>B(2,4,

2、0),uurnuur BCi ( 2, 3,2), CD (0, 10).則cos3、,i7i7設(shè)BCu與CDu所成的角為uuuu uuir BCigCD uuuu I uur BCi CD(二)利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系 例2 如圖2,在三棱柱 ABCAiBiCi中，AB，側(cè)面BBiCiC, E為棱CCi上異于C、Ci 的一點(diǎn)，EA ±EBi .已知 AB &，BBi = 2, BC = i , / BCCi=一.求二3面角A-EBi-Ai的平面角的正切值.解析：如圖2,以B為原點(diǎn)，分別以 BBi、BA所在直線為y軸、z軸，過B點(diǎn)垂直于平面 ABi的直線為x軸建立空間直

3、角坐標(biāo)系.由于 BC = i, BBi=2, AB= V2, / BCCi=在三棱柱ABC A1B1C1 中，有、B1(0, 2, 0) 、 cG V，3Q.設(shè)E蛆，a ,0且2uuu uur由 EALEBi,得 EAgER 0,a, 72 g 爭(zhēng)2a ,0a(a2)2a 3 041 一或a23一（舍去）.故23 1,一Q2 2由已知有uuuEAuur uunnEBRAuuurEB1 ,故二面角 AEB1 Ai的平面角uuur uur的大小為向量RA與ea的夾角.uuur 因B1Auuu BA(0,0,柩,uuuEAuuu故cosuuu uuuur_EAgBA . 2 uuu I uiuui.

4、EA| B1A13tan（三）利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例3 如圖3,在四棱錐 VABCD中，底面 ABCD是正方形，側(cè)面三角形，平面 VAD，底面ABCD .（1）證明AB，平面VAD ;VAD是正IS圖3（2）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值.解析：（1 ）取AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn),建立如圖 3所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè) AD = 2,則 A (1 , 0 , 0 )、D ( 1, 0, 0)、 B (1, 2, 0)uuu. AB =(0, 2,0),LUVA =(1uuu uir 由 ABg/A(020)g(1,0,向)0 ,得AB ± VA.又AB LAD,從而 AB

5、與平面 VAD內(nèi)兩條相交直線 VA、AD都垂直,8AB，平面 VAD ；(2)設(shè)E為DV的中點(diǎn),_32uuu EAuuuEBI?uuirDV (10辨uuuuuir EBgDVEB ± DV .因此/AEB是所求二面角的平面角.uuu uuucos EA,EBuuu uuu一EAgEB .21 uuu|uuu EA EB皿“人+.21故所求二面角的余弦值為 7(四)利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標(biāo)系已知正四棱錐 V ABCD中，E為VC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為 2a,高為h .(1)求/ DEB的余弦值;(2)若BEXVC ,求/ DEB的余弦值.解析:(1 )如圖4 ,以V

6、在平面AC的射影O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其D (-a, -a, 0)、 V中 Ox/ BC, Oy/ AB,則由 AB = 2a,OV = h,有 B (a, a, 0)、C (-a, a, 0)、(0, 0, h)、uuuBE32a，a h 22uuurDEuuu uuur . .cos BE,DEuuu uuuBE uuurBE226a2 h222 ，10a h即cos/DEB6a2 h210a2 h2 '(2)因?yàn)镋是VC的中點(diǎn)，又 BE±VC,uuu uur3ah所以 BEgVC 0,即-a!, a J g a, a, h) 0,22 2,3 2 a2 h2

7、一 a 0, h 2 2a .222uuu uuur6a2 h2i這時(shí) cos(BE,DE ) 2_r,即 cos/ DEB10a h 3引入空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進(jìn)行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行向量運(yùn)算，而如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一.下面以高考考題為例，剖析建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑.（五）利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒有明顯交于一點(diǎn)的三條直線，但有一定對(duì)稱關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對(duì)稱性可建立空間直角坐標(biāo)系.例5已知兩個(gè)正四棱錐 P-ABCD與Q ABCD的高都為2, AB = 4 .(1 )證明：P

8、QL平面ABCD ；(2)求異面直線 AQ與PB所成的角;(3)求點(diǎn)P到面QAD的距離.簡(jiǎn)解:(1)略;(2)由題設(shè)知，ABCD是正方形，且AC，BD .由(1),PQ,平面 ABCD ,故可分別以直線 CA, DB,QP為xy, z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖1）,易得uuur 廣 uuuAQ ( 2 .'2,0, 2),PB(0,2 . 2,2)cosuuur uuuAQ,PBuuur uuuAQgPBuuur uuuAQ PB所求異面直線所成的角是1 arccos-.3（3）由（2）知，點(diǎn)D(0,一uuir2.2,0) AD2 . '2,一uuur2.2,0) PQ(0,0

9、, 4)設(shè)n= (x, yz)是平面QAD的一個(gè)法向量，則uuur ngAQ uuur ngAD0,得0,- 2x zx y 0,0'取 x = 1,得 n = (1,1, J2） .點(diǎn)P到平面QAD的距離uuurPQgn3）問也點(diǎn)評(píng)：利用圖形所具備的對(duì)稱性，建立空間直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)與向量的坐標(biāo)應(yīng)容易得出.第（ 可用“等體積法”求距離.向量法解立體幾何（一）知識(shí)點(diǎn)向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算向，如圖3所示），則10圖3甲a,b是兩個(gè)非零向量,它們的夾角為，則數(shù)|a| |b| cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a b,即 a b | a | | b | cos .其幾何意義是 a的長(zhǎng)

10、度與b在a的方向上的投影的乘積.其坐標(biāo)運(yùn)算是:若 a (Xi,yi,z)b(X2, 丫22),貝 1X1X2，丫2Z1Z2；|a|22222y1Z1 ,|b| VX2y2Z2 ；X1x2N1N2z1z2a,bX1X2y1 y2Z1Z2:122222X1y1Z1；X2y22Z2（二）例題講解 題型：求角度相關(guān)1.異面直線m,n所成的角分別在直線m,n上取定向量a,b,則異面直線m, n所成的角等于向量a,b所成的角或其補(bǔ)角（如圖1所示），則cos|a b |a| |b|2.直線L與平面所成的角在L上取定AB ,求平面 的法向量n （如圖2所示），再求cos一為所求的角.23.二面角方法一：構(gòu)造二

11、面角l的兩個(gè)半平面的法向量n1、n2 （都取向上的方n2 若二面角 l是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量 n1、n217的夾角的補(bǔ)角，即 cosni n2I ni I I n2 |若二面角l 是“銳角型”的如圖3乙所示，那么其大小等于兩法向量夾角，即cosIIn1 n2|ni | |n2 |方法二：在二面角的棱 l上確定兩個(gè)點(diǎn) A、B ,過A、B分別在平面內(nèi)求出與l垂直的向量n1、n2 （如圖4所示），則二面角 l的大小等于向量 n1、n2的夾角，即 cosn1 n2|ni | |n2 |題型：求距離相關(guān)i.異面直線m、n的距離分別在直線 m、n上取定向量a,b,求與向量a、b

12、都垂直的向量m、n上各取一個(gè)定點(diǎn)A、B，則異面直線 m、n的距離d等于AB在n上的射影長(zhǎng)，即d| AB n|n|證明：設(shè)CD為公垂線段，取 CA a, DB bCD CA AB BDCD n (CA AB BD) n | CD n| | AB n|d | CD | AB n |n |設(shè)直線m,n所成的角為 ，顯然cos|a b|a| |b|2.平面外一點(diǎn)p到平面 的距離求平面 的法向量n,在面內(nèi)任取一定點(diǎn) A,點(diǎn)p到平面 的距離d等于AP在n上的射影長(zhǎng)，即| AP n |I n|三、法向量 例題解析題型：求空間角1、運(yùn)用法向量求直線和平面所成角設(shè)平面a的法向量為(x, y, 1),則直線AB和

13、平面a所成的角。的正弦值為sin 0= cos( - 0)uur r=|cos< AB , n >| =uuir rAB ?n-tuurAB ?2、運(yùn)用法向量求二面角ur rnit uu ur uu設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量為n1,n2 ,則 n1,n2 或n- n1,n2 是所求角。這時(shí)要借助圖形來(lái)判斷所求角為ur uuir uu銳角還是鈍角，來(lái)決定 n1,n2 是所求，還是n- n1,n2 是所求角。題型：求空間距離1、求兩條異面直線間的距離r設(shè)異面直線a、b的公共法向量為n (x, y, z),在a、b上任取一點(diǎn) A、B,則異面直線a、b的距離：d =ABcos / BAAuu

14、u r|ABT?n|n|略證：如圖，EF為a、b的公垂線段,/ 、 a為過F與a平行的直線,在a、b上任取一點(diǎn) A、B ,過A作AA /EF ,交a于A ,uuuir r?則 AA / n ,uuu r / - - 所以/ baa =< BA,n> （或其補(bǔ)角）:異面直線a、b的距離d =AB- cos / BAAuuu r= |ABr?n|n|rr ruur uur r其中，n的坐標(biāo)可利用a、b上的任一向量a,b (或圖中的 AE,BF ),及n的定義得rrr rnan?a0rrr rnbn?b0r解方程組可得n。2、求點(diǎn)到面的距離r求A點(diǎn)到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為n (x, y,1),在a內(nèi)任取一點(diǎn) B ,則A點(diǎn)到平面a的距離：uuu rd=J|n|rrn的坐標(biāo)由n與平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線向量的垂直關(guān)系，得到方程組(類似于前面所述，若方程組無(wú)解，則r法向量與xoy平面平行，此時(shí)可改設(shè)n (1,y,0),下同)。3、求直線到與直線平行的平面的距離r求直線a到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為n (x, y,1),在直線a上任取一點(diǎn) A,在平面a內(nèi)任取 點(diǎn)B,則直線a到