初三幾何8旋轉(zhuǎn)4綜合應用(2013-2014)教師

1、 2014年中考解決方案旋轉(zhuǎn)4綜合應用學生姓名：上課時間：旋轉(zhuǎn)4中考說明內(nèi)容基本要求略高要求較高要求旋轉(zhuǎn)了解圖形的旋轉(zhuǎn)，理解對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；會識別中心對稱圖形能按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，能依據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形，指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角能運用旋轉(zhuǎn)的知識解決簡單問題中考滿分必做題在做與旋轉(zhuǎn)相關的題目時，利用題目中的中點構(gòu)造中位線 【例1】 直角三角形中；為的中點，繞著點逆時針旋轉(zhuǎn) 到，求重疊部分的面積【答案】9【解析】過點做垂足為、繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)到， 又 【例2】 在圖1至圖3中，點是線段的中點，點是線段的中點四邊形和都是 正方形的中

2、點是（1）如圖1，點在的延長線上，點與點重合時，點與點重合，求證：，；（2）將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖2，求證：是等腰直角三角形；（3）將圖2中的縮短到圖3的情況，還是等腰直角三角形嗎？（不必說明理由）【答案】（1）證明：四邊形和都是正方形，又點與點重合，點與點重合，（2）證明：連接、，如圖，設與交于點分別是的中點，且，且四邊形是平行四邊形又，且是等腰直角三角形（3）是【例3】 若ABC和ADE均為等邊三角形，M、N分別是BE、CD的中點(1)當ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時，求證：CD=BE，AMN是等邊三角形； (2) 如圖，當EAB=30，AB12，AD=時，求AM的長（1

3、1年朝陽二模） 圖1 圖2【答案】（1）證明：ABC和ADE均為等邊三角形，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=60.BAE=BAC-EAC，DAC=EAD-EAC，BAE=DAC.ABEACD.CD=BE. ABE=ACDM、N分別是BE、CD的中點，即BM=BE，CN=CD.BM= CN.又AB=AC， ABMACNAM=AN，MAB=NAC NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=CAB=60AMN是等邊三角形（2）解：作EFAB于點F，在RtAEF中，EAB=30，AE=AD=，EF=. M是BE中點，作MHAB于點H，MHEF，MH=EF= 取AB中點P，連接MP，則MPAE，M

4、P=AE.MPH=30，MP=在RtMPH中，PH=.AH=AP+PH=. 在RtAMH中，.中心【例4】 如圖，四邊形、是兩個邊長分別為5和1且中心重合的正方形其中，正方形可以繞中心旋轉(zhuǎn),正方形靜止不動（1）如圖1，當四點共線時，四邊形的面積為 _；（2）如圖2，當三點共線時，請直接寫出= _；（3）在正方形繞中心旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與直線的位置關系是_,請借助圖3證明你的猜想 圖1 圖2 圖【答案】（1）=6； （2）=； （3） 證明：連接，延長 交于點.如圖所示： 由正方形的性質(zhì)可知： ，即： 即： 中點倍長類旋轉(zhuǎn)【例5】 如圖，在外面作正方形與，為的高，其反向延長線交于，求證：(1)；

5、(2)【答案】證明；（1）作，先證，再證【例6】 如圖，在矩形ABCD中, 點F在AD延長線上，且DF= DC, M為AB邊上一點, N為MD的中點, 點E在直線CF上（點E、C不重合）.且若AB=BC, 點M、A不重合, BN=NE，試探究BN與NE的位置關系及的值, 并證明你的結(jié)論;【答案】如圖，延長BN交的延長線于點，連結(jié)、，過作，交于點 四邊形是矩形， ， 為的中點， ,. ， . ， 由（1）得 , ， = , ， . . 【例7】 已知任意，分別以為邊作，（1）如圖a，若是以點為直角頂點的等腰三角形，取中點，連接、，求證：（2）在第（1）問的條件下，過點做邊的垂線，交于點，則（3）

6、在邊上有一動點，連接，以為腰，為直角頂點，作等腰直角三角形，連接，若要使的，求的度數(shù)【答案】（3）【例8】 已知：在RtABC中，AB=BC，在RtADE中，AD=DE，連結(jié)EC，取EC的中點M，連結(jié)DM和BM（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖，探索BM、DM的關系并給予證明； （2）如果將圖中的ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)小于45的角，如圖，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明 【解析】（1）提示：直角三角形斜邊上的中線；（2）可用中點倍長即旋轉(zhuǎn)；亦可用中位線法：要證與的關系，只需要將構(gòu)造成線段的中點，輔助線如下圖【鞏固】如圖1，在AC

7、B和AED中，AC=BC，AE=DE，ACBAED90,點E在AB上， F是線段BD的中點，連結(jié)CE、FE.（1）請你探究線段CE與FE之間的數(shù)量關系（直接寫出結(jié)果，不需說明理由）；（2）將圖1中的AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AED的一邊AE恰好與ACB的邊AC在同一條直線上（如圖2），連結(jié)BD取BD的中點F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）將圖1中的AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)任意的角度（如圖3），連結(jié)BD，取BD的中點F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由 【解析】倍長即旋轉(zhuǎn)略第三問亦可用中位線法【例9】 在RtABC中，ACB=90，tanBAC=. 點D在邊AC上（不與A

8、，C重合），連結(jié)BD，F(xiàn)為BD中點.若將圖1中的ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點如圖2所示求證：BE-DE=2CF；【解析】倍長即旋轉(zhuǎn)略第三問亦可用中位線法：構(gòu)造輔助線，證【鞏固】在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EFAB交BD于點F，如圖1（1）將圖1中的BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90，取DF的中點G，連接EG，CG，如圖2，則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？請直接寫出你的猜想；（2）將圖1中的BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180，取DF的中點G，連接EG，CG，如圖3，則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？請寫出你的猜想，并加以證明；（3）將圖1中的BE

9、F繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度，取DF的中點G，連接EG，CG，如圖4，則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？請寫出你的猜想，并加以證明 圖1 圖2 圖3 圖4【解析】（1）， （2），證明：如圖3，延長交延長線于，連接，,，四邊形是矩形，BE=CH，又,，,， 圖2 ， 又， ，,，即圖3（3），方法一（旋轉(zhuǎn)思想）：如圖4，延長至，使，連接、 ， ,，正方形，是等腰直角三角形，,，,為等腰直角三角形又，方法二（中位線法）：如下圖，解析略利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形【例10】 在凸四邊形中，求證：【答案】解法1：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到.因為，故是等邊三角形，即有，而，則.連接，在中，由勾股定理可得，

10、而，因此.解法2：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到.注意到，故，因此注意到，因此.點評：通過本題，我們可以體會到，正確的輔助線的產(chǎn)生不僅得益于條件，也得益于結(jié)論的啟發(fā).本題正是先利用旋轉(zhuǎn)變換將與置于一個直角三角形中，再證明與這個直角三角形的斜邊相等【例11】 已知，以為邊在外作等腰，其中如圖，若，四邊形是平行四邊形，則如圖，若，是等邊三角形，求的長；如圖，若為銳角，作于，當時，是否成立？若不成立，請說明你的理由；若成立，證明你的結(jié)論【答案】略；如圖，以為邊作等邊三角形，連接、，其他略如圖，輔助線雖然相對容易能夠知道位置，但是本題比較特殊，或難點在于如何利用給出的已知條件，如何描述輔助線，將直接影響到能否

11、解決本問下面給出參考方法，注意體會為什么這樣做輔助線，而不是像以前的題型一樣，為什么按照其他的輔助線的作法不能解決第問：(誰有更好的方法歡迎在論壇發(fā)帖探討)如圖，在上取點，使得，連接并延長到點，使得，連接易證為直角三角形，且，也為直角三角形，由勾股定理可得，此時，易證(SSS)，則易證四邊形中的旋轉(zhuǎn)【例12】 問題：如圖1，在菱形和菱形中，點、在同一條直線上，是線段的中點，連結(jié),若探究與的位置關系及的值小聰同學的思路是：延長交于點，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決DCGPABEF圖2DABEFCPG圖1 請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：（1）寫出上面問題中線段與的位置關系及的

12、值；（2）將圖1中的菱形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明（3）若圖1中，將菱形繞點順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出的值（用含的式子表示） (08年北京市中考題)【解析】（1）線段與的位置關系是；（2）猜想：（1）中的結(jié)論沒有發(fā)生變化證明：如圖，延長交于點，連結(jié)是線段的中點，DCGPABEFH由題意可知，四邊形是菱形，由，且菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，可得四邊形是菱形，即，（3）【例13】 如圖1，在平行四邊形中，于點，恰為的中點，求證：

13、；如圖2，點在線段上，作于點，連結(jié)求證：；請你在圖3中畫圖探究：當為線段上任意一點（不與點重合）時，作垂直直線，垂足為點，連結(jié)，線段、與之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出你的結(jié)論（10年西城一模）【答案】略；在上取一點，使得，連接，證明即可其他略結(jié)論：輔助線：延長到點使得，連接,證明即可【例14】 在平行四邊形中，過點作，且，連接、，、分別為、的中點，連接（1）如圖1，若點在上，與交于點，試探究線段NP與線段NM的數(shù)量關系及與滿足的等量關系，請直接寫出你的結(jié)論；（2）如圖2，若點在線段EF上，當點在何位置時，你在（1）中得到的結(jié)論仍然成立，寫出你確定的點的位置，并證明（1）中的結(jié)論.圖1 A B

14、C D P E F N M 圖2A B C D P E F N 【答案】（1） NP=MN, ABD +MNP =180 （2）點是線段EF的中點M1324PNAEFCDB 證明：如圖, 分別連接、 四邊形是平行四邊形， ADBC，ABDC，A=DCB， ABD=BDC. A=DBC， DBC=DCB. DB=DC. EDF =ABD,EDF =BDC. BDC-EDC =EDF-EDC .即BDE =CDF. 又 DE=DF， 由得. , 、分別為、的中點， , 同理可得 ， ， =DBC+DCB=180-BDC=180-ABD. ABD +MNP =180. 【例15】 在平行四邊形中，的

15、平分線交直線于點，交直線于點（1）在圖1中證明；（2）若，是的中點（如圖2），直接寫出的度數(shù)；（3）若，分別連結(jié)、（如圖3），求的度數(shù)（2011年中考）【解析】證明：如圖1.平分.四邊形是平行四邊形，.分別連結(jié)、（如圖2）.且四邊形是平行四邊形.由得是菱形.是等邊三角形. 由及平分可得.在中，. 由得.【例16】 在ABCD中，E是AD上一點，AE=AB，過點E作直線EF，在EF上取一點G，使得EGB=EAB，連接AG.（1）如圖1，當EF與AB相交時，若EAB=60，求證：EG =AG+BG；（2）如圖2，當EF與AB相交時，若EAB= （090），請你直接寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量

16、關系（用含的式子表示）； （3）如圖3，當EF與CD相交時，且EAB=90，請你寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論.圖3圖1圖2【解析】（1）證明：如圖，作GAH=EAB交GE于點H.GAB=HAE. EAB=EGB，APE=BPG， ABG=AEH. 又AB=AE， ABGAEH. BG=EH，AG=AH.GAH=EAB=60，AGH是等邊三角形.AG=HG.EG =AG+BG. (2) （3） 如圖，作GAH=EAB交GE于點H. GAB=HAE. EGB=EAB=90， ABG+AEG=AEG+AEH =180. ABG=AEH.又AB=AE， ABGAEH. BG=

17、EH，AG=AH.GAH=EAB=90，AGH是等腰直角三角形.AG=HG.線段的旋轉(zhuǎn)【例17】 如圖，中，,，以為邊向右側(cè)作等邊三角形（1）如圖1,將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，聯(lián)結(jié)，則與長度相等的線段為 （直接寫出結(jié)論）；（2）如圖2，若是線段上任意一點（不與點重合），點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點,求的度數(shù)； 圖1 圖2（3）畫圖并探究：若是直線上任意一點（不與點重合），點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點,是否存在點，使得以、為頂點的四邊形是梯形，若存在,請指出點的位置，并求出的長；若不存在，請說明理由 備用圖備用圖【答案】(1) （2）由作圖知，是等邊三角形,在和中 （3）如圖3，同可證, 當時， ,且 5分此時四邊形是梯形 如圖4，同理可證,當時，,此時與不平行，四邊形是梯形【例18】 在中，過點作交于點,將線段EC繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段(如圖1)（1）在圖1中畫圖探究：當為射線上任意一點（不與重合）時，連結(jié)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段判斷直線與直線的位置關系，并加以證明；當為線段的延長線上任意一點時，連結(jié)EP2,將線段EP2繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段.判斷直線與直線的位置關系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.（2）若, ,在的條件下，設，求與之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍. （09年中考）【答